具有固定时滞的经济周期模型的动态分析_经济周期论文

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      经济周期模型用于研究经济体系内的收入、成本、投资等因素在市场机制作用下所引起的波动状况，是解释经济运行规律的重要工具。线性周期模型能够反映经济运动中投资和收入的变动引发经济周期的形成，然而线性结构下的周期模型无法准确描述现实经济变量函数的非线性以及经济活动的时滞性。Kaldor（1940）第一次尝试分析动态经济学的非线性效果，构建了Kaldor非线性周期模型，通过假设投资函数和储蓄函数都是产出和资本存量的非线性函数，证明了经济周期的存在性[1]。但是，这个模型不能描述现实中任何投资都不会在投资之时就可以在时间上连续获得利息的事实，其实，对此，Kalecki（1935）已经提出假设：经济周期模型中利润的储蓄部分将在经济活动中用来投资，而投资决策实现资本的增加，在此过程中资本的生产需要一定周期，也就是从投资决策到资本形成存在着时滞性[2]。

      Krawiec和Szydlowski（1999）综合Kaldor和Kalecki的思想，成功构建了Kaldor-Kalecki经济周期模型，引进过去投资决策延迟造成的时滞，结果表明随着时滞的增大，模型系统表现出周期行为，甚至是复杂的混沌行为[3]。Krawiec（2001）又发现过去的投资决策影响资本存量的变化[4]，因此，Kaddar和Alaoui（2008）认为在经济周期模型的资本积累方程中，同时考虑生产总值和资本存量的时滞效应，应该将两个函数都引入时滞参数[5]。Duboi（2004）利用具有预期和延迟的差分方程，结合Kaldor-Kalecki经济周期模型，又进一步说明了资本存量的预期对于投资决策的影响以及在经济活动中的重要性[6]。考虑到投资到资本形成的时滞以及资本存量的预期在制定投资决策时对投资活动产生影响，刘澄等（2011）把投资效应的时滞以及对资本存量的预期时间引入到Kaldor-Kalecki经济周期模型，构造了新的带有混合时间参数的Kaldor-Kalecki经济周期模型，研究了投资时滞效应以及资本存量的预期效应对于经济周期的影响[7]。可以看出，利用非线性经济周期模型代替线性周期模型，能够描述具有典型不对称性的实际时间序列时复杂的经济现象；并且在非线性经济周期模型中引入了时滞或预期时间，描述其对经济周期的产生以及经济活动的影响，能够更加确切地刻画投资时滞效应和资本存量预期效应的事实。

      为研究非线性经济周期模型，很多学者引入了分岔理论方法。分岔理论是在将经济周期模型转化为微分动力系统基础上，探索系统的稳定性及周期轨的存在性，继而解释经济周期模型的均衡解以及经济周期的形成条件问题，甚至复杂的混沌问题。与仅能揭示有定常频率的调和震荡的传统方法相比，更加有效法刻画复杂的经济运行的动态行为。例如，Beretta和Kuang（2001）依赖时滞参数分析系统的稳定性[8]；Wu（2012）列举带有时滞的Kaldor-Kalecki经济周期模型的几种分岔类型，并证明了其存在的条件[9]；Cesare和Sportelli（2012）利用分岔理论描述财政政策时滞和收入调整过程的复杂的经济行为[10]。陈红兵（2014）研究了具有时滞的金融模型的稳定性及Hopf分岔[11]。

      本文考虑到政府支出对经济发展的影响以及达到预期目标的投资决策行为的作用，以动态乘法一加速模型理论为基础，结合投资时滞以及资本存量的预测时间，构造具有固定时滞以及固定政府支出下的经济周期模型。利用现代动力系统理论中Hopf分岔理论寻找经济周期形成的因素，同时为投资决策者进行决策提供合理的视角。

      二、模型的构建

      1.动态乘法—加速模型理论

      在经济中，经济周期的形成看做只靠经济系统自发调节的结果，在此过程中国内生产总值、投资、消费三者之间相互影响，相互调节，而政府支出假设为既定的经济行为，不干预经济运行。

      萨缪尔森—希克斯的动态乘法—加速模型是描述经济周期的非线性周期模型，具体形式为：

      

      在乘法—加速模型中，投资增加通过乘数效应促使生产总值增加，再通过加速效应引起投资的进一步增长，经济呈现繁荣；然而，受社会需求和资源的限制，当生产总值达到一定水平后就停止增加，这时又通过加速原理、乘数效应使得生产总值减少，经济进入衰退阶段。正是乘数与加速原理相互作用，经济出现繁荣—衰退的更替，自发地形成经济周期。在这个过程中，投资是引起经济周期形成的关键因素。

      2.具有固定时滞的经济周期模型

      经济活动中，投资不会在投资之时就可以在时间上连续获得利息的，而是在经过一个或短或长的时间间隔后才能获得经济效益的，即投资与产生经济效益直接存在着时滞。考虑到过去的投资决策影响资本存量的变换，Kaldor等认为，在更合理的投资积累方程中，生产总值和资本存量都应该引入时滞。基于Kaldor周期模型，在资本积累过程中，假设由生产总值和资本存量所引起的投资时滞是固定的，资本积累方程为

