上海与加州数学课程标准小学“统计与概率”比较研究，本文主要内容关键词为：加州论文,上海论文,概率论文,课程标准论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
上海和加利福尼亚州（以下简称加州）分别是中国和美国在数学教育领域颇具代表性的地区。自1997年开始数学课程改革以来，加州学生的数学学习水平明显提高，[1]加州数学课程成功经受了实践的检验。2005年加州根据课程实施反馈对原数学课程标准进行完善，颁布了《加州数学课程标准》（简称加州标准）。上海2001年颁布了《上海市中小学数学课程标准》（简称上海标准），其科学性正在课改实验中接受检验。
自20世纪60年代开始的新数学运动以来，“统计与概率”在数学课程中都占有重要地位。在20世纪90年代以来世界各国相继进行的数学课程改革中，“统计与概率”的重要性更显突出，成为了大多数国家数学课程改革的焦点。本文对两份标准中“统计与概率”（即上海标准中的“数据整理与概率统计”和加州标准中的“数据分析与概率统计”）选取小学阶段从编写体例、学习内容和学习水平三方面进行比较分析，供我国数学课程改革参考。
一、编写体例比较
上海和加州的数学课程标准小学“统计与概率”部分编写体例上有明显的不同。上海标准包括1-12年级，小学阶段是1-5年级。上海的小学阶段又分为两个学段，其中1-2年级是第一学段，3-5年级是第二学段。上海标准小学“统计与概率”部分分别按两个学段编写，各学段规定了学习主题、学习内容和学习水平，但是对哪些内容是学习重点没有进行界定，用于解释学习内容的案例在整个小学阶段也仅仅只有3个。[2]
加州标准包括K(Kindergarten)—12年级，K年级与上海的学前班大致相当。鉴于上海的小学生绝大多数都参加了学前班的学习，我们可以认为加州的K-5年级与上海的小学阶段相当，因此本文所说加州的小学阶段即K-5年级。加州标准小学“统计与概率”部分按年级编写，对各年级分别规定“统计与概率”学习的主题、内容和水平，对各年级学习内容中的重点内容都进行了特别标注，并且对各年级的大多数知识重点配以案例进行说明。[1]
这种体例上的不同直接导致了两种不同性质的课程弹性。上海小学“统计与概率”内容在保证学段最低要求基础上有一定弹性，只要符合数学知识的逻辑性和学生的认知发展，课程实施时可以在学段内对具体内容的顺序做弹性处理。加州小学“统计与概率”内容是在保证各年级最低要求基础上有一定弹性。加州标准明确指出标准规定的内容和水平是学生在各年级应达到的最低要求，课程实施中可以根据需要对各年级的部分或者全部内容提前一学期、一学年，甚至两学年完成，也可以适当增加标准以外的内容。[1]两种弹性都有一定的科学性，孰优孰劣不能一概而论，还有待经过实践的验证来选取对具体问题更合适的方式。
此外，加州标准在“统计与概率”内容的编写时对学习重点的明确界定和用案例来清晰说明学习水平的策略，有利于课程管理者、教材开发者和教师准确理解课程标准的理念、目标和要求，对教材开发、课程与教学的实施和评价更具有实质性指导作用，可供我国数学和其他学科课程改革参考。
二、学习内容比较
为获得对上海标准和加州标准小学“统计与概率”内容的整体认识和良好的参考价值，我们对两标准的“统计与概率”内容按学段列出，并做整体评析。对上海标准，我们维持其原貌。加州的K-2年级和3-5年级分别与上海的第一和第二学段对应，我们列出同学段内不同年级所作要求不同的内容的所有要求。具体内容如表1。
表1 上海与加州数学课程标准小学“统计与概率”内容分布表
从表1可以看出，上海标准和加州标准小学“统计与概率”部分有很多共性。首先，大多数“统计与概率”知识是相同的，如数据的收集与分析、统计表、条形统计图、折线统计图和平均数等。其次，两标准在小学阶段都侧重于数据收集与分析和统计，对概率部分都只有简单的铺垫。第三，两标准在具体内容的学习水平上整体是递进安排。
