对初中数学“易错题”的思考，本文主要内容关键词为：初中数学论文,易错题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
波利亚曾说过：“如果你想学会游泳，你必须下水；如果想成为解题能手，你必须解题.”因此数学教学离不开学生的解题，而且让学生做得既对又快也是每一位数学教师的梦想.但是作为数学教师，如果奉行时间换质量的原则，迫使学生加班加点来实施题海战术，从表面现象上看，他们的短期学习效果应该不错，但囫囵吞枣、重复训练的结果与教师的预想往往是大相径庭.大部分教师都有这样的体会：有些题学生已做过或已考过，而且有的甚至做过不止一次，可最终学生还是做错了.究其原因，关键在于学生那些一错再错的题中大部分为数学中的“易错题”.所谓“易错题”简言之即为学生在解答时由于某种原因容易出错的习题.为了实现教师的那个“让学生做得既对又快”的梦想，作为数学教师应努力追求将学生的“易错题”转化为“易对题”.我在教学中采取了合理运用“易错题”为范例，经过教学实践，呈现的教学效果表明这种做法是行之有效的.
一、现状分析，用“易错题”作范例的必要性
在二次函数的单元测试中，其中填空题的第一题如下：
在函数
中，当m=________时，y是x的二次函数.该题正确答案是填m=3.批完试卷，我统计了一下，两个班的96名学生，只有21名学生能得分，得分率相当差.有点纳闷：本题在试卷中的位置是填空题第一题，难度应该不大，主要考查学生对二次函数概念和解一元二次方程这两个知识点，而且作为初三学生，对一元二次方程的解法应该是相当熟悉.按理来说，此题的得分率应该比较高，但怎么会事与愿违，为此我进一步作了统计，发现有60名学生都填了m=2、3两个答案，另有10名学生方程解错，5名学生不会做.
针对这种现状，我在反思：课堂上对二次函数概念“形如y=a
+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫做二次函数”已作了解释，而且对a的取值也作了强调，可为什么有60名学生填了m=2、3这两个答案？对他们的失分有点遗憾，因为不能简单地说他们没有掌握知识，只能说他们对二次函数的概念掌握不严密，导致多了一个错解.如果他们的思维再严密些，就不会犯这类错.因此在试卷讲评时，我对概念的运用又列举了范例：如抛物线y=（m+3）+
-9的图象过原点，则m=________，并向学生强调，在待定函数中某个系数的值时，必须要考虑函数是否有意义.发觉在后一次的单元练习中，类似的习题96名学生中，只有8个学生解答出错，其余的学生均能拿分.
这种现象让我感觉范例的选择很重要.因为一道“易错题”的出现，往往能衍生出很多细小问题，同时也能暴露学生更多错误.因此，在平时的教学实践中，教师应该努力去观察、去发现那些学生在分析与解决过程中，思路不清晰、思维不严密，容易顾此失彼、叙述不严谨的习题.选择此类易错习题为范例，使学生在开始解答的过程中容易犯点错、留点缺憾，这样暂时的错误与缺憾会给学生带来永久的记忆.通过对学生的“易错题”作范例分析，帮助学生透彻地分析出错的原因，并抓住出错的主要环节，帮助学生将缺失的知识补上.这样学生就不会只满足于把错题改正过来，而是认真反思了出错的根本原因，也防止再犯同一类型的解题错误，如此的过程为学生今后能更加完美地解题提供思路，帮助学生养成良好的思考习惯.
二、实践感知，学生求解“易错题”出错的原因分析
一个题目出错的原因可以是多样化的，因为不同的学生他们掌握知识的深度也有差别，但根据题目本身的特征，结合学生的特点，可以将学生的解题易错原因大致归纳为下列四个方面.
（一）只重视解题，忽视概念理解
可能受小学数学的影响，不少学生在学习数学时，只追求解题，以为只要会计算、会解题才是学数学的“真本领”.再则数学学科的概念本身较抽象，所以他们认为，这么枯燥无味的数学概念学与不学是一个样，没有什么关系的.有了这种想法，致使他们在解题时往往容易出错，因为他们不了解数学概念是解题的基础，是数学推理的依据.如果没有掌握概念而去解题，就如不拿钥匙去开锁一样，只会胡搬乱套，结果导致错误百出.
例如：对“因式分解”这一概念理解，学生容易犯以下错误：
◆错误之一：只进行了部分分解，结果没有化成积的形式
分析 错解是只把原式的部分分解成积的形式，未将原整式化成积的形式.
