反证法中的“特殊化法”，本文主要内容关键词为：反证法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
当一些命题从正面直接证明难以突破时，人们往往会采用反证法，即谓正难则反.反证法的难点不在于提出与结论相反的假设，而在于提出假设后，如何合理地发现思路，以便尽快凸现矛盾.这里有无规律可循呢？对这一问题本文试给出一个回答：“特殊化法”正是反证法得以圆满成功的一个重要突破口.
一、特值：巧合的数目，特殊的数字，个性化的特征，看似纯属偶然，往往蕴含着正确解法的必然
例1 设f（x），g（x）是定义在[0，1]上的函数，证明存在x[，0]，y[，0]∈[0，1]，使得｜x[，0]y[，0]-f（x[，0]）-g（y[，0]）｜≥（1/4）.
分析 要找出具体的x[，0]，y[，0]，难以下手，宜用反证法.
证明 假设这样的x[，0]，y[，0]不存在，则取特殊值x[，0]=0，y[，0]=0，得｜f（0）+g（0）｜＜（1/4）.
同理 ｜f（0）+g（0）｜＜（1/4），｜f（1）+g（0）｜＜（1/4），｜1-f（1）-g（1）｜＜（1/4），从而1=｜[1-f（1）-g（1）]+[f（1）+g（0）]+[f（0）+g（1）]-[f（0）+g（0）]｜＜（1/4）+（1/4）+（1/4）+（1/4）=1，这是不可能的.
评注 本题反复利用特殊值0与1，并进行凑配，从而推得矛盾“1＜1”.
二、特殊运算：分割开来、相对独立的某些对象各有各的特点，不足以发现问题的本质，“犹抱琵琶”；而通过特殊运算，犹如一根红线紧紧地串起它们，形成一个整体，矛盾便暴露无遗了
1.求和
例2 今有有限个砝码，它们的总重量是1千克，将它们分别编上号码：1号、2号、3号、…，证明：从中必可找出一个号码为n号的砝码，它的重量大于（1/2[n]）千克.
证明 假设不存在这样一个号码n，能够使相应的砝码重量f（n）＞（1/2[n]），从而有f（1）≤（1/2），f（2）≤（1/2[2]），…，f（n）≤（1/2[n]），累加求和得：1=f（1）+f（2）+…+f（n）≤1-（1/2[n]），产生矛盾.
2.求积
例3 证明：任何3个实数都不可能同时满足下列3个不等式：｜x｜＜｜y-z｜，｜y｜＜｜z-x｜，｜z｜＜｜x-y｜.
分析 本题不像例2要证明存在某个对象具有某种性质，而是要证明所有的对象都具有共同性质，但仍无法从正面考虑.
证明 假设存在某三个实数x，y，z同时满足上述3个不等式，将它们的两端同时平方，然后分别移项并分解因式，得（x-y+z）（x+y-z）＜0，（y-z+x）（y+z-x）＜0，（z+x-y）（z-x+y）＜0.
将上述三个不等式相乘，得（x-y+z）[2]（x+y-z）[2]（-x+y+z）[2]＜0，这显然是不可能的.
评注 本题所得到的3个不等式，从它们身上看不出什么毛病来，但是一旦把它们求积，矛盾便凸现眼前了.
三、特殊图形：图形是文字语言与符号语言的一种直观反映，而特殊图形所蕴含的直观特征，往往有助于对解题方向正确而迅捷的判断，从而获得解题之金钥匙
1.特殊点
例4 在空间给出了8个已知点，其中任何4点都不共面，今知以它们为端点连有17条线段.求证：这些线段至少形成了一个三角形.
分析 无从具体找出这个三角形，因此从反面来考虑为宜.
证明 假设这17条线段没有形成任何一个三角形，并设A点是这8个点中连出线段的数目最多的点.不妨设从A共连出n条线段：AB[，1]，AB[，2]…AB[，n]，于是在B[，1]，B[，2]…，B[，n]中的任何两点之间都没有线段相连（否则，容易直观发现，它们就会形成三角形了）.这样，即使其余的7-n个点中的每个点也都连出了n条线段，但线段的总数目为n+（7-n）n，它的最大值仅是16，与已知条件的17条相矛盾.
