研究自由落体的运动规律，本文主要内容关键词为：自由落体论文,规律论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 研究方法分析
研究物体的运动主要回答两个问题：物体什么时候在什么地方；物体什么时候处于什么运动状态。在中学范围内，实际上就是找出位移与时间的函数关系s＝f（t），速度与时间的函数关系v＝g（t）。为了研究运动规律，就要获得运动的原始数据。最容易获取的数据是s－t数据，但对于所获得的有关数据有两种加工方法：
（1）公式演绎法：利用匀变速运动规律，v＝v[,0]＋at和s＝v[,0]t＋1/2at[2]，测量等时间间隔内的位移差△s，如果有关系△s[,1]＝△s[,2]＝△s[,3]……＝△s[,N]成立， 就证明了该运动是匀变速运动，然后再用关系式a＝△s/T[2]计算出运动的加速度a＝9.8m/s[2]。从而得到函数v＝9.8t和s＝1/2（9.8t[2]）。显然， 这种处理方法是从已知规律出发的，是演绎性质的，这是目前教材所采用的方法。
（2 ）物理建模法：这种方法事先不知道物体运动过程所遵循的规律，先通过实验从物理过程中获取数据，再利用数学手段分析数据之间的函数关系，从而发现物理规律，建立运动模型。由于中学生的数学手段所限，过去只能用描点作图法发现线性规律，对再复杂的关系就无能为力，但现在借助MATLAB软件或EXCEL软件（本文只介绍MATLAB， 它是一种计算机编程语言，有强大的数值处理功能），这个问题就解决了。这种研究方法把计算机作为研究工具，把形象思维和逻辑思维有机结合，符合学生的认知特点，体现了学习中的探究和发现，有利于培养学生的物理思维和物理方法。
2 实验研究思路
首先通过实验采集自由落体运动的几组s－t数据。可选择的实验有闪光照相法、用重锤拖动纸带自由下落的打点计时器法，采用光电计时的落体仪法等。然后利用MATLAB软件描点绘图，分析s－t图象的规律，再利用MATLAB软件的函数拟合（本文指利用已知的离散数据，以最小二乘法构造出一条最光滑的函数曲线）功能，找出位移与时间的函数关系s＝f（t），得到速度与时间的函数关系v＝g（t），从而就发现了自由落体运动的规律。
3 研究过程
（1）纸带打点实验打出纸带如图1，用直尺测量得到一组s－t数据。或者利用小球自由落体的闪光照片获得如表1中的一组s－t 数据（《高中物理读本》第一册P88）。
（2）利用MATLAB软件描点绘图，研究s－t关系。 正比例是一种最简单的函数关系，观察表1中的s－t数据，发现s与t不成正比， 可再通过描点进一步观察它们的关系，绘图语句和所绘图2如下。
表中数据s是各点顺次到第一点的距离，单位是cm，t的单位是1/30s
t＝（1：11）/30；（输入运动时间，单位秒）
s＝[0.077 0.1645 0.2625 0.3710 0.4909 0.6218 0.7636 0.9158 1.0789 1.2534 1.4386]；
（输入位移，单位米）
观察图2，显然s与t是非线性关系，即不是s＝at＋b的关系。 图象所呈现的关系似乎符合二次函数，即s＝at[2]＋bt＋c。 因此可尝试利用MATLAB的拟合功能，用二次函数拟合11 组实验数据， 以确定多项式ax[2]＋bx＋c的三个系数a，b，c，拟合语句如下：
t＝（1：11）/30；
s＝[0.077 0.1645 0.2625 0.3710 0.4909 0.6218 0.7636 0.9158 1.0789 1.2534 1.4386]；p＝polyfit（t，s，2）
（用二次函数去拟合数据s，t，寻找s＝f（t）函数）
t1＝0：.1：1；（把1秒分成10份）
s1＝polyval（p，t1）；（按照s＝f（t）函数计算位移）
plot（x，z，＇o－＇，t1，s1，＇r－＇）；（根据拟合函数画图象）
拟合结果如图3所示，显然11 个实验数据点都落在二次函数曲线上，由此可以得出s与t符合二次函数关系的结论，程序运行返回三个常数：a＝4.8993 b＝2.1244 c＝0.0009。
取三位有效数字，拟合所得到的二次函数为：s＝4.9t[2]＋2.12t，这就是物体下落运动的位移规律。
（3）利用MATLAB处理实验数据，研究V－t关系。利用表1实验数据，逐差计算每一段的平均速度如表2所示，发现在连续的1/30秒内的平均速度不断变大。
用描点法和拟合法研究平均速度V与t的关系：
ds＝[7.70 8.75 9.80 10.85 11.99 13.09…14.18 15.22 16.31 17.45 18.52]；
（输入位移差，单位cm）
v＝ds＊30/100；
（计算1/30秒内的平均速度，单位m/s）
t＝（1：11）/30；（输入运动时间，单位s）
plot（t，v，＇o－＇）；（描点绘v－t图象）
p＝polyfit（t，v，1）
（用一次函数拟合速度与时间的关系）
所绘图象如图4所示。
由图4可见，平均速度V与时间t之间具有良好的线性关系，因此可以写成关系式v＝kt＋d的形式。我们可以展开合理推论，如果时间间隔再小，如取1/50秒，则图4中的描点就越密，如果时间间隔足够小，平均速度与时间的关系就变成瞬时速度与时间的关系。因此，本例中粗略把1/30秒内的速度作为瞬时速度处理，用一次函数拟合得到k和d， 就得到了速度函数。拟合返回结果：k＝9.7658 d＝1.9703。于是近似得到速度规律：V＝9.8t＋2
（4）研究结论：该落体运动的规律为
S＝4.9t[2]＋2.12t
V＝9.8t＋2
对于自由落体运动，因V[,0]＝0，所以运动规律为：
S＝4.9t[2]
V＝9.8t
显然，这与习惯表达式是完全一致的，即：S＝1/2gt[2]，V ＝gt g＝9.8m/s[2]。
笔者采用打点计时器打纸带的数据，除加速度值与g＝9.8m/s[2]有一定偏离外，其它情况与以上研究完全一致。
4 研究过程小结
为整理研究思路，形成清晰的脉络，对以上研究过程小结如下：
（1）研究目的是发现自由落体运动的两个函数关系s＝f（t ）和v＝g（t）
（2）通过实验获得物体做自由落体运动的s－t数据
（3）利用MATLAB为s－t数据描点，发现s－t是非线性关系
（4）尝试用二次函数S＝at[2]＋bt＋c去拟合s－t数据，得到S ＝4.9t[2]＋2.12t
（5）绘制S＝4.9t[2]＋2.12t函数图象，发现实验s－t数据都落在图象上
（6）计算连续1/30秒内的平均速度v
（7）用MATLAB为v－t数据描点，发现v－t有良好的线性关系
（8）用一次函数v＝kt＋d去拟合v－t数据，发现V＝9.8t＋2
（9）推论得到自由落体运动的两个函数为：
s＝4.9t[2]和V＝9.8t
利用计算机处理实验数据在本物理实验研究中起了关键作用，关于使用MATLAB和EXCEL处理实验数据的方法将在后续文章中逐一介绍。