高考导数应用问题归类解析，本文主要内容关键词为：导数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
导数进入高中数学教材后，给函数性质的研究，开辟了一条新的途径，特别是应用导数这一新工具，为分析和解决问题提供了新的视角、新的方法，与传统的方法相比，简捷明快，具有明显优势.因此，2004年高考对导数应用问题的考查是一个热点内容之一.本文对此类问题进行归类解析，以供复习参考.
一、研究函数的性质
1.应用导数求函数的单调区间
例1 （2004年全国卷一）已知a∈R，求函数
评注：运用导数求函数单调区间的方法简单，避免了运用定义法时繁杂的运算与高难度变形技巧.本题要注意分类讨论思想方法的应用.
2.运用导数判断函数的极值
所以a的取值范围为[-2，2].
评注：应用导数求闭区间上的最值，先求出其开区间上的极值，再与端点的函数值比较即可求解.对（3）中已知函数单调性，求函数中所含参数，只要运用f′（x）＞0或f′（x）＜0，解不等式即可求得.
二、应用导数解决不等式问题
1.应用导数求解不等式
例4 （2004年湖南卷）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（
）
（A）（-3，0）∪（3，+∞）
（B）（-3，0）∪（0，3）
（C）（-∞，-3）∪（3，+∞）
（D）（-∞，-3）∪（0，3）
解析：设F（x）=g（x）f（x），易知F（x）为奇函数.由x＜0，F′（x）＞0且g（-3）=0，知F（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上为增函数且过点（±3，0）.
根据对称性知F（x）=f（x）g（x）＜0的解集为（-∞，-3）∪（0，3）.
所以选答案（D）.
评注：本题应用了导数的性质先求出函数F（x）的单调区间，再利用函数奇偶性求得不等式的解集.
2.应用导数证明不等式
例5 （2004年全国卷二）设函数f（x）=ln（1+x）-
评注：利用函数单调性证明不等式，关键在于构造相应的函数，然后在相应区间上用导数的知识判定其单调性，再利用单调性得到所证明的不等式.
三、应用导数解决几何问题
例6 （2004年浙江卷）设曲线y=e[-x]（x≥0）在点M（t，e[-t]）处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S（t）.
（1）求切线l的方程；
（2）求S（t）的最大值.
（2）令y=0，得x=t+1.
又令x=0，得y=e[-t]（t+1）
所以S（t）=（1/2）（t+1）·e[-t]（t+1）
=（1/2）（t+1）[2]e[-t]，
从而S′（t）=（1/2）e[-t]（1-t）（1+t）.
S′（t）=0时，t=1或t=-1（舍去）.
因为当t∈（0，1）时，S′（t）＞0；
当t∈（1，+∞）时，S′（t）＜0，
所以S（t）的最大值为S（1）=2/e.
评注：函数y=f（x）在点x[，0]处导数的几何意义就是曲线y=f（x）在点（x[，0]，f（x[，0]））处的切线斜率，即k=f′（x[，0]）.通过面积S（t）对变量t求导数，应用求极值方法即可求出面积最值.
四、应用导数解决实际生产中的最值问题
例7 （2004年重庆卷）某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为P=24200-（1/5）x[2]，且生产x吨的成本为R=50000+200x元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）
解析：每月生产x吨时的利润为
f（x）=（24200-（1/5）x[2]）x-（50000+200x）
=-（1/5）x[3]+24000x-50000（x≥0）.
由f′（x）=-（3/5）x[2]+24000=0解得
x=200（x=-200舍去）.
因f（x）在[0，+∞）内只有一个驻点x=200，故它就是最大值点，最大值为
f（200）=-（1/5）（200）[3]+24000×200-50000
=3150000（元）.
答：每月生产20吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元.
评注：这是一道实际生产中的最大值问题，一般先建立目标函数，通过配凑变形转化为符合二元或三元均值不等式的形式求最值，但配凑过程是一个难点.运用导数知识求目标函数的最值则变得非常简单.可见，导数的引入开辟了求最值问题的新途径.