数学表征及其案例解析，本文主要内容关键词为：表征论文,案例论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学的研究对象是抽象的、形式化的思维材料[1]，因此，把数学知识的学术形态转化为教育形态是数学教学的目标之一[2].数学教师的任务在于把冰冷而美丽的数学的学术形态进行返璞归真，把数学的形式化逻辑链条恢复为当初数学家发现创新时的火热思考.在对原生态的数学知识进行教学法的加工，转化为易于学生理解的、即教育形态的数学过程中，对数学知识进行多元表征是很重要的.通过对数学知识进行适当的多元表征，一定程度上降低了数学的抽象度与形式化，进而促进学生对数学的理解.
一、表征及数学表征的内涵
1.表征
表征是认知心理学研究领域中的一个核心概念，自20世纪50年代的“认知革命”发生后，认知科学试图以表征概念来描述大脑的信息加工过程.一般地，表征是指可反复指代某一事物的任何符号或符号集[3]，是用某一种形式（物理的或心理的），将一种事、物、想法、知识重新表现出来[4].表征就是把一个“表征”世界和一个“被表征”的世界中的某种特性或元素建立起一种对应关系.因此，实际上表征包含信息以及对信息的加工.表征是一种认知活动过程，即人们如何在大脑中建构、组合、表示当前学习的知识；表征也是认知活动的结果，即知识或信息是以什么样的形式储存在大脑中的.因此，表征是过程与结果的统一.
表征一般分为内部表征和外部表征.其中，内部表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观察的心智表征或学习者拥有的心智结构，譬如个体在头脑中建构数学对象的心像等；外部表征是指以语言、文字、符号、图片、具体物、活动或实际情境等形式存在的表征[5].知识的表征方式主要有书面符号表征、图形表征、情景表征、操作性表征模型、语言表征[6]（如图1），它们之间不一定存在先后的发展次序，最需要关注的是它们之间的转换和相互影响，而且，这种转换和影响对于学生的概念形成和理解有重要的意义.
2.数学表征
数学表征是指用某种形式表达数学概念或关系的过程.数学表征有助于学生理解概念、关系或关联以及解决问题过程所使用的数学知识[7].学习者若要理解某个数学结构，就必须在这个数学结构与一个更易理解的数学结构之间建立一个映射，而表征就是这个映射过程.它既不是表征的对象（被表征了的数学结构），也不是表征的目的（较易理解的数学结构），表征就存在于这种映射活动之中，表征是一个包含对象与其他对象相互转换的“组件”[8].在数学教学中，表征既是数学的一部分又是理解数学的一个教学手段，它是课堂教学的一个重要的特征，也是数学课堂教学的一种手段.
在数学教学中，教师需要对所要教授的学科内容进行批判性反思与解释，也需要采用多种方法如类比、暗喻、举例、提出问题、演示等表征学科内容；还需要根据学生的能力、性别、先前知识和前概念来选择、分配各种材料[9].实际上，表征也是教师学科教学知识的重要成分之一，教师对学科知识的表征方式拥有越多，能更好地了解学生的学习困难，那么他就越能有效地发展自己的学科教学知识.一个有经验的教师必须能判断是否或什么时候使用某一表征来支持和促进学生的理解.
总之，表征是数学的一个内在组成部分，是一个概念的多种具体化，在一定程度上用于降低问题难度，可以使得数学更具吸引力、更具趣味性[10].那么，何为一个有效的数学表征呢？数学表征应该具有科学的适应性和正确性；具有可理解性；有助于促进学习；适合于特殊的教学情景.为了得出一个有效的数学表征，教师应该至少从两个方面来考虑所教的数学内容的本质和学生学习这一内容的特点，一方面，表征应该阐明教师要教的内容的数学本质；另一方面，表征应该为学生提供熟悉的、可理解的环境，以拓展他们对数学概念的理解、发展用该概念进行推理的能力[11].
