封闭型保单组未来损失现值向量的联合分布及渐近分布，本文主要内容关键词为：现值论文,向量论文,渐近论文,保单论文,损失论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
封闭型保单组是研究保险产品风险和利润实现的基本单位。死亡率作为决定保单组的基本随机因素，一般表达为服从多项分布的历年死亡人数。过去的研究方法在计算责任准备金的时候，仅仅讨论个别未来损失现值随机变量的均值和方差，所得到的结果也很繁琐，其原因是在不采用矩阵记号的情况下，各年的未来损失现值随机变量的协方差计算公式非常复杂，而使用矩阵记号可以简化推导，并深化对封闭型保单组风险的认识。
本文的研究对象为完全离散假设下的两全寿险封闭型保单组。完全离散假设是在实际监管和精算工作中常用的假设，是假定为在每个保单年度年初缴纳保费，在保单年度年末支付死亡给付。研究两全寿险保单的原因是，两全寿险保单实际上包括终身寿险保单，在寿险实务中，终身寿险保单实际上就是保险期限很长的两全寿险，如果被保险人活过100岁或者105岁的话，保险人会考虑给付保险金。
一、符号的矩阵表示
记被保险人年龄为x，保单组的初始规模为l[，x]，历年死亡人数随机向量为
其矩阵形式为：D[，S]=Λ[，Q]（D-E（D））。
引理1 任何满秩矩阵B[，n×n]，随机向量BD[，S]的渐近分布为多元正态分布，其均值向量为0向量，协方差阵为B（I-ΦΦ′）B。
引理1是对[2]中一个结果的简单改写。
记评估利率为i，贴现因子ν=（1+i）[-1]，记矩阵
显然V是一个满秩的上三角矩阵。
二、未来给付现值随机变量的分布
按照习惯上的记号（参看[1]），第k（k=0，1，…，n-1）年末的未来给付现值随机变量为PVFB[，k]=
最后一个等号由矩阵乘法的结合律得到。
根据引理1，得到本文的一个基本结果。
定理1 随机向量R[，S]的渐近分布为多元正态分布，其均值向量为0向量，协方差阵为V（I-ΦΦ′）V′。
这样就得到了向量PVFB的标准化变换后结果的渐近分布。
三、未来损失现值随机变量的分布
在计算责任准备金的时候，采用的记号是未来损失现值随机变量，即未来给付现值减去未来保费收入现值，所以要在模型中引入保费缴纳。按照习惯上采用的记号，假设每个保单年度年初缴纳的评估净保费为π[，k]，k=1，2，…，n。在最简单的情况下，各年的评估净保费相等，对限期缴费保单来说，在缴费期之后的评估净保费为0。在k时刻有未来损失现值随机变量[，t]L=PVFB[，t]-PVFP[，t]，t=0，1，…，n-1，通常意义下的责任准备金就是E[[，t]L]。随机向量PVFB的矩阵表达已经得到，下面给出随机向量PVFP的矩阵表达，就可以得到L的矩阵表达，并讨论它的精确分布和渐近分布。记保费矩阵为
则有PVFP=（1+i）VPremD，L=VD-（1+i）VPremD=V（I-（1+i）Prem）D，就是说，未来损失现值随机向量是一个矩阵和死亡人数向量的乘积。注意到π[，i]＜ν，可知上三角矩阵I-（1+i）Prem的对角线元素都大于0，所以它是满秩矩阵。
记W=V（I-（1+i）Prem），W为满秩矩阵，而L=WD，即L可以表示成一个满秩矩阵和随机向量D的乘积形式。在大样本下，我们可以用和前面类似的标准化方法，得到L[，S]=Λ[，Q]（L-E（L））=WD[，S]，由此得到本文的定理2。
定理2 随机向量L[，S]的渐近分布为多元正态分布，其均值向量为0向量，协方差阵为W（I-ΦΦ′）W′。
四、进一步讨论的问题
计算一个满秩矩阵和一个多项分布随机变量乘积的精确分布，比渐近分布要复杂，我们还在继续研究之中。
（摘自《经济数学》（长沙），2005.3）