数学教学中的“合情推理”——从一节“探索性学习”课谈起，本文主要内容关键词为：性学论文,数学论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
问题1 平面上有n个点（n≥2），且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？如果有2012个点呢？
这是一道笔者在八年级的一节“探索性学习”课初始提出的问题.本节课的设计思路是通过若干例对“图形的计数”问题的探索，训练学生“能用代数式有效地表示、处理和交流图形中的数量关系以及变化规律”.然而实际的进程是，原先准备好写在投影片上的其他题都没有用上，而关于这个问题的探索以及由此产生的讨论却一直延续到课后.这里，笔者结合课堂的实际进程，将课后进行的反思一并呈现于此，供大家讨论.
一、问题的求解——作为推理的两种模式：合情推理和论证推理
问题本身的求解并不很复杂，有60%～70%的学生按照以下的思路求得：
实录1 第一步：当仅有两个点时，可连成1条直线；当仅有三个点时，可连成3条直线；当仅有四个点时，可连成6条直线；当仅有五个点时，可连成10条直线；
第二步：对于结果中出现的“1”，“3”，“6”，“10”，它们之间有规律可循吗？不难发现：
3=1+2：
6=1+2+3：
10=1+2+3+4.
第三步：猜想：如果平面上有6个点，那么可连成的直线是否为1+2+3+4+5=15条呢？
对于7个点，是否为1+2+3+4+5+6=21条呢？
验证：通过画图得到证实.
第四步：结论：对于n个点，可连成的直线应该为，
第五步：当n=2012时为，
反思以上的分析和解题思路，反映了我们认识事物，探索问题的基本过程：第一步——研究具体对象；第二步——尝试发现规律；第三步——展开合情推理；第四步——得出一般结论；第五步——解决实际问题.应该说，学生较好地掌握和运用了这一解决问题的方法.其中，从第二步到第三步更是一个令人激动的思维历程——对观察到的结果加以综合并提出合情的猜想，而且能够主动地加以验证——这正是很多“发现”的来历；如果说以上的过程还有什么欠缺的话，在第三步到第四步之间似乎还缺少更严密的论证，即使再增加一些点（例如平面上的10个点）进行验证（有两个同学这样做）并发现猜想依然是正确的，仍然不是严格的证明.
事实上，在这里学生所使用的方法正是不完全归纳法，列举并不能穷尽所有的可能性，自然猜想的结论未必是真的——然而作为合情推理的一种重要的方式，尽管不能作为数学证明的方法，但却是重要的科学发现方法.让学生学习和练习使用归纳猜想是培养他们创造性的重要途径之一.
实录2 有3个学生是这样分析的：任何两点都不在同一条直线上，根据“两点确定一条直线”，取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n-1）种取法，那么n个点一共可以连成n（n-1）条直线；但由于直线AB和直线BA是同一条，即每条直线都被计算了两次，所以结论应该是
条.
反思 这是严格地论证推理，简洁明了，很好地解决了上面的问题.学生似乎也更认同这样的推理（从后面的例子可以看出），因为它找不出什么“毛病”——在传统的教科书上通常出现的只是经过严密论证的结论，然而少有这些结论之所以产生的渊源，即知识是如何被发现和产生的.而第一种思路更多的体现出结论是如何形成的，尽管并不严密，但却是新课标所倡导的让学生更多地体验“数学知识的形成与应用过程”，“发展合情推理”.因此，无需评价这两种思考模式孰优孰劣，论证推理和合情推理作为推理的两种模式，它们之间并不矛盾，相反，它们是相互补充的.我们通过论证推理来肯定我们的数学知识，而利用合情推理来为我们的猜想提供依据.
二、问题的延伸——作为合情推理重要方法之一的类比
实录3 随即教师改变了原先的设计思路，提出了下面两个问题：
问题2 全班连同老师共42人，每两人之间握一次手，一共握手多少次？
问题3 在南京到上海的铁路线上，中途还有7个停靠站.那么在往返南京和上海的火车上应准备多少种不同的车票？
解答结果：对于问题2，只有两个学生不会解答，其余都正确；对于问题3，有35%的学生或者站数搞错，或者将相乘的结果仍然除以了2.