两标准的小学“统计与概率”内容也有许多不同之处。首先，学习目标的侧重不同。加州标准主要以学生应该取得的学习结果来展示，如“识别…”“理解…”“解释…”等，说明在学习目标上更侧重于学生掌握与“统计与概率”相关的基础知识和基本技能（以下简称“双基”）。上海标准在学习目标上更侧重于学生经历学习过程和掌握学习方法，强调从生活中学习“统计与概率”和在学习活动中培养学生的探究能力，表现为用“尝试根据需要通过多种渠道…”“联系生活实际…”“通过丰富的事例…”等来描述学习内容。
其次，在“统计与概率”知识的范围上存在差异。比如，上海标准中要求学生学习的生活中的票据和对包括网络在内的现代技术的运用在加州标准中没有出现；而加州标准中的极差、众数、中位数和扇形统计图等在上海标准中也没有作要求。整体说来，加州标准相对上海标准所要求学生学习的“统计与概率”相关内容更多。
第三，两标准都有的部分内容的安排时间不同，这主要体现在两标准都要求学生掌握的统计表和折线统计图的安排上。上海标准将它们都安排在第二学段，而加州标准则将其安排在第一学段。出现这种时间上的不一致的主要原因是加州标准有更多的内容，又不可能把太多的内容集中安排在第二学段。
第四，对现代技术使用的要求不同。虽然上海和加州的小学都具备让学生选择多种现代技术辅助学习的条件，但是两标准对现代技术的要求截然不同。上海标准重视现代技术在学习“统计与概率”中的运用，要求学生会使用计算器求平均数和利用网络收集数据等。加州标准没有要求学生在小学“统计与概率”学习中使用现代技术。
三、学习水平比较
为让教材编写者和教师准确把握课程标准中“统计与概率”内容的水平，保障“统计与概率”教学的顺利实施，上海标准对小学“统计与概率”各知识点采用不同的行为动词来刻画学生应达到的水平，并对行为动词所代表的学习水平做了明确说明，具体如表2。[2]
表2 行为动词水平分类表
水平层级
行为动词
知道、了解、认识、感知、识别、初步体会、初步
记忆水平学会
解释性 说明、表达、解释、理解、懂得、领会、归纳、比较、
理解水平推测、判断、转换、初步掌握、初步会用
探究性 掌握、推导、证明、研究、讨论、选择、决策、解决问
理解水平题、会用、总结、设计、评价
加州标准也采用了不同的行为动词来界定学习水平，对多数“统计与概率”内容的学习水平还列举了案例进行说明。我们按上海标准的水平层次划分，统计上海标准和加州标准中达到各学习水平的知识点，分析在学习水平上的差异。上海标准规定的是在学段结束时应达到的水平，也即是学段内的最高水平，因此对加州标准中同一学段内有不同水平要求的相同知识点我们也取其最高水平。对语言翻译上可能引起歧义的内容，我们结合案例来界定其水平。比如，要对加州标准2年级中出现的“认识、描述、拓展和解释简单数据模型，解决相关的简单问题”进行水平界定，我们认为其中“拓展数据模型”就“解决相关的简单问题”是最高的两点要求。“拓展”虽然很可能高于“解释”，但是在上海标准的行为动词分类表中没有出现，而且这里的“解决相关的简单问题”和上海标准的“解决问题”也很可能存在差异。因此我们参照加州标准中对该条进行说明的案例：
农场有两匹马，给它们钉马掌共需要马掌多少只？通过3，4，5，6，7，8，9和10匹马的情况寻找其规律。[1]
可以看出，本例的目标是让学生找出马掌总数y和马的匹数n之间的关系为y=4n，对小学2年级的学生来说是发散性的问题，应该归入探究性解释水平一类。此外，知识点数量的确定以各标准中最低级别的知识点为准，比如加州标准中的“知道平均数、中位数和众数的概念”即是3个记忆水平的知识点，具体统计结果如表3。
表3 上海与加州小学“统计与概率”知识点水平统计表
解释性 探究性
记忆水平合计
理解水平理解水平
上海标准 12(57.1%)6(28.4%)3(14.5%)
21(100%)
加州标准 14(41.3%)
18(52.8%)
2(5.9%)34(100%)
从表3可以看出，上海的小学“统计与概率”知识要求为记忆水平和探究性理解水平所占比例要高于加州标准，加州标准中解释性水平所占比例高于上海标准.两标准的整体水平高低究竟如何呢？我们参照史宁中等的研究[3]，对记忆水平、解释性理解水平和探究性理解水平分别赋予水平值1、2和3进行量化，得上海标准平均水平值是1.57，加州标准平均水平值是1.67。这说明虽然两标准侧重点不一样，上海标准更强调学生在最低的记忆水平基础上进行探究性学习，而加州标准更重视学生对基本技能的掌握，但是在这种量化标准下加州标准比上海标准的平均水平不低。当然这一量化工具是否精确还需进一步确认。上海标准的学习水平主体是记忆水平，但在探究性理解水平上却远远高于加州标准(14.5:5.9%)，这也与本文前面在内容比较中的结果一致。上海标准中培养学生探究能力的目标在实际教学时要得到贯彻落实，而不是把高认知水平任务降低为低认知理解水平，将受到教师、学生、教学评价、家长和社会多种因素的制约，更需要教科书编写者和各级教研员的支持。
