初中数学发生教学法的探索与实践&以“人的教育版正数与负数”为例_数学论文

初中数学发生教学法的探索与实践——以人教版“正数和负数”为例，本文主要内容关键词为：正数论文,负数论文,教学法论文,为例论文,以人论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      德国生物学家海克尔（E.Haeckel）（1843—1919）在1866年提出了生物发生律，即“个体发育史重蹈种族发展史”.如果将此原理类推于教育将得出：个体知识的发生过程遵循人类知识的发生过程.具体到数学教育，即“个体对数学知识的理解过程遵循数学知识的发生发展过程.”

      把历史作为教学线索，不明确地谈论历史，用历史来启示教学，这就是发生教学法.其基本思想是：在学生具备足够的动机后，在心理发展的适当时候讲授某个主题.应当保护和发展学生对未知事物猎奇的天性，积极引导学生经历知识的发生过程[1].运用发生教学法进行教学，一般遵循以下步骤：（1）要全面了解所教主题的历史；（2）要理解该主题历史发展过程中的关键环节；（3）掌握一个环节发展到下一个环节的原因是什么？遇到的困难和障碍是什么？（4）重构历史环节，使其适合于课堂教学；（5）设计出一系列由易到难、环环相扣的问题.可以是历史上的问题，也可以是改编的问题.下以人教版七年级数学第一章“有理数”第一节“正数和负数”为例，介绍发生教学法的具体实施过程.

      一、全面了解正数和负数的历史

      中国是最早认识和使用负数的国家.战国时期李悝（约公元前455—前395年）在《法经》中说到“衣五人终岁用千五百不足四百五十”.即：5个人一年开支1500钱，入不敷出，差450钱.“不足”就是负数的概念和记号.约公元一世纪中国的数学专著《九章算术》中记载了“粮食入仓为正，出仓为负；收入的钱为正，付出的钱为负”.同时在解方程组的过程中出现“不够减”的情形时，给出了“正负术”.公元三世纪，魏晋时期的数学家刘徽对负数给出了很自然的解释：“两算得失相反，要令正负以名之.”[2]即：在运算中，遇到具有相反意义的量，不但需要正数，还需要引入负数以作区分.

      公元七世纪，印度学者婆罗摩芨多（598—665）在《婆罗摩历算书》里给出了正数、负数和零的概念，分别被他称作“财产”、“债务”和“萨雅”.公元十二世纪，印度数学家婆什迎罗（1114—1185）在《算法本源》中，全面讨论了负数，把负数叫做“负债”或“损失”.他承认方程

-45x=250有两个根：x=50或x=-5，他接着说：“第二个根并不用，因为它是不足的，人们并不支持负根.”

      在西方，最早描述负数的是公元三世纪的希腊数学家丢番图，他在《算术》中称方程4x+20=4是没有意义的.在解方程中，若遇到负根，他就放弃这个方程，认为是不可解的.

      阿拉伯人吸纳了古希腊和古印度的数学理念，发展成为自己的文明，但在负数的认知上却要比中国和印度人晚得多.公元十世纪阿拉伯学者艾布·瓦发的算术手稿中，在讲述一种两位数乘法的简捷算法时，引用了负数概念.

      在近代西方，意大利的卡丹（1501—1576）在其《大术》中虽然承认方程的负根，但他把正数称为“真实的数”，而把负数称为“虚假的数”.法国的韦达（1540—1603）不承认负数，把负数叫做“不合理的数”.英国的沃利斯（1616—1703）在《无穷算术》中尽管承认负数，但他认为负数是不可思议的.1637年笛卡儿（1596—1650）在《几何》中首次研究方程有正负根的条件，并规定了正负号的法则.法国的阿纳德（1612—1694）表示：如果-1:1=1:（-1），而-1＜1，那么一个小的数与一个大的数的比，怎么可能等于一个大的数与一个小的数的比？直到十九世纪，还有一些西方数学家不理解“小于一无所有”的数.

      负数地位的最后确立是由德国数学家维尔斯特拉斯（1815—1897）和意大利数学家皮亚诺（1858—1932）完成的.1860年维尔斯特拉斯把有理数定义为整数对，即当m、n为整数时，

（m≠0）定义为有理数；当m、n中一个为正整数，一个为负整数时，

就是负有理数.这样负数就建立在整数的基础上.40年后，皮亚诺在《算术原理新方法》中用自然数建立了整数：如果a，b是自然数，则“a-b”定义为一个整数.若a＞b，“a-b”为正整数；若a＜b，“a-b”为负整数.经过近2000年的努力，负数的地位终于被牢固地确立了，半个多世纪的争论也终于降下了帷幕.

