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一、关于数学哲学的辨析
数学哲学是一个古老而又年轻的学科。对于什么是数学哲学，它的对象、范围和意义是什么，人们至今还没有一致的看法。把数学哲学定义为对数学的哲学反思和分析，不免过于笼统、模糊，只能算是一个统称。从历史上不难看到，对于数学和哲学的不同发展状况，依照人们选取不同的视角，采用不同的哲学路线和理论，数学哲学呈现出各种不同的形式，形成了多种多样的理论。
在古代，正象人们对科学与哲学不加区别一样，人们对数学与哲学也没有分明的界线。例如，古希腊哲学家惊异于数（实际上只是有理数）的神通广大和无穷奥秘，提出了“万物皆数”的思想。毕达哥拉斯学派认为，“万物的始基是一元。从‘一元’产生出‘二元’”进而“产生出各种数目，从数目产生出点，从点产生出线，从线产生出平面，从平面产生出立体，从立体产生出感觉所及的一切物体，产生出四种元素：水、火、土、空气”进而产生整个世界〔1〕。在古代的东方， 中国的《老子》则说，“道生一、一生二，二生三，三生万物。”〔2 〕可见，这些古代深刻的哲学世界图景都是用数学的语言来描绘的。古代的数学哲学奉行的是数学即哲学，数理即哲理的观念。毕氏主义在历史上影响深远。例如，直到本世纪，海森堡的数学实在论等都还包含着这一古代数学哲学的韵味。
随着数学的发展，毕氏学派发现和1没有公度的事实，导致了数学的第一次危机，此后，希腊人的数学研究往往避开数量关系，而专注于空间形式。应用了古希腊形式逻辑成果的演绎体系——欧几里得《几何原本》成为评判数学的唯一标准，甚至成了一切科学的典范。它统治了西方数学和科学思想长达几千年之久，也深深地影响了如笛卡尔，莱布尼茨，康德等哲学家。两千多年以来，欧氏《原本》被当作人类唯一可能获得的几何学，唯一可靠的被严格证明的数学。在哲学上，康德认为欧氏几何是先天的、唯一的现实空间的观念。《几何原本》也可以说是这一时期数学哲学的经典。
19世纪是数学的一个伟大转折点，数学经历了它有史以来最剧烈的变革。非欧几何的产生，群论的出现，四元数的发现，布尔代数的产生，n维空间的引进……使得许多古典数学观念被摧垮。从那时以来， 随着数学基础一次又一次“危机”的出现，数学哲学随之进入了一个新的发展时期。现代西方数学哲学偏重于对数学内部的考察和研究，被当作“数学基础”的代名词。罗素认为，“数学哲学是研究数学中尚未获得确定结论的那些问题和分析数学中的基本概念和命题的。”〔3〕其实，所谓元数学就是数学〔4〕，它实质上只是一种数学学的理论研究。 数学基础包含着数学哲学问题，但不能代替之。
我国学者一般认为，数学哲学是“一门独立的哲学学科”，它是研究“数学的对象、性质、方法等方面的本体论、认识论、方法论以及其他诸问题的”。〔5〕
我们认为，如果数学哲学只对数学内部进行哲学考察，无论是整体的或局部的，宏观的或微观的，都是不够的。许多数学哲学问题不易澄清可以说就是“只缘身在此山中”。数学哲学除了那种把哲学（结构、范畴）“用”到数学中去的研究途径之外，还应拓展视野，把数学“提”到哲学的水平上来加以认识，对数学作一种整体的、“外部”的哲学考察。怀特海就曾指出，“许多数学家知道他们所研究的细节，但对于表达数学科学的哲学特征却毫无所知。”〔6〕下面， 我们尝试着由此对数学的定义、学科性质和哲学特征等作一些初步的探讨。
二、数学的定义及学科性质
数学是什么？它是一门什么性质的科学？这不仅是数学哲学必须首先回答的问题，也是人们在现代科学技术体系中认识这一门重要基础学科经常提到的一个问题。要给数学下一个准确的定义不是一件容易的事情。有人比喻说，这就像美学中要回答“什么是美”一样的困难。当然，给任何认识对象下定义都只是揭示和认识事物某一方面特征的手段，历来的数学家和哲学家有许多形形色色的数学定义。从数学哲学的角度给数学下定义，就是要从哲学的高度求得一种对数学整体性的本质的认识。这里，我们主要依据恩格斯的部分论述，结合现代数学的一些定义来加以探讨。
（1）在回答数学是什么之前，首先需要弄清， 数学并不是一门自然科学。数学的产生与人类对自然界的认识是有联系的，但它已从自然科学中独立出来。恩格斯在《自然辩证法》中总是把数学与自然科学并列，并写道“数学和自然科学。不同的东西”。〔7〕毫无疑问， 数学在直接研究对象、研究方法、理论形式及其验证标准等方面与自然科学都有很大的区别，不能把数学划在自然科学学科之列。