      K’（t）=I（Y（t-τ），K（t-τ））-δK（t）

      δ∈（0，1）是资本存量的折旧率，τ≥0指常数时间延滞。

      在经济活动中，投资决策将受预期资本存量的影响，这是由于资本存量的潜在价值决定的。因此在模型（1）的第一个方程中，投资函数是关于生产总值与预期的资本存量的函数，假定其预期时间与资本积累方程中的投资时滞是相同的，即：

      I=I（Y（t），K（t+τ））

      可以得到动态经济模型：

      

      其中，τ＞0在投资函数表示资本存量的预测时间，在资本积累方程中表示投资时滞。

      

      令W（t）=K（t+τ），则模型（3）转换为下面的动态经济系统形式：

      

      经济周期由于投资引起的，因此在经济周期模型中引入非线性的、包含收入和资本存量为变量的投资函数，同时，将同一固定的时滞引入到资本积累方程以及投资函数，研究投资的时滞以及资本存量的预测时间对经济周期产生的影响。

      三、具有固定时滞的经济周期模型的动态分析

      本节将投资中的时滞作为分支参数，研究具有固定时滞的经济周期模型的均衡点的稳定性以及Hopf分支形成经济周期的条件。

      

      系统（4）线性化可得：

      

      那么，系统（5）所对应的特征方程为：

      

      其中，A=δ-α（b+σ-σε-1）

      B=α（βb+δ+δσε-δb-δσr）

      C=αβ（1+σ-ε-b-σ）

      当τ=0时，及在投资过程中没有时滞，因此特征方程为：

      

      易知多项式（7）具有负根或负实部的根当且仅当满足下列条件：

      

      可以得到定理1。

      

      可以看出，没有引入时滞的投资函数能够解释经济运行稳定或是动荡，但并没有呈现出经济周期性运行的现象，也说明了投资的时滞效应是诱导经济周期形成的原因。

      当τ＞0时，随着τ的变化，仅当特征方程的一个零点在虚轴出现或穿越虚轴时，系统在均衡点处稳定性发生变化，并产生Hopf分岔。根据经济参数讨论方程（6）的根的分布情况，现主要讨论下面三种情况：

      

      可以得到定理2。

      

      证明 下面讨论时滞τ对系统均衡点的稳定性的影响。根据论文（Beretta，2002）需要找到方程（6）的纯虚根。假设λ=ωi（ω＞0）是一个纯虚根，当然λ=-ωi也是方程（6）的一个根（因为时滞不小于0，该根不予考虑）。代入特征方程（6），分离实部与虚部，得到：

      

      

      对于特征方程的一个零点在虚轴出现或穿越虚轴的变化，是通过在

点时，特征方程（7）的根的实部对τ求导的符号的考察。

      对特征方程（7）关于τ求导，可得：

      

      可以看出所有的纯虚根都是单根（除非A=B=C=β=0），并且

      

      可以看出，引入时滞后以非线性的、包含收入和资本存量为变量的投资函数，具有复杂的动态行为，既能反映经济运行的稳定或是动荡行为，又能说明了起因于投资的经济周期现象。通过对构建的具有固定时滞的经济周期的动态分析可以得到以下结果：

      1）投资时滞是经济周期形成的诱因。在投资时滞较小的情况下，经济行为将会趋于一个稳定的状态。当投资的时滞增大时，模型将会出现周期解，即出现经济周期的现象，时滞点取决于模型的相关参数。也就是说，在投资决策中，较短的资本存量预期决定投资过程中资本形成的速度就快，经历一段时间后，生产总值与预期存量逐渐趋向均衡，经济呈现平稳发展；反之投资决策的耗时就长，引发生产总值与预期存量长生周期性震荡，从而产生经济周期。

      2）政府支出与投资时滞对经济周期的影响有差异性。将政府支出引进模型的，来探索其对经济周期的影响，研究决策者如何制定预期目标，避免大经济周期波动。政府支出在经济周期模型线性化以后，对经济周期形成的条件是没有影响的，它主要是通过投资函数的形式间接对经济周期形成的造成影响。但是，它对经济均衡目标影响是很大的，对决策者的投资行为起着指导作用。

      3）投资决策可用于逆周期调控。在投资决策中，假设政策制定者在已知投资参数，其他参数如市场调整系数，资本折旧率情况下，显然经济均衡值的水平依赖于政府支出。因此，如果政策制定者制定一个经济均衡目标，可以调整政府支出，及投资参数，使得经济均衡值稳定或由不稳定到稳定，或者使得整个系统保持小幅震荡的周期稳定。

      本文考虑经济运行中变量函数的非线性以及经济活动的时滞性，构建了具有时滞的非线性经济周期模型。分岔理论将投资的时滞作为分支参数，讨论具有时滞的经济周期模型的动态行为。

      通过对模型的动态分析，得到非线性投资函数能够解释经济运行的稳定或是动荡的原因，但没有因此出现周期性运动。引入时滞后的非线性投资函数，随着投资的时滞增大时，模型将会出现周期解，是经济周期现象出现的原因。先将政府支出引进模型，探索了其对经济周期的影响，研究决策者可以通过制定预期目标，避免大经济周期波动，但政府支出与投资时滞对经济周期的影响有差异性。发现调整投资决策的投资参数，使得整个系统保持小幅震荡的周期稳定，可以进行逆周期调控。

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