2012年“华约”自主招生考试组合数学问题分析，本文主要内容关键词为：华约论文,组合论文,自主招生论文,数学论文,考试论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
连续三年的“华约”联盟考试AAA测试，都是由考试院出题和阅卷，根据前几年的考试形式，我们预计2013年的考试形式会进一步向全国高中数学联赛靠拢，并且考试的题型、风格、难度都不会有太大变化，连续三年，“华约”的选择题依旧是10道，涉及的也是和以前一样的知识点：三角、函数、数列、复数、立体几何、解析几何、平面几何、组合问题.这些题目都比较全面的考查了学生的知识能力、解题方法以及思维深度，有利于高校选拔人才.但是2012年的“华约”考试题目多了一道很难的数学竞赛的组合试题，这在2011年和2010年“华约”中没有出现，只是在2009年清华自主试题中出现了竞赛方面的组合题目，因此，预测2013年华约考试题目将延续这样的模式，在题目的知识面以及题目难度上不会有太大变化，但是可能会继续考查竞赛方面的组合试题，以增加试卷的区分度.下面我们就对组合数学试题做深度的分析，以便在以后的自主招生备考中有的放矢，事半功倍！
一、真题解析
（2012年“华约”考试题目）目前有n（n≥2）位乒乓球选手，他们互相进行了若干场乒乓球双打比赛，并且发现任意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，请问n的所有可能值.
分析与解：我们可以对n=2，3，4，5，6，7这些简单形式进行构造，进而猜想出一般的情形，即猜想n=4l或者n=4l+1是满足题意的.下面我们证明，对于任意n=4l或者n=4l+1，其中l∈N+，我们都可以构造出满足要求的比赛.
当n=4l+1时，我们对其使用数学归纳法.
（1）当l=1时，n=5，此时我们假设这5名选手为A，B，C，D，E，如下安排比赛即可：AB—CD，AC—BE，BC—DE，AE—BD，AD—CE.
由数学归纳法我们证明了n=4l+1的情形.
同理对于n=4l时，我们也可以用数学归纳法进行证明.综合上述，n的所有可能取值是n=4l或者n=4l+1，其中l∈N+.
试题点评：这是一道典型的可以用数学归纳法解决的组合试题，当时考生中能解出本题的凤毛麟角，可见这道题目的杀伤力之强.本题综合了组合数学的典型思想方式：对n=2，3，4，5，6，7这些简单形式进行构造，进而猜想出一般的情形，即n=4l或者n=4l+1是满足题意的，进而用数学归纳法对这两种情形进行证明，体现了从特殊到一般的数学思考方式，很全面深入地考查了学生分析问题的能力.但本题中n=2，3显然是不合题意的，因此本题应将n（n≥2）改为n（n≥4）.同时感谢田轶平老师第一时间在网上给出了如此精妙的解法.下面就这种典型的数学归纳法的解题模式，给出一个变式思考题.
二、变式思考
题目：将n（n≥2）颗石子随意地分成两堆，记下这两堆石子数的乘积，再把每一堆又分成两堆，记下这两堆石子数的乘积，这样一直下去，直到分成n堆，每堆只有一颗石子为止，求这些乘积之和S（n）.
分析与解：可以从特殊的情况开始，先取n=2，3，4，进而猜想出S（n）的表达式，用数学归纳法对其进行证明.
要更好地备考2013年的自主招生，组合数学应该成为广大师生准备的重点之一，下面我就给出几道组合数学的模拟试题，以便师生更好的备考.
三、模拟训练题组
试题1：2012位姑娘围着一张圆桌，玩一副2012张牌的游戏，开始时，姑娘甲手中拿着所有的牌，如果至少有一位姑娘手中的牌多于1张，那么这些姑娘中必须有一人把手中的牌分给左邻、右邻各一张.当且仅当每位姑娘手中都恰好拿着一张牌时，游戏结束.证明：这个游戏不可能结束.
试题点评：本题也是以游戏的形式给出，符合自主招生考试的组合题型.本题用了反证法这一组合数学中常用的思想方法之一，使我们的解题变得清晰明朗.同时本题中用到的赋值法也是常用的方法之一.由上述证明即知，如果把2012改成任意正偶数，其结论仍然成立.
试题点评：本题涉及集合、抽屉原理等知识，集合问题是组合数学中的一个重要内容，围绕集合可以研究很多问题，其中分类讨论也是组合中常用的思想方法之一.
试题3：已知若干个正整数之和为2013，求其积的最大值.
分析与解：本题初看觉得条件太少，解题路径很难寻找，但结合已有知识慢慢尝试，可以得到一些有用信息.比如2013拆成两数之和：2011×2＜2010×3＜…＜1006×1007；而1006拆成两数之和：1005×1＜1004×2＜…＜503×503；….因此我们可以得到如下结论作为逐步调整的依据：
试题点评：本题全面考查了学生综合利用知识的能力，尤其对于复杂的看似没有思路的问题的深入思考进行探索的能力.本题是一道典型的组合问题，主要用到了从特殊到一般的解题思想，以及逐步调整的思路，这些思想方法对我们解决很多问题有很大的帮助，解题也很奏效.
四、2013年“华约”备考建议
根据我在我校自主招生数学辅导中的经验和教训，从以下两个方面谈一谈在组合数学备考方面的建议.
1.方向清晰，有的放矢
尽管“华约”考试中考查的组合数学颇具竞赛特点，但是我们应明确，“华约”不是数学竞赛，它面对的对象并不全是具有很深数学竞赛功底的学生.因此，“华约”的组合数学的难度一般也达不到数学竞赛中组合数学的难度，很多考生应该有能力去应对.同时，“华约”考试中出现的组合数学题目也会尽量避免较专业的数学竞赛知识的应用，比如染色、图论、母函数等等，而是会涉及较熟悉的知识方法，比如数学归纳法、简单抽屉原理等.这样我们在组合数学方面的备考方向就更加清晰，更能做到有的放矢.
比如，这几年，我校在自主招生组合数学方面的辅导就是这样做的，考虑到自主招生的组合数学备考和竞赛的备考有一定区别，我将重点放在了抽屉原理、数学归纳法问题、反证法问题、构造问题、存在性问题等重点章节上，题目难度控制在竞赛中等难度，避免过难过偏的竞赛题目.
2.方法梳理，事半功倍
“华约”的备考时间只有几个月，因此我们要避免题海战术，注重方法的梳理，做到事半功倍.结合上述组合数学考查知识点的分析，我们可以就一些思想方法重点辅导，比如从特殊到一般的思想方法（本文中的题目几乎都用到了这一方法），这一方法也是我们组合数学中最重要的思想方法之一，对很多题目非常有效；比如反证法、数学归纳法、先构造再证明、先证明再构造等一些解题方法.平时加强这些方法的梳理，善于归纳总结，有利于组合数学解题中通性通法的寻找.
总之，在自主招生的考试中组合数学是一个重要的部分，也是众多优秀考生之间对决的关键.尽管在数学竞赛中，组合数学博大精深，具有很高的挑战性，但在自主招生备考中，我们只需有针对性地选择一些重要知识章节，注重解题方法总结，培养解题能力，提高数学素养.相信广大师生可以在自主招生中更好地处理这类问题.