二、数学表征的案例解析
案例1 完全平方公式
的数学表征.
（1）符号表征：利用多项式乘多项式法则计算
=？
（2）语言表征：总结公式的特征：首平方，尾平方，首尾乘积两倍加中央.
（3）操作表征：让学生使用计算器，分别取几组数值计算和
的值，然后通过比较去发现所求的关系.
（4）情境表征：有一位老奶奶很喜欢小孩子，每次孩子们到她家，她都会给他们一些糖，她给自己立了一个规定：每次有多少孩子去，就会给每个孩子同样数目的糖（如有5个孩子就给每个孩子5颗糖）.现在有a个男孩子和b个女孩子准备要去老奶奶家，这些孩子在商量是分开去还是一起去所得的糖会多一些？多多少？请你帮他们解决这一问题.由此引导他们去发现所求的关系.
（5）图形表征：利用图2并启发学生发现大正方形以及四个小矩形的面积，由此引导他们去得到所要的关系.
（3）模型表征：
①经过两点（b，a），（0，0）连线的斜率小于两点（b，a），（-m，-m）连线的斜率.
②在数轴上原点和点1处，分别放置质量为m，a的质点，则质点系的重心位于分别放置质量为m，b的质点系的重心的左侧.
案例3 （-2）×（-3）=+6的数学表征.
（1）符号表征：1×（-3）=-3，2×（-3）=-6，3×（-3）=-9，0×（-3）=0，（-1）×（-3）=？，（-2）×（-3）=？，通过让学生找规律的方式进行归纳猜想.也可以在（-2）×3=-6运算规律的基础上，通过与2×3=+6比较，从而逻辑上推断（-2）×（-3）=+6.
（2）模型表征：规定一个人面朝东为+1，面朝西为-1，原地不动表示×（+1），向后转表示×（-1）.若一个人面朝东（+1），原地不动×（+1），此时，他仍面朝东，则表示为（+1）×（+1）=+1；若一个人面朝东（+1），向后转×（-1），此时，他面朝西，则表示为（+1）×（-1）=-1；一个人面朝西-1，原地不动，此时他仍然面朝西，所以有（-1）×（+1）=-1；一个人面朝西-1，向后转×（-1），此时他面朝东，（-1）×（-1）=+1，这就得到了有理数乘法的符号法则.进而得出（-2）×（-3）=+6.
（3）操作性表征：建立有理数运算的模式，让学生动手操作，创造出对有理数运算的理解，需要的材料是有正负电子的表示物若干，和一张空白的电子板.具体做法如图4.
（4）模型表征：利用数轴，我们规定，数轴的正方向为东，数轴的负方向为西，（-2）×（-3）表示一个人在数轴的原点处，-2看作向西运动2m（计划向西，走几次还没有走，只有将其乘以一个数后，才知道沿同方向走还是沿反方向走），×（-3）看作沿反方向（即向东）运动3次，结果向东运动了6m.
三、数学表征的教学意义
对数学知识进行多元表征，需要数学教师能够从直观的、形象的、趣味性的角度对数学知识进行挖掘，沟通数学与学生的生活世界之间的联系，进而促进学生对数学知识的理解.从上面对案例的数学表征可以看出，对同一数学知识进行多元表征，通过语言直观、图形直观等手段，赋予静态的数学知识以丰富直观的背景与意义，可以从不同的视角促进学生对数学的理解.符号表征能够传达抽象信息，图形表征能够传达直观信息；通过对数学知识的操作性表征，可以使学生经历“做数学”的活动，而数学知识的本质就蕴含在所操作的数学活动中；对数学知识的情境表征，符合教学的情意原理，可以使学生在适当的情境下，对所学的数学知识进行自我建构，“再创造”出情境中潜藏的数学知识.总之，教师应该充分地对所教的数学知识进行多元表征，从而优化数学课堂教学，增进学生的数学理解.