◆错误之二：分解结果不彻底，还有因式可以分解
分析 在因式分解时，将恒等式的变形与方程的变形混在一起，错误地将分数系数转化为整系数，从而破坏了因式分解的恒等变形这个原则.
笔者认为，学生正确理解因式分解的概念，是学好因式分解的前提，如果对以上的四个经典“易错题”能掌握，那么在解因式分解的习题时就能举一反三，融会贯通.
学生对概念的正确理解在解几何习题中同样非常重要，如判断“不相交的两条直线是平行线”这句话的真假时，学生也经常出错，误认为它正确.因为他们对平行线的概念中“在同一平面内”这个先决条件未予重视.
（二）只重视外显条件，忽视隐含条件
许多学生在解题时，只着眼于题设中已经给出的外显条件，缺乏挖掘题目中所隐含条件的能力，特别对某些综合性的习题，往往因考虑问题不严密，致使解答时出现了不完美，因而出错.
例如：在解关于二次方程、二次函数的有关习题中，学生经常会忽略考虑二次项系数不为零、根的判别式△≥0、顶点位置等这些隐含条件，致使解题时出错.
分析 错解的原因是对二次函数性质缺乏实质性的理解，忽视了抛物线顶点的位置.事实上，在抛物线对称轴的x=1左侧，y随着x的增大而减小，于是当0≤x≤1时，y的范围是：-1≤y≤1，而在抛物线对称轴的x=1右侧，y随着x的增大而增大，于是当1≤x≤5时，y的范围是：-1≤y≤31，因此综上可知：当0≤x≤5时，y的变化范围是-1≤y≤31.
例7 如图1，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AB=12，DC=8，AD=4，求内接矩形AEFG面积的最大值.
分析 此题中因原梯形的高线是4，所以EF=6是不可能的，错解正是忽视了0≤x≤4这个隐含条件而导致的.
（三）重视题目片面特征，忽视解题的全面性
许多数学问题，当题目的条件发生变化时，其结论也会跟着变化，在解题时，应该用分类思想来考虑它的所有可能情况.如果不将问题全面讨论、合理分类，做到不重复又不遗漏，那么就很难得到完整的答案.
例如：等腰三角形中的有关习题中学生经常会忽视“分类思想”致使漏解或错解.
例8 等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角是40°，求它的顶角.
错解 如图2所示，BD为腰AC上的高线，且∠ABD=40°，所以∠A=50°.
分析 对于三角形的高线，可能在三角形的内部，也可能是在三角形的外部，因此还有一种情况，如图3所示，BD为腰AC上的高线，且∠ABD=40°，所以∠BAC=90°+40°=130°，因此本题的正确解是：50°或130°.
例9 平面直角坐标系内有点A（1，1），请在x轴上找点P，使得△AOP为等腰三角形，求出P点的坐标.
错解 由图4易找到，满足条件等腰直角三角形AOP的P点的坐标为（1，0）和（2，0）.
分析对等腰△AOP，根据腰的关系我们应分三种情况考虑：
即：（1）当AO=AP时，此时点P是以A为圆心的圆与x轴的交点，P（2，0）；
（2）当OP=AP时，此时点P是OA的中垂线与x轴的交点，P（1，0）；
（3）当AO=PO时，此时点P是以O为圆心的圆与x轴的交点，P（
，0）或P（-，0）.
解数学题一定要严谨、周密，既做到不能“丢解”，又要做到不能“增解”，许多题目中，命题者经常会刻意设置陷阱，以考查学生数学思维的严密性，因此在平时的教学中，利用“易错题”作范例来帮助学生养成认真、全面地考虑问题的习惯，培养学生对习题缜密、周全的分析能力.
（四）重视默认条件，从而想当然地解题，忽视题设的实质意义
很多学生在解题时，往往根据自身的解题经验，会不知不觉地误将一些自己默认的条件附加在已知题设上，或者是将一些根据特殊情况得出的结论作为解题的依据，甚至还有部分学生想当然，会自己制造出某些来路不明的条件附加在已知条件上，当轻易去用这些条件时，自然会出现某些不合理、不严密的结论，从而导致解题错误.
例如：在运用等腰三角形的“三线合一”这一性质解题时，学生容易忽略等腰三角形这个前提条件.
例10 已知，如下页图5，在△ABC中，D为BC中点，AD平分∠BAC，求证：AD⊥BC.
