解题的切入点，本文主要内容关键词为：切入点论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
解答一道数学题目，就象攻克一座堡垒.首先要了解堡垒内部与外部的情况，然后再依据自己的力量制定一个“进攻方案”.无论哪一种“进攻方案”都需首先选择一个易于攻克的突破口，以便集中优势兵力，有效的攻其一“点”，再由点及面，逐步扩大战果取得最终胜利.解答数学题目亦如此，在分析题目的已知和所求的基础上，需首先选择一个解题的切入点，此点的选择正确与否成为解题的关键.数学是充满模式的，切入点的选择有以下几种常见情况：
一、以基础知识为切入点
首先要准确、规范、熟练的掌握好数学的基础知识、基本技能，透彻的理解数学基本概念、定理、公式，这样，就可由题目条件中显现出的概念、图形特征及定理、公式的结构特征，提取解题信息，据此为解题的切入点.
附图
附图
所以a≠-1，综合可得：
a∈R，且a≠-1
例2 函数f（x）=log[，a]（ax[2]-x）在x∈[2，4]上是增函数，则a范围为______.
基础知识：两个单调性相同的函数复合为增函数，两个单调性相反的函数复合为减函数.已知函f（x）=log[，a]（ax[2]-x）在
x∈[2，4]上是增函数，即由两个函数
f（t）=log[，a]t和t=ax[2]-x，x∈[2，4]复合而成的函数为增函数，由复合函数的性质可知，两个函数应具有相同的单调性，故而以两个函数同增或同减的情况分类讨论为切入点.
解：当a＞1时，f（t）=log[，a]t为单调增，
又复合函数f（x）=log[，a]（ax[2]-x）在x∈[2，4]上是增函数.
所以t（x）=ax[2]-x（t＞0），x∈[2，4]也必须单调增，由抛物线t（x）=ax[2]-x的对称轴方程为x=1/2a，
得0＜1/2a≤2，且满足t＞0，故得a＞1；同理可分析，当0＜a＜1时的情况，不满足题意，故舍去.综合可得：a＞1.
例3 把椭圆（x[2]/25）+（y[2]/24）=1的长轴AB一百等分，过每一个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P[，1]，P[，2]，…P[，99]点，如F[，1]为左焦点，则｜P[，1]F[，1]｜+｜P[，2]F[，1]｜+…+｜P[，99]F[，1]｜=______.
基本概念：一动点P，二定点F[，1]、F[，2]，
若｜F[，1]F[，2]｜=2c，｜P[，1]F[，1]｜+｜P[，2]F[，1]｜=2a（a＞c＞0，a、c均常数），则动点P的轨迹为椭圆.
因为P[，1]，P[，2]，…P[，99]为椭圆上的点，｜P[，1]F[，1]｜、｜P[，2]F[，1]｜、…、｜P[，99]F[，1]｜是椭圆上的点到左焦点的距离，所求又为椭圆上的点到左焦点的距离和，故由定义自然切入，应有：
｜P[，i]F[，1]｜+｜P[，i]F[，2]｜=2a（i=1，2，3…99），
（｜P[，1]F[，1]｜+｜P[，2]F[，1]｜+…+｜P[，99]F[，1]｜+（｜P[，1]F[，2]｜+｜P[，2]F[，2]｜+…+｜P[，99]F[，2]｜）=99·2a，且已知的椭圆是一个以原点为对称中心，以两条坐标轴为对称轴的图形，所以
｜P[，1]F[，1]｜+｜P[，2]F[，1]｜+…+｜P[，99]F[，1]｜=｜P[，1]F[，2]｜+｜P[，2]，F[，2]｜+…+｜P[，99]F[，2]｜，
易得｜P[，1]F[，1]｜+｜P[，2]F[，1]｜+…+｜P[，99]F[，1]｜=（99/2）×2a=495.
例4 已知一动点P（x，y），满足
=｜x-y+5｜，则动点轨迹为（
）
A.直线
B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
基本公式：P[，1]（x[，1]，y[，1]），P[，2]（x[，2]，y[，2]）二点间距离公式为
其结构为二个对应坐标差的平方和的算术根.点P（x，y）到直线ax+by+c=0距离公式：
其结构为分式，分子是直线方程一般式左边的绝对值，分母是直线方程一般式中x、y系数平方和的算术根.观察已知等式左右两边的结构特征，分别与二点间距离公式及点到直线距离公式的结构相近，故据此为切入点，进一步向着公式的结构方向转化已知：
附图
可得动点P（x，y）到定点F（3，-1）的距离等于到直线x-y+5=0的距离，所以动点的轨迹为抛物线.
二、以已知条件为切入点
解数学题的过程，从某种角度来说，是将已知到未知的“距离”逐渐缩短的过程，是将已知条件“合理”的逐步转化为未知的过程.剖析已知条件，进行有效的分检、组合，由易于转化且与目标“亲近”的已知切入，寻找它们与所求目标相近区域的“绎站”，将已知条件沿这些“站点”用“理”使其“变形”传递，逐步向目标转化，最终实现由因到果的质变.
例5 已知直线ι：x-ty=t与抛物线c：y[2]=x相交于A、B二点，线段AB的中点为M，且与定点P（4，1）不重合，设直线PM在y轴上的截矩为b.设b=f（t），求f（t）及t的取值范围.
在多个已知条件中，“已知直线ι：x-ty=t与抛物线c：y[2]=x相交于A、B二点”最易转化，且其它的一些条件均是在此基础上建立的，所以应由此已知条件为切入点.