反思 学生更多地是采用了上述的第二种思路.问题3尽管有错误，但总体上已反映出学生对类似的问题已经有了相当的体会，对这一类问题的本质有了一定的认识.错误只是反映出思维的严密性不够，但仍然是值得鼓励的——学生能够主动地发现某些类型的相似性，做出了相同（在问题3中应该是“相似”）的推理——即“类比”方法的自觉应用，这是比得到问题的正确解更令人欣喜的事情.
新课标指出.让学生“认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想.体验数学活动充满这探索性和创造性”.而其中“类比”作为合情推理的一种重要的方法.在发现中更是有其突出的位置.
三、问题的拓展——作为合情推理另一重要方法的推广
实录4 教师又将问题1改了几个字：
问题4 平面上有n个点（n≥3）.且任意三个点不在同一条直线上.过任意三个点作三角形.一共能作出多少个不同的三角形？（说明：三角形的顶点必须是所给出的点）
解答结果：这次有一半多的学生按照上述的第一种思路小心翼翼地进行画图探索：当n为3时.可作1个三角形；当n为4时.可作4个三角形；当n为5时.可作10个三角形……为了发现规律.仍然在不断地向下探索——这一组数的规律不太容易发现.但过程是充满着热情的.很多人之间发生了讨论直至争论.
这时有8个人给出了下面的思考：
根据三点确定一个三角形.取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n-1）种取法，取第三个点C有（n-2）种取法，这样有n（n-1）（n-2）个三角形.但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一个三角形，因此每个三角形被重复计数了6次，结论应该是
个不同的三角形.
大家都露出赞叹的神情.
反思 第二种思路清晰而简明，但又不陌生，从大家的神情中也可看出对这种方法的认同.和问题1的第二种思路比较，如出一辙，只不过将“两点确定一条直线”改变为“三点确定一个三角形”而已.问题4可以看成是将问题1的一个推广——或者叫“一般化”，从已知对象的研究到包含已知对象的更大一类对象的研究——合情推理的又一重要方法，通常所谓的“举一反三”.进而——
实录5 师：你还能将这个问题作进一步的推广吗？
生1：平面上有n个点（n≥4），且任意三个点不在同一条直线上，过任意四个点作四边形，一共能作出多少个不同的四边形
生2：平面上有n个点（n≥5），且任意三个点不在同一条直线上，过任意五个点边形，一共能作出多少个不同的五边形？
反思 问题的产生轻而易举，说明学生是清楚“推广”的意义的.然而，在平时的学习中却很少有人主动为之，这意味着在平时的学习中我们忽视了这些机会的创造，以至于大家满足于一道题的完成，而没有意识到还可以再重新审视这一问题——甚至会淹没你本来对这门学科具有的热情.通常所谓的“类推”，正是“类比”和“推广”的合称.作为合情推理的两种重要的模式，经常交互使用来发现和解决问题.如果说区别的话，大致可以理解为类比经常发生在不同类型、不同事物、甚至不同学科之间，是横向的；而推广则更多地体现于把问题引向一般或更为广阔的领域.
四、问题的启示——我们应该怎样教数学和学数学
实录6 在学生提出上述两个问题之后，教师给了充足的时间让学生思考、讨论：
1.你还能提出什么样的问题？
2.对于提出的问题，你能尝试解决吗？
一石激起千层浪.
1.有人发现了“重复计数”的规律：对于两个点重复计数1×2次；
对于三个点重复计数1×2×3次；
对于四个点重复计数1×2×3×4次；
2.在此基础上，有人索性总结出一般性结论：
平面上有n个点（n≥m），且任意三个点不在同一条直线上，过任意m个点作m边形，一共能作出
个不同的m边形.
3.有人在画图的过程中还发现了课本上几乎没有见过的四边形、五边形（凹多边形），并且对它们的内角和发生了兴趣.
4.有人提出这样的问题：用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，任选三个可以组成多少个不同的三位数？
5.甚至还有人提出，如果没有“任意三点均不共线”的条件又如何呢？
反思 只能用“完美”来形容.课堂的“混乱”让老师“快乐”得根本不想去控制，而只是不失时机地“趁乱添一把火”.尽管下课铃早响，而大家都没有发觉.不必去追问这些问题究竟该如何解答，问题本身已足以让我们获得太多地启示——我们老师该怎样教数学，学生该如何学数学.