拉直法证几何题举例，本文主要内容关键词为：几何论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在几何的推理证明中，图形变换是我们寻求解题方法的一个重要途径之一。一些题目具有公共端点的两条线段，但它们不在一条直线上，这时由于解题需要，可以在公共端点处将两条线段“拉直”，用这种图形变换的方法引辅助线，思路比较清晰，我们不妨称其为“拉直法”。现举例如下。
例1 已知：△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线，交AB 于D（如图）。
求证：BC＝AC＋AD。
分析：欲证BC＝AC＋AD，可将AD在点A处“拉直”到AE 位置（即延长CA到E使AE＝AD），此时证BC＝EC即可。
证明：延长CA到E使AE＝AD，连结ED。
∴∠3＝∠E。
∵∠CAB＝∠3＋∠E，
∴∠CAB＝2∠E，而∠CAB＝2∠B。
∴∠B＝∠E。
又∵∠1＝∠2，CD＝CD。
∴△CDB
△CDE。
∴BC＝EC。
∵EC＝AC＋AE＝AC＋AD，
∴BC＝AC＋AD。
此题亦可“拉直”CA，即延长DA到F使AF＝AC。
例2 已知：△ABC中，AB＝AC，AE为外角∠DAC的平分线，P为AE上一点。
求证：PB＋PC＞AB＋AC。
分析：将AC“拉直”到AD上，即可证明。
证明：在AD上截取AM＝AC，连结PM。
∴PB＋PM＞BM＝AB＋AC。
∵AP＝AP，∠1＝∠2，AM＝AC。
∴△APM△APC，∴PM＝PC。
∴PB＋PC＞AB＋AC。
例3 已知：AD是△ABC的角平分线。
求证：BD/CD＝AB/AC。
分析：欲证BD/CD＝AB/AC，BD和CD刚好在一直线上，可以将AC在A处“拉直”（即延长BA到E使AE＝AC），使AB、AC也在一条直线上，这样可用平行线截得线段成比例定理来证明。
证明：延长BA到E使AE＝AC，连结CE。
∴∠3＝∠E。
∵∠BAC＝∠3＋∠E，
∴∠BAC＝2∠E。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠1，
∴∠1＝∠E
∴AD∥CE。
∴BD/CD＝AB/AE，即BD/CD＝AB/AC。
此题亦可“拉直”AB。
例4 已知：在△ABC中，∠C＝2∠B，求证：AB[2]＝AC[2]＋AC·BC。
分析：要证：AB[2]＝AC[2]＋AC·BC，即证：AB[2]＝AC（AC＋BC），即证：AB/AC＝（AC＋BC）/AB。这一结论中有AC＋BC，可以把这两条线段在公共端点C处“拉直”，即延长AC到D，使CD＝BC，连结BD。则所证结论变为AB/AC＝AD/AB。因此，只要证△ABC～△ADB即可。
证明：延长AC到D，使CD＝BC，连结BD。
∵BC＝CD，∴∠3＝∠D，∠1＝2∠D。
∵∠1＝2∠2，∴∠2＝∠D。
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC～△ADB。
∴AB/AC＝AD/AB。
∴AB[2]＝AC·AD＝AC（AC＋CD）＝
AC（AC＋BC）＝AC[2]＋AC·BC。
即 AB[2]＝AC[2]＋AC·BC。
为了巩固这一方法，留给读者下列几道思考题：
1.锐角△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D。
求证：CD＝AB＋BD。
2.已知：AD是△ABC外角∠CAE的平分线，交BC延长线于D。
求证：AB/AC＝BD/CD。
（提示：可“拉直”AC应用例2，或先拉直AC到AE， 再“拉直”DC）
3.△ABC中，内角平分线AD和BE相交于M。
求证：AM/MD＝（AB＋AC）/BC。
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