简解：A（x[，1]，y[，1]）、B（x[，2]，y[，2]）二点坐标即方程组x-ty=t y[2]=x的解，消元后得到的一元二次方程y[2]-ty-t=0，
由韦达定理得：x[，1]+x[，2]=t[2]+2t，
中点坐标
附图
又直线与抛物线相交于A、B不同二点，所以方程组必有不同二解，则消元后得到的一元二次方程y[2]-ty-t=0的根的判别式
△t[2]+4t＞0t＜-4.
由“M与P（4，1）不重合”
y[，0]=t/2≠1t≠2
所以b=f（t）=t/（t+4）
（t＞0或t＜-4且t≠2＝
例6 对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x[2]+px＞4x+p-3都成立的x取值范围为______.
已知条件为p的取值范围0≤p≤4，为了能利用已知条件，就需将p从含x、p两个变量的不等式中分离出来，所以寻求已知利用的途径成为切入点.
附图
解得：x＞3或x＜1（舍去）
综合可得：x＜1或x＞3
三、以多条件中的“近距离”为切入点
对条件纷杂即有多个已知条件的问题，要选择一个自己是最熟悉即思维能流畅通达的“近距离”的条件为切入点，然后由近及远，寻找已知条件之间的内在联系.
例7 已知定义域为R的函数f（x），对任意的x、y∈R，均有：
f（x+y）=f（x）+f（y）-3，且
f（3/2）=0，当x-3/2＞0时，f（x）＜0，试举一个具有这种性质的一个函数.
此题中要求的函数需满足三个条件，先对这三个条件逐一进行分析：
第一个若改为f（x+y）=f（x）+f（y）比较熟悉，但在等式右边-3后就有些陌生了，属“远距离”；第二与第三个条件都较熟悉，二者相比还是等式更“近”些，故而从
f（3/2）=0开始.首先寻找一个满足f（3/2）=0的简单的一次函数y=x-2/3，其次为使它满足当x-（3/2）＞0时，
f（x）＜0，将函数改进为
y=-（x-2/3），再将其代入
f（x+y）=f（x）+f（y）-3检验，
左边=f（x+y）=-（x+y）+3/2，
右边=f（x）+f（y）-3=-（x+y），
左边≠右边，
附图
将其代入f（x+y）=f（x）+f（y）-3
可求得c=2，f（x）=-2（x-（2/3））.
这样使思维由“近”及“远”，由易到难，自我搭设一个适合自己的解题阶梯.
四、寻找“动中之静”为切入点
世界上任何事物都不会孤立存在，它们相互联系、相互制约，达到动态“平衡”后而共存.对于含有动点、动线等运动的元素的问题亦如此，随着某些量的变化，它周围的相关元素也随之变化，整体在这个变化过程中也会达到“平衡”，这就需要我们通过动态中的条件“透视”出运动中相对“静止”的量，“以不变应万变”吧.
例8 一动圆C与两定圆C[，1]：（x+2）[2]+y[2]=1C[，2]：（x-2）[2]+y[2]=4分别内切和外切，求动圆C的圆心P的轨迹.
解：设⊙C[，1]圆心F[，1]（-2，0），⊙C[，2]圆心F[，2]（2，0），虽然动圆C的圆心半径都在变化，但是它与两定圆分别内切和外切的位置关系固定不变，⊙C与定圆C[，1]内切圆心距｜PF[，1]｜=r-1是变量，圆C与定圆C[，2]外切圆心距｜PF[，2]｜=r+1也是变量，且它们都随着r的变化而变化，是否能建立｜PF[，2]｜与｜PF[，1]｜的一种关系，消去变量r，化变量为常量呢？以此为切入点可得：
｜PF[，2]｜-｜PF[，1]｜=（r+1）-（r-1）=2，则动圆C圆心P的轨迹为以F[，1]、F[，2]为焦点、实轴长为2的双曲线的一支.
例9 正方体ABCD—A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]中，点P在侧面BC[，1]及边界上运动，且总有BD[，1]⊥AP，求动点P的轨迹.
附图
解：在已知条件BD[，1]⊥AP中，线段BD[，1]是静止的，线段AP是运动的，但它的一个端点A固定，另一个端点P运动，在线段AP变动的无数个位置中，定线BD[，1]⊥AP的关系静止不变，即定线BD[，1]垂直于过A点的无数直线，即BD[，1]垂直于过A点的由动线段AP构成的一个平面α.
虽然P为动点，但平面α是“静止”的，由此切入可推得：平面α与面BC[，1]的交线即为动点P的轨迹.
因为“二条相交直线确定一个平面”，故需再寻找在面BC[，1]内过动点P且与BD[，1]有固定垂直的另一条直线，显见BD[，1]垂直BC[，1]，则P点的轨迹为线段CB[，1].
通过分析已知条件，剥离动量，探求定量，确定切入点.
五、构建解题主框架为切入点
构建解题主框架，即要有“大局”的观念，分析已知、锁定目标，带着问题，寻找条件和结论的联系，有的放矢，布局谋篇，不要求推证计算的绝对严谨，而是正确构建解题思路的“大框架”，透析解题主过程，再加工细化各模块.
例10 中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E与直线ι：y=1-x交于A、B二点，直线y=x/2过线段AB的中点，且椭圆E上存在一点G与椭圆右焦点关于直线ι对称，求椭圆E的方程.
解题主框架
附图
简解：由已知可设E为：（x[2]/a[2]）+（y[2]/b[2]）=1，
附图
要准确、迅速地把握解题的切入点，就要善于根据变化的情况有所判断、有所选择、有所发挥，不断总结规律.