（2）恩格斯在《反杜林论》中有如下一段话， “纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。”〔8〕人们时常引用这段话， 并得出数学是研究世界的空间形式和数量关系的科学的定义。
我们认为，恩格斯这段话是有针对性的，是对杜林的反驳。恩格斯强调的是数学的“起源”问题，更确切地说是从总体上来讲的“起源”问题。从上下文来看，他反对的是杜林所主张的“全部纯数学”的先验性，指出了“在纯数学中悟性绝不能只处理自己的创造物和想象物”。他肯定了“纯数学具有脱离任何个人的特殊经验而独立的意义”。〔9〕也没有否定在纯数学中悟性要“处理自己的创造物和想象物”。这是其一。
第二，现在看来把数学定义为研究现实世界的空间形式和数量关系的科学主要是对数学的起源而言了。人类是从研究（欧氏）几何中的空间形式，古典算术或代数中的数量关系开始研究数学的。但是，随着数学的长期发展，尤其是19世纪以来数学发生的一系列重大变化，数学的研究对象已不一定是现实世界的事物，也不限于“空间形式”和“数量关系”了。它可以是数学以外各个领域或数学理论本身提出的各种抽象问题和逻辑可能的形式和关系。A.亚历山大洛夫根据恩格斯的论述把数学定义为“关于与内容相脱离的形式和关系的科学”。他也特别指出，“数学的最初和基本的对象是空间形式和数量关系”。〔10〕
（3 ）恩格斯真正对数学下定义式的表述是下面这句话：“数学——一种研究思想事物（虽然它们是现实的摹写）的抽象的科学。”〔11〕这一定义从哲学的高度揭示了数学的研究对象和学科性质，具有比上述定义更广泛的概括意义。
我们理解，恩格斯这一定义至少有三层含义，一、数学的研究对象是思想事物，这是指数学研究直接处理的对象，包括思想形式、模式、关系和结构。在现代数学定义中，布尔巴基学派有一个简明的定义，数学是“研究抽象结构的科学”。〔12〕这与恩格斯的定义较为接近，但他们对“结构”的概念有专门的非哲学的解释。二、这些思想事物是现实的摹写，就总体而言，它们起源于现实世界。三、数学是一门抽象的科学。如恩格斯在另一处指出的，“全部所谓纯数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时都变成荒谬走向自己的反面”。〔13〕这里专门强调了数学的抽象特性，也指出了其固有的局限性。离开了抽象性就无以言数学。在数学产生以前，原始人类“计算”牲畜、丈量土地的方法只是一种不能离开具体实物对象的“实验”方法。数学一经产生研究的就是脱离了实物对象的“数”和理想的“点”、“线”、“面”等等“思想事物”，并且开始了它抽象程度越来越高的发展。恩格斯的定义抓住了数学学科的本质，也完全适合于现代数学极其抽象的特征。
毋庸讳言，身处19世纪的恩格斯并没有对数学正在发生的剧烈变革发表过意见，他的研究也未涉及非欧几何，抽象代数等。但他对数学的哲学认识是超越时代的。他把微积分的发明看作“人类精神的最高胜利”。〔14〕他注意到虚数的产生，称它是“悟性的自由创造物和想象物”。〔15〕他始终把数学看作是研究“思想事物”的一类特殊科学，避免了对数学作经验主义的界定。
这里附带指出，数学既是一门研究抽象的“思想事物”的科学，那么，数学哲学作为对数学的哲学反思就应注重研究抽象思维本身。关于这一点，我们在下一节中还要论及。我国数学家徐利治教授从数学与抽象思维的关系入手，研究数学中的“强”、“弱”抽象规律，分析数学模式的“抽象度”，探究数学抽象思维的限度等等，这样的数学哲学研究没有限于对数学“内部”的考察，是很有见地的。