      纵观整个正数和负数的发展历程，我们知道正数和负数产生的根源是实际生活和算术运算封闭性的需要，这为本节课的情境设计提供了发生依据.同时应该弄清面对实际问题，为什么东方人承认和接受负数比西方人早，这个问题从深处讲应该是东西方文化传统差异的问题，这也是正数和负数发展历程中的一个关键环节.承认和接受了负数后，面临的问题应该是正数和负数的表示，对零的重新认识.对零的重新认识也许是学习过程中的一个障碍.

      二、东西方对负数认知的差异性

      东方引入负数的目的是为了解决实际或算术中的“出仓”或“不足”等问题.负数仅仅是解决问题的一种工具，而不是作为抽象的数来进行研究的.中国的古代数学家很多是平民百姓，他们有机会接触实际的商业和贸易过程，对“负债”、“支出”等问题有切实的体会，对他们而言负数是现实生活的原型，并不是抽象的.印度数学受到我国古代数学的影响，在解决实际生活中的经济和数学问题时，对负数有丰富的认知和发展.中国和印度接受负数和应用负数都比较早.

      西方认识负数主要来源于古希腊数学，而古希腊从事数学和哲学研究的人，很少有现实的经济实践活动，几乎没有负数的实际应用.自亚里士多德开创了以“三段论”为核心的演绎逻辑以后，一切推理都以形式逻辑作为基础.西方人认为数是独特的或绝对的存在物，他们首先看到的是“物”，这在数学中表现为“数”，他们的逻辑是这样的：1表示有一个，2表示有两个，…，0表示什么都没有，“什么都没有”就已经是最少了，而负数比零还小，也就是说：比“什么都没有”还少，这怎么可能呢？在认识负数的过程中，由于缺乏几何原型，直观上没有基础，建立负数的逻辑结构又做不到，由于受古希腊数学影响较大，西方在长达一千多年的时间里不接受负数，直到十三世纪对负数才有一些初步的认识.

      可以从东西方的哲学思想和思维方式上来分析这个问题.中国传统哲学主要是儒家哲学，它讲究道德文化，对事物多停留在许多感性和经验性的认识阶段.西方继承了从古希腊开始的科学与哲学传统，注重抽象的理性思维与逻辑思维.中国古代数学家对负数的认知和记法是西方国家无法比拟的，相对而言，虽然西方数学家对负数的认识较晚和难以接受，但是没有放弃对负数的理性研究，最终建立了负数的基础理论.东西方文化的差异导致了负数不同的发展方向，体现了两种文化独特的数学价值取向，这是多元文化给予数学的多样贡献.多样化与一体化的辩证统一也应被看作数学发展的一个基本规律[3].

      三、正数和负数的表示及与零的关系

      公元三世纪，中国魏晋时期数学家刘徽第一次给出了区分正负数的方法.他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”即：用红色的小棍表示正数，用黑色的小棍表示负数；有时用正放的小棍代表正数，用斜放的小棍代表负数.十三世纪，数学家李冶在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数.此外，在古算中曾用过很多文字表示负数，如不足、出、卖、付、弱来表示负数.我国最早采用正号“+”、负号“-”是从清末开始的.

      公元七世纪，印度学者婆罗摩笈多通过画小点或小圈来表示负数.十七世纪，荷兰数学家吉拉尔第一个提出用减号“-”表示负数.从此，负数符号“-”逐渐得到人们的认识，并沿用至今.

      没有零的符号，就没有完整的位值制记数法.零的记号，最早在印度出现[4].公元前2500年左右，印度最古老的文献《吠陀》已有“0”这个符号的应用，当时的0在印度表示空的位置.约在6世纪初，印度开始使用命位记数法.印度人认识到0除了在各数之间起空位作用外，还有它独立的存在性——0本身被看作是一个数，它表示“没有”这个量.也就是说，“没有”这个抽象概念第一次被赋予一个有形的记号0表示.这一步是思维的一个很大的跨越.公元733年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字.

      0在中国古代叫做金元数字，我国古代用算筹记数，也采取空位表示零.古书中缺字常用“□”表示，数字里的空位也用“□”表示，以后由于书写时常用行书，“□”也就容易写成圆圈了，用“○”表示零.