评注 本题紧紧抓住了点A这连线最多的点做文章，并同时考察了线段数目总和的最值，保证了思路的正常发展.
2.特殊线段
例5 在平面上分布着若干个已知点，它们中任何两点之间的距离都不相同.今将其中每一个点都同离它最近的点连接起来，试问：由此可以连成一条闭折线吗？
分析 这是一道以疑问形式出现的题目，一时尚无从断言“能”还是“不能”，不妨假定能连成闭折线，再看能否推出矛盾.
证明 如图1，假设能连成一条闭折线，观察闭折线中最长线段AB，并假定它的两端分别与CA和BD相连，从而CA＜BA，即B不是离A最近的点；同时又有DB＜AB，即A也不是离B最近的点，故A，B之间不可能有线段相连，导致矛盾.
附图
评注 本题以最长线段AB为突破口，顺利发现矛盾.
3.特殊三角形
例6 欲从无限长的纸带上剪出形状任意的面积为1的三角形，试问纸条的宽度至少应是多少？
附图
分析 这也是一个以疑问形式出现的问题，不过由于需对纸宽进行估计，不妨先从特殊三角形看起.
证明 面积为1的正三角形，边长为（2/
），高为，因而猜测纸宽至少应有.如图2，这是因为若假设从纸宽小于的纸带上能剪出面积为1的正△ABC，那么将它的3个顶点投影到纸带的边上A[，1]、B[，1]、C[，1]处（B[，1]位于A[，1]、C[，1]之间），BB[，1]与AC交于M点，则△ABC的高不超过BM，而BM不超过纸条宽度，故△ABC的高小于，从而面积小于1，导致矛盾.
那么纸宽为是否够了呢？假设不够，即相当于面积为1的三角形的3条高都超过，从而3条边a，b，c都小于（2/），记△ABC的最小角C≤60°，从而S[，△ABC]=（1/2）absinC＜1，推得矛盾，综上，纸带宽至少应是.
评注 本题紧紧抓住正△ABC，为两次使用反证法打下基础.
四、特殊位置：找准位置，瞄准目标，对号入座，不同位置具有不同的属性，特殊位置所具有的特征与问题中的一般特性相映照，往往能使矛盾原形毕露
1.极端位置
例7 试问能否在平面上放置2008条线段，使得每一条线段的端点都严格地位于其它线段的内部？
证明 假设可以放置2008条线段，使得它们的4016个端点全部严格地位于其余线段内部，现取一定点O，并找出这4016个端点中离O点最远的点A，由于A点严格位于另一线段BC内部，从而点A是△OBC的边BC上的内点，故OA＜max｛OB，OC｝，这与A点是离O点的最远点矛盾，可见平面上不能放置.
评注 本题抓住极端位置——最远点A，层层开展，导出矛盾.
2.边界位置（典型位置）
例8 将正整数1至100随意填入10×10的方格表内，每格1数，证明：必有某两个相邻方格（即具有公共边的方格）中所填数字之差不小于6.
证明 假设每两个相邻方格中所填数字之差都不超过5（即小于6），观察与1在同一行，与100在同一列的方格内数字a，由于a与1之间至多间隔8个方格，故a≤1+9×5=46；又由于a与100间也至多间隔8个方格，故又有a≥100-9×5=55，这与上式矛盾，从而原命题成立.
评注 本题既从特殊位置入手，同时又从全面加以考虑.
五、特殊性质：事物的本质属性就是其性质，特殊事物具有其特殊性质，无论是从具体对象入手，还是从总的方面加以通盘考虑，要想发现矛盾，这均需牢牢抓住其特殊性质
1.最值（例题参见前文中的例4）
2.奇偶性
例9 能否将正整数1，2，3…33分成11组，每组3个数，且使得每组中都有一个数等于其余两数之和？
证明 假设能够分成11组，于是各组数字的和都是偶数，从而11组数字之和也是偶数.事实上1+2+3+…+33为奇数，从而导出矛盾，可见所说的分组不能实现.
综上，我们不难发现，在小题中经常采用的特殊化法，在解答题中也同样可以大显身手，它犹如一盏明灯，照亮着人们在反证法中探索前进的方向!
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