错证 因为AD为BC边上的中线，AD平分∠BAC（已知），所以AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
分析 因为学生在解题时，对等腰三角形的“三线合一”这一结论已经耳熟能详，但忽略了“三线合一”运用的前提是此三角形必须为等腰三角形，因此在解题时往往会把等腰三角形这个条件附加在已知条件上，从而导致错误解.
此题的正确解法思路不唯一，但不能直接根据已知条件证明△ABD≌△ACD，
思路一 从“中点延长法”的思路去考虑，如下页图6，根据证明△ABD≌△ECD（SAS）后再证明.
思路二 同样应用“中点延长法”，证明四边形ABEC为菱形，根据菱形性质，从而得证.
思路三 可以作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，如图7.根据AD为中线得
，又由角平分线的性质得DE=DF，从而得证.
这种类似的错误主要是默认了已知三角形为等腰三角形，原因是学生思维有一定的障碍，他们在已知的图形中没有想到运用辅助线，找不到全等的条件，故会想当然地附加条件来证明全等.
三、分类比较，学生求解“易错题”的有效策略
事实上，作为教师都知道：学习数学，在解题的过程中难免会出错，学生习题做错了，也是常有的事.作为学生，他们也希望自己做了一遍又一遍的题目不会再出错，可是有时就因为对概念的不理解、知识点掌握得不全面等诸多原因致使在解题中出现这样或是那样的错.为了使学生在解那些“易错题”中少出错或是不出错，作为教师应努力寻求以下两点策略.
（一）合理运用范例，剥去“易错题”中“易错”这层面纱
学生做错题目的原因是多方面的，有的是对概念理解不准确造成的，而有的是知识面的迁移不够造成的，有的是由于粗心大意造成的.作为教师，在平时的教学实践中，应不断地分析教材，研究学生，通过对学生的错误进行正确分析，寻找致误的原因.及时将那些学生常见的错误进行归纳，总结学生出错的原因，将那些容易出错的问题作为范例，认真上好错例分析课.让学生在错误中寻求正确的方向，反思错误的原因.教师应力争在课堂上给学生的不是一道题目的正确答案，而是一种方法，让学生发现错误所在，从中吸取教训.通过辨析错因，启发纠错，有利于培养学生思维的独立性；通过辨析错因，查漏补缺，有利于培养学生思维的严密性和广阔性；通过辨析错因，挖掘隐含条件，有利于培养学生思维的深刻性；通过辨析错因，探索新方法，有利于培养学生思维的创造性.
（二）引导比较分类，挖掘“易错题”出错的原型与原因
教师是学生学习的引领者，每一个学生掌握数学知识的广度与深度都不一样，不同的学生对知识掌握的程度也不同，他们的思维方式和解题习惯也不同，出错的原因也各不相同.因此每个单元或章节的学习任务完成后，教师应该指导学生按概念、计算、应用等形式将那些错误的习题进行分类，将解错的原因划归是概念出错，还是计算、应用出错.对同一类型的错题，通过分析、比较，要求学生找出并记录具有代表性的习题，而且必须要求学生写出原来错误的全过程，再分析比较，写出正确的过程.这样一种通过自身对错题进行分析的过程与方法，使学生不仅对自己的学习行为进行了反思，还加深了对所学知识的理解.这种方法可以查漏补缺，找到知识的薄弱环节并尽快弥补，力求在以后的解题中少出错或是不出错，这也是学生反思成长的过程.
四、后记：一道良好的易错例题可以给学生方法与思路的点拨
当代科学家、哲学家波普尔认为：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素.”教师研究学生的“易错题”具有较高的教学价值，在平时的教学中，将这些“易错题”呈现给学生，展开教学.利用这些“易错题”，设置悬念，启发学生去分析错误的根源，让学生知道错在哪里，为什么错，该如何改正，找出解决问题的关键.这样不仅可以使学生从发现错误中吸取教训，加深对基础知识的理解，对基本技能的掌握，也培养他们严密的思维习惯.
虽然错解题的存在是无法避免的，但教师应充分合理地利用它们，将它们开发成宝贵的教学资源，珍视其教学的价值.用这些存在的问题设法去引导学生从不同角度分析、探求解决方案，经历问题的解决过程，以此来培养学生的创新意识、科学精神和自主学习的能力.这种真正体现“易错题”的教学价值的过程，也是引发学生的学习兴趣，激发学生勇于探索的精神，对学生终身学习能力的培养和综合素质的全面提高有着推波助澜的作用.