      大约1500年前，欧洲不知道用“0”这个数字.这时，罗马有一位学者从印度记数法中发现了“0”这个符号.他发现，有了“0”，进行数学运算非常方便，还把印度人使用“0”的方法向人们做了介绍.这件事不久被罗马教皇知道了，教皇很愤怒，认为神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”.谁要使用它，谁就是亵渎上帝！就这样，“0”被教皇命令禁止了.最后，“0”在欧洲还是被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了.

      至此，数学中零有四个功能.首先，零是一个概念，它表示一无所有.其次，在位值记数法中，零表示一个空位，同时起到指示数码所在位置的作用.再次，零是一个数，可以和其他的数一起参与运算.最后，零是标准的起点或分界.

      四、根据历史，重构课堂

      教学目标：

      1.在实践中表示相反意义的量及解方程的需要，使学生了解学习正负数的必要性.

      2.使学生经历符号化和数学化的过程，体会负数表示的发生发展过程.

      3.感受正、负数和生活的密切联系，享受创造性学习的乐趣.

      教学重点：体会负数的意义，学会用正、负数表示日常生活中具有相反意义的量.

      教学难点：体会负数的意义，重新认识零.

      教学过程：

      （一）创设情境，引入新知

      1.师：我们知道，为了表示物体的个数和事物的顺序，产生了1，2，3，4，…，这些数，我们把它叫做什么数？

      生：自然数.

      师：为了表示“没有”，又引入了一个什么数？

      生：自然数0.

      师：当分物和测量的结果不是整数时，又引入了什么数？

      生：分数（小数）.

      师：这些数有多少个？

      生：无数个.

      师：现在同学们看一个实际情境.

      2.课件出示情境：甲、乙两人在一次商品交易中分别赚100元、亏100元.

      师：老师把甲赚100元、乙亏100元表示成这样，你觉得把事情表达清楚了吗？

      

      生：没有.

      师：也就是说虽然都是100元，但两个100元表示的实际意义是相反的，它们是一组相反意义的量.

      3.课件出示情境：同学们能用你以前所学的知识来解决下列问题吗？

      （1）王东买笔一共要给15元钱，现在他给了20元钱，应找给他几元？

      （2）王东买笔一共要给15元钱，若王东手上只有10元钱，他能买到想要的笔吗？为什么？

      对上述两个问题要求列出算式.

      学生能够很快给出这样的两个式子：20-15=5，15-10=5.

      引导学生思考：第一个式子我们是用王东手中的钱数减去笔的总费用，第二个问题我们能不能也按这样的顺序写出式子呢？试一下，看看结果等于多少？

      学生列出式子：10-15，但如何计算却无法解决，只会说：“不够减”.

      数学相关历史介绍：

      其实这种事情古人也发生过，历史上很多数学家也曾经被困扰过.

      历史问题：公元三世纪希腊数学家丢番图在其《算术》中称方程4x+20=4是没有意义的.同样，意大利数学家斐波拉契（1170—1250）在《花朵》中称：方程x+36=33是没有根据的，除非第一个人欠债3个钱币.

      显然都碰到了不够减的问题.

      结合情境（1）和情境（2），赚100元和亏100元，（20-15）和（10-15）那你能用自己的方式把它们区别开吗？

      （二）自主探索，展示过程

      1.交流大家的想法

      （1）有学生在数100前加“赚”或“亏”；有学生用白色100表示赚，用红色100表示亏；有学生在100上面加了不同方向的箭头；有学生加了正负号等.

      （2）有学生在“10-15=”的右边写了一个红色的5；有学生在“10-15=”的右边写了一个上面加了一个点的5；有学生在“10-15=”的右边写了一个“5不足”等.

      2.介绍人类探索负数的表示方法

      师：相反意义的量怎样表示和不够减的结果如何表示，在历史上，数学家们也费了很多周折，他们想了各种各样的方法.例如公元三世纪，中国魏晋时期数学家刘徽第一次给出了区分正负数的方法.他说：“正算赤，负算黑；否则以邪正为异”，即：用红色的小棍表示正数，用黑色的小棍表示负数；有时用正放的小棍代表正数，用斜放的小棍代表负数.用不同的颜色表示正负数，这个习惯一直保留到现在.现在人们一般用红色表示负数，还有经济出现赤字，表明收入小于支出.十三世纪，数学家李冶在《测圆海镜》中用斜画一杠表示负数.此外，在古算中曾用过很多文字表示负数，如不足、出、卖、付、弱来表示负数.

      公元七世纪，印度学者婆罗摩笈多通过画小点或小圈来表示负数.十七世纪，荷兰数学家吉拉尔在第一个提出用减号“-”表示负数.