关于数学是一门什么性质的科学，我们还可以从人类科学认识的一般途径中来进行探讨，恩格斯在《反杜林论》的准备材料中写道：“两类经验：外在的、物质的经验，以及内在的经验——思维规律和思维形式。”“思维形式一部分也是通过发展继承下来的（例如，数学公理对欧洲人来说，是不证自明的，而对布须曼人澳大利亚黑人来说，肯定不是这样）”。〔16〕一般地说，科学认识的取得需要有内外两种经验的发展和相互作用，我们看到，恩格斯把数学知识看作是一种人类的“内在经验——思维规律和思维形式”。这也就是前述的“思想事物”的所指。我们知道，这种“内在经验”除了数学以外，还有语言学、哲学、逻辑学等方面的形式。虽然数学与其他那些学科各自都具有不同的特点或属于不同的层次，但它们都是人类的“内在经验”这个大类的知识。无怪乎在数学的众多定义中，有的说数学是一种特殊的语言（维特根斯坦），有的主张数学就是逻辑（罗素）或称数学是一种哲学或半哲学的科学。我们认为有必要认真研究数学与这些科学的共同特征，但不能因此作简单的归结。人类的“内在经验”——自然语言的语法规则、哲学范畴、数学结构、逻辑推理等是人类长期创造、积累、社会形成的智力储备，是处于主体与客体中介地位的精神形态的认识工具。人类在认识中用自己的“内在经验”与“外在经验”相结合，去把握客观对象，求得思维与存在的同一。人类也在认识过程中不断铸造新的认识工具来丰富“内在经验”的宝库。
三、数学的哲学特征探微
在数学哲学研究中，人们常常指出数学具有高度的抽象性，严密的逻辑性，广泛的应用性等等特征，但这些特征的哲学意义何在？或者说数学的哲学特征是什么？则很少有所论及。这里，我们所要探讨的数学的哲学特征是指数学在哲学认识论中的意义，即它在人类一般认识过程中的特殊地位和作用。
列宁指出：“认识是对自然界的反映，但是，这并不是简单的、直接的、完全的反映，而是一系列的抽象过程。”又指出：“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践，这就是认识真理认识客观实在的辩证途径。”〔17〕这里有一个重要环节即是抽象思维。数学是一门抽象的科学，在长期的发展中积累了并不断生产出大量抽象思维的结构。它通过抽象思维这个认识环节，广泛地介入和影响着人类各个（并不是全部）领域的认识，随着科学的数学化，愈益显示出它在人类一般认识过程中的重要性。其哲学意义（特征）如下：
第一、认识超越生动的直观而达到抽象思维的水平，是通过各种各样符号体系（从普通的自然语言到各种人工语言）的产生而实现的。数学是一种在许多科学研究中优于自然语言的重要的人造符号系统。爱因斯坦指出：“理论科学家在他探索理论时，就不得不愈来愈听从纯粹数学的、形式的考虑，因为实验家的物理经验不能把他们提高到抽象的领域中去。”〔18〕如果说符号系统的出现才使得抽象思维成为可能的话，那么，在现时代，人类抽象思维的愈益深化无疑就应归功于数学形式化语言的广泛应用和发展了。狄拉克曾深有感触地说：“数学是特别适合于处理任何种类的抽象概念的工具。”“我本人的思路实际上是把重点放在能用方程式来表达部分的思想上”。〔19〕
第二，一般地说，抽象思维是由具体——抽象——具体的提升过程。它实现的途径和方法是多种多样的。对过程的前阶段有理想化、模型化、图式化、归纳、类比、分析等方法；对过程的后阶段则主要是综合的方法。从哲学上讲，它并没有一个固定不变的模式，而是以不同的认识对象和具体的认识条件而定。现在可以看出，数学已广泛地参与抽象思维的整个过程。利用数学这一理论工具进行抽象思维构成了抽象思维的一个大的类型，成为一种越来越普遍的形式。数学是一个历史形成的、相对稳定的各种抽象思维模式的“贮藏库”、“制造厂”和“培植园”。许多科学研究面对积累起来的事实材料和问题系统，总是要从“库存”中选择或重新创造出适当的数学工具才能建立起新的科学理论。以著名的科学革命为例，牛顿建立“经典力学”就曾创造出微积分这一数学新工具；爱因斯坦创立相对论也利用了已经建立起来的非欧几何。
第三、现代数学（如函数论、抽象代数、拓扑学等）已成为“概念数学”。它是普遍科学概念和方法的源泉。它除了研究客观世界中的结构和关系，还要研究逻辑可能的结构和关系，研究数学在自身发展基础上产生的思想的自由创造物和想象物。这些纯粹的思想事物看起来是远离现实世界的，一时也找不到适当的应用，对于科学的发展具有明显的超前性。数学发展的相对独立性和部分的超前性，在人类认识的总的态势中表现为一种向未知世界的包抄、迂回和投射（projection）。它是主体能动地作用于认识客体的一个十分活跃的侧面。在现代科学基础研究的前沿中离不开数学这支重要的方面军。
从以上这些方面，我们可以认识到数学在人类抽象思维这个认识环节上显示出来的哲学品格和意义。恩格斯曾指出数学是“辩证的辅助工具和表达方式”〔20〕，这是就数学的高级形态和整体而言的，也是对数学的哲学特征的一种概括。