四、思考与启示
1.把握“双基”和探究能力的协调
过去许多研究认为，我国数学教育的鲜明特色之一是重视基础知识和基本技能，而美国的数学教育则更重视学生数学探究能力的培养。在前面的比较中，我们看出加州标准小学“统计与概率”内容的语言表述更接近我国以前的教学大纲。从某种意义上，我们可以粗略地认为“记忆水平”和“解释性理解水平”是与“双基”对应的，那么无论是从语言表述上看，还是学习水平上分析，加州标准相对上海标准在小学“统计与概率”部分都更强调学生对“双基”的掌握，而上海标准则更重视学生探究能力的培养。这从侧面说明加州标准相对以前淡化了对学生探究能力的强调，在学习我国的传统优点；而上海标准则在学习美国过去的长处，在一定程度上也削弱了自己的传统优势。相互学习，取长补短是好事，但也要警惕矫枉过正。许多研究表明，知识是问题解决的基础。尽管学习的过程对培养学生的数学认识论、方法论是重要的，但限于小学生认知发展的局限性，在小学阶段落实“双基”也至关重要。“双基”和探究能力如人的双手，对二者应该都给予足够的重视，才能保证学生在“统计与概率”和其他数学内容学习中协调发展，也只有在保证“双基”的前提下，学生的探究能力才不会成为无源之水。
2.把握课程内容的广度与深度的协调
美国以前的数学课程内容被认为是广而浅，虽然重视学生进行数学探究，但是结果是学生对数学内容一知半解，难以对数学知识有深刻认识。我国原来的数学课程内容则被认为是窄而深（另一说法是“繁、难、偏、旧”），常常使学生陷入对一些解题技巧的过分追求，不能形成对数学的整体认识。我们的比较发现，在“统计与概率”知识范围上，加州标准比上海标准明显要广；在学习水平上，加州标准也未见得比上海标准低。这说明加州标准在保持原有课程内容广度优势的基础上在一定程度上增加了课程内容的深度，在寻求“统计与概率”内容广度和深度的平衡点；而上海标准在学习过去美国数学课程重视学生探究能力培养的同时，在课程内容广度上还有待加强。课程内容广度和深度是课程内容必备的两方面，只有保证二者的协调才能让学生取得良好的学习效果。因此上海标准应该注意在重视学生探究能力培养和增加课程广度的同时，更要注重保持课程内容深度的传统优势，力争找到二者的平衡点。另外，中美两国数学教育的跨国比较表明，上海小学数学教师比美国的同行有更高的教学水平。既然水平不见得低于上海的加州标准经过实践证明切实可行，那么上海标准是不是可以适当地提高学习要求呢？
3.对数学课程中现代教育技术的运用合理定位
现代教育技术的发展曾让数学教学面貌一新，但是在一时的辉煌之后引发了许多的争议，至今也尚未平息。20世纪90年代中期以来，教育技术强势进入我国数学教学，目标是想把学生从冗繁的计算中解放出来，让他们更多地进行数学探究学习。与此同时，在以美国为代表的西方发达国家的数学课程中，教育技术的地位却逐渐下降，原因是很多人把学生计算能力和数学推理能力下降归罪于教育技术的使用。这在上海标准和加州标准中也表现明显。上海标准非常重视教育技术的使用，从简单的计算器到包罗万象的网络都引入到小学“统计与概率”的学习内容中。加州标准则截然相反，在6年级以前都没有引入现代技术，目标是锻炼学生的计算能力和数学推理能力。[1]这两种做法都有矫枉过正之嫌，我们还应该冷静思考，对数学课程中现代技术的使用进行合理定位。教育技术不仅仅是降低学生计算难度的助手，也不单是学生获取信息的工具，它应该成为学生学习数学方法和数学思想的载体。正如Burrill所说，“我们应该让学生使用教育技术工具解决真正有意义的问题，并在这一过程中学到数学的推理过程和思想方法，这才是使用教育技术的正确途径。”[4]在数学课程具体实施中如何合理使用教育技术，还有待在实践中进行探索。