      师：实际上，为了解决这个问题，历史上的许多数学家和我们刚才的想法差不多.虽然负数的表示方法各不相同，但是都是为了有区别，寻找新数的表示方法.刚才大家新的表示方法中，你觉得哪种写法最好？

      生：用加减号的最好.赚100元，就是增加了100元；亏100元，就是减少了100元.

      师：对，就是这样的道理，十七世纪，荷兰数学家吉拉尔提出这样的方式，就得到了大家的认可，所以一直沿用至今.但读法上有了变化，分别读作正100元和负100元，符号分别叫正号和负号.此时+和-是性质符号，以前的+和-是运算符号.20-15可表示为+5，10-15可表示为-5

      师：用正数或负数表示具有相反意义的量.

      （1）收入500元，用+500元表示；那么支出500元用（

       ）元表示.

      （2）如果向北走20米，用+20米表示；那么向南走20米用（

       ）米表示.

      （三）抽象归纳，重新建构

      像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数，像-3，-1.8%，-3.5这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数.有时为了明确表示意义，在正数的前面也加上“+”（正）号.例如+2，+1.5，…就是2，1.5，….一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.“-”在这里有了新的意义和作用，叫“负号”.“+”是正号.像“+4”是一个正数，读作：正四.我们可以在4的前面加上“+”，也可以省略不写.“-4”是一个负数，读作：负四.

      2.任意写几个正数和负数，和同学交换着读读写写

      3.相反意义的量

      师：在现实生活中，我们常常遇到一些具有相反意义的量，比如：（课件显示）

      （1）火车向东行驶10千米和向西行驶10千米；

      （2）从零上5摄氏度下降到零下5摄氏度.

      请学生举出一些相反意义的量的实例.

      教师归结：相反意义的量中有一些常用词：收入与支出、增加与减少、上升与下降等.

      4.找相反意义的量

      师：谁能说出一个与“零上5摄氏度”意义相反的量？

      学生回答后，再追问：零上5摄氏度和零下5摄氏度，分别是哪里之上5摄氏度和哪里之下5摄氏度？用正负号分别表示它们.

      5.学生在空白的温度计上标出这两个温度

      师：老师提供的是一个空白的温度计图，相邻的两个刻度线之间相差1摄氏度.最下面一格表示0摄氏度比较合适，那么上面2格是多少摄氏度？

      生：2摄氏度.

      师：再往上呢？依次标到5摄氏度.

      师：在我们设计的温度计上“+5℃”在哪里？

      学生指出+5℃的位置后，老师再问：怎么没有-5℃呢？

      师：也就是说我们刚才标示的温度中没有零下的温度，那零度以下的温度能不能表示？如果可以，如何标示？请重新设计刻度，目的是既要能找到+5℃，也要能找到-5℃.

      6.交流和总结

      讨论：零上温度、零下温度和0摄氏度对应刻度的位置关系.最后总结：只有首先规定了零摄氏度的位置，才能确定零上的温度和零下的温度，可见，零是正数和负数的分界，0℃是一个确定的温度，0的意义已不仅是表示“没有”.

      （四）拓展延伸，巩固新知

      1.相反意义的量

      师：我们把一种意义的量规定为正的，用“+”（读作正）号来表示，同时把另一种与它相反意义的量规定为负的，用“-”（读作负）号来表示.

      师：例如，如果前进200米记作+200米（读作正200米），那么后退200米记作-200米（读作负200米），请同学们回答下列问题.

      生：如果向东走10米记作+10米（读作正10米），那么向东走-10米的意义是向西走10米.

      师：正数前面的正号可以省略不写，但负数前面的负号能省略不写吗？

      生：（讨论后得出）不能.

      例题 一个月内，小明体重增加2 kg，小华体重减少1 kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值.

      解：这个月小明体重增加2 kg，小华体重增长-1 kg，小强体重增长0 kg.

      随着对正数负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用.在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔高度为0m），通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，用负数表示低于海平面的某地的海拔高度.

      南、北为两个相反方向，如果-30米表示一个物体向南运动30米，那么+12米表示什么？物体原地不动记为什么？

      3.总结和作业

      总结：（1）引入负数可以简明的表示具有相反意义的量，同时也可以解决小的数减去大的数的问题.

      （2）在表示具有相反意义的量时，把一种意义的量规定为正，可根据实际情况决定.

      （3）要特别注意零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界，零的意义已不仅是表示“没有”.

      （4）建立正负数概念后，当考虑一个非零的数时，一定要考虑它的符号.

      作业：P5：4，5，6，7.

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