例谈最值问题的基本解题策略，本文主要内容关键词为：策略论文,例谈最值论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
综观近几年初中生学业考试试题，求最值问题一直是学业考试命题的热点问题。因为从对学生考查的角度来看，求最值的问题是一个综合能力的考查，从内容上来看它涉及初中数学的核心知识；从方法上来说，它涉及代数式的变形与变换，数形结合，换元法，构造法，分类讨论，内容与方法上的转换等；从能力角度来说，它要求学生有一定的分析问题，解决问题的能力，所以无论从考试角度及能力培养上，在教学中应高度重视。下面将结合一些典型的试题，浅析最值问题的解题策略以供参考。
策略1 运用“三点共线与三点不共线之间的关系”求最值
例1 （2009年潍坊市）已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的长的最大值是______。
由题意知，不论△ABC怎样移动，总存在△OEC，使OC≤OE+EC（当O、E、C三点共线时等号成立），所以当O、E、C三点共线时，OC的长就会达到最大值，即
点评：本题以直角坐标系为背景，将直角三角形、正三角形的性质及图形运动融于一体，考查了学生对图形的观察、识别、转化及探究的能力。解答此类问题的关键是抓住图中线段OE、CE的不变量，将求OC的最大值转化为OC与OE+EC进行比较的问题，只有当O、E、C三点共线时才能取得最大值。
策略2 巧用“点到直线垂线段最短的性质”求最值
例2 （2010年桐乡市适应考）如图3，在平面直角坐标系中，已知△OAB是等腰三角形（OB为底边），顶点A的坐标是(2，4)，点B在x轴上，点Q的坐标是(-6，0)，AD⊥x轴于点D，点C是AD的中点，点P是直线BC上的一动点。
图3
(1)求点C的坐标。
(2)若直线QP与y轴交于点M，问：是否存在点P，使△QOM与△ABD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
(3)以点P为圆心、
为半径作圃，得到动圆⊙P，过点Q作⊙P的两条切线，切点分别是E、f问：是否存在以Q、E、P、F为顶点的四边形的最小面积S？若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由。
图4
解：(1)因为△AOB是等腰三角形，顶点A的坐标是(2，4)。又因为AD⊥x轴于点D，点C是AD的中点所以C(2，2)。
点评：第(1)问由△OAB是等腰三角形的性质可知C点坐标，切入点自然，学生熟悉。第(2)问全面地考查学生分析问题、解决问题的能力，需要经过观察、分类、分析、化归、数形结合、计算等活动，逐步确定要求的结论或条件。它涉及求一次函数的解析式、三角形相似的判定、二元一次方程组的解法等初中几何、代数的核心知识，具有一定的综合性。第(3)问当点P在直线BC上移动时，QE的大小由PQ的大小确定，PQ最小时，QE达到最小，从而使四边形QEPF的面积最小。显然，在所有点Q到直线BC的距离中，当QP⊥BC时，QP的长是最小的，所以此时四边形QEPF的面积即为最小面积。解这类问题的总体思路是采用综合法或分析法，即根据题目条件推导结论或把结论看作条件进行逆推，探索结论成立所需的条件。
策略4 运用“几何基本图形”求最值
例4 如图7，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=3，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，求点B到原点O的最大距离。
图7
解：根据“若点P是直线l上一定点，PA、PB的长一定，当PA与PB运动至同一直线上时，A、B两点间的距离AB有最大值PA+PB”。所以取AC的中点E（如图8），连接OE和BE。
由题意知，不论△ABC怎样运动，OE、BE的长一定，且总存在△OBE，使OB≤OE+BE（当O、E、B三点共线时等号成立），所以当O、E、B三点共线时，点B到原点O的最大距离为5。
点评：解决此类变式问题，应对原题的图形结构、作图方法精心研究后，在变化的条件中，进一步研究轴对称图形（正方形、圆）是否能继续运用几何模型解决问题，抓住其中的“不变因素”，利用类比的方法、转化的思想，才能以“不变”应“万变”。此题给出的图形不仅是非轴对称图形，而且求点B到原点O的最大距离，一方面需要读懂、理解材料中的作法，另一方面要构造三点共线。这不仅深化学生对知识的理解，完善认知结构，而且使学生思维的敏捷性、应变性，随问题的不断变换，不断解决而不断提升，达到了举一反三、融会贯通的效果。
策略5 妙用“当分子一定、分母最大时，分式值最小的性质”求最值
图9
例5 （2009年乐山市）如图9，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点。若OA、OB(OA＜OB)的长分别是方程
的两根，且∠DAB=45°。
(1)求抛物线对应的二次函数解析式；
(2)过点A作AC⊥AD交抛物线于点C，求点C的坐标；
图10
点评：该题第(1)问通过解一元二次方程，结合题目条件易求抛物线的二次函数解析式，顾及了层次较低的学生。第(2)问关键是挖掘
这个隐含条件，再结合函数的性质建立关系。第(3)问打破从对称性出发设计几何最值问题的命题思路，巧妙地将图形面积关系隐含在题设中，要求考生分析、探究几何元素间的数量关系和位置关系，将三角形面积关系转化为线段关系，进而求出
的最大值，问题设置富有创意，有利于学生充分发挥自己的数学学习水平，较好地考查了学生的数学思维能力和综合运用知识分析解决问题的能力。整个试题的设计由简单到复杂，由单一到综合，层次分明，梯度合理，符合新课程所提倡的教育理念，具有较好的效度和区分度。
策略6 会用“当等腰直角三角形斜边最长时，腰最长”求最值
例6 （2010年福州市检测卷）如图11，在平面直角坐标系xOy中，抛物线
与x轴交于A(-1，0)，B(-3，0)两点，与y轴交于点C。
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
(3)点Q在直线BC上方的抛物线上，且点O到直线BC的距离最远，求点O坐标。
图13
图14
点评：这是一道以二次函数为背景的综合性试题，第(1)问学生易求得函数的解析式；第(2)问，关键是构造出两个相似三角形，利用成比例线段，易求得点的坐标，但还要考虑到点P关于x轴对称情况，这一点学生往往容易遗漏而导致失误；第(3)问，是关于求点Q到直线BC的距离最远的最值问题，难度较大，但巧妙地构造出等腰Rt△QHS，这一巧妙的构造是解决问题的突破口，题目难度也因此大大降低。因为△QHS是等腰直角三角形，所以当斜边QS最大时QH最大，此时把问题转化求二次函数的最值。整个题目涉及了等腰直角三角形、一次函数、相似三角形、二次函数以及函数最值等初中阶段重要的知识点，同时，对分类思想、数形结合思想的考查也有较高的要求，具有较好的区分度。