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数学复习课，在数学教学中占有十分重要的地位，重要章节的新授课后通常有复习课，期中、期末考试前有复习课，高三一年，更是全面复习.因此，我们需要关注数学复习课的效率，不能让数学复习课变成知识的简单回顾、方法的机械总结、题型的重复训练.我们要为促进学生的理解而复习，要让学生透彻理解概念、定理、公式等知识间的关联；要让学生深刻把握思想方法运用的所以然.如何提高复习效率？本文不凭空论述，将结合高三一轮复习的一个案例“向量的数量积”，说明有效复习的一些做法，以期抛砖引玉. 一、知识点复习 李邦河院士曾说过，数学是玩概念的.在新授课中，我们通常强调情境的引入，从而构建概念、定理等.现在的问题是，我们在复习课中，如何玩好这些基础知识，并让学生进一步加深理解呢？我们先来看看，向量的数量积到底有哪些知识点？不少一轮复习资料通常从数量积的概念、性质、坐标表示、运算律四个方面来归纳. （1）在概念方面，首先是数量积的定义a·b=｜a｜｜b｜cosθ，然后是向量夹角的定义、夹角的范围等. （2）关于数量积的性质，主要是指向量模与夹角的运算公式，即
与
，以及向量a⊥b的结论. （3）关于向量数量积的坐标表示，常见的有
（4）运算律是指交换律a·b=b·a、数乘结合律（λa）·b=a·（λb）=λ（a·b）以及分配律（a+b）·c=a·c+b·c等. 1.课前的复习思考 我们常听老师对学生说，复习知识点你又不听讲，做到题目又不会.其实，这些知识点学生不是都不会用，基本问题，学生能够运套用公式、定理等完成；较难一点的问题，他们有时确实是不会，但原因较多，有思维方法的原因，也有知识点理解不深的原因.所以，这些知识点，学生是懂而不透，常规平铺直叙的评讲，学生厌烦，他们认为会了，不想听；有老师为了减少学生的厌烦感，他们在题目评讲中，逐步梳理出知识点，但知识点零碎，缺乏知识间的联系性理解；还有个别老师要求学生默写，学生是敢怒不敢言，这种教法最不可取. 对于这些知识点，我们复习的目的，是要加深学生的理解，从而更牢靠的记忆，更灵活的运用.通过反复思考，笔者设计了几个问题，让学生在思考中构建知识框架，达到加深理解的目的，具体教学过程如下. 2.问题促理解 问题1 大家是否知道公式
？（学生齐声答：知道）那么，这个公式是怎么产生的呢？ 生1：由数量积的定义，有a·b=｜a｜｜b｜cosθ，若a=b，则
师：对.因此，我们可以用公式｜a｜=
来求向量的模.另外，若a⊥b，则a·b=｜a｜｜b｜cos90°=0.那么，向量的夹角又是如何确定的呢？ 生2：将两个向量平移到共起点看夹角，范围是[0，π].（教师画图解读） 师：对.当向量a，b的夹角为0时，向量a，b同向；当向量a，b的夹角为π时，向量a，b反向.如果两个向量首尾相接，如何确定向量的夹角呢？（教师画图） 生3：补角. 教师：实际上是向量对应的两条线段的夹角的补角.若是两个向量共终点（教师画图），那还是这两条线段的夹角.再请大家看问题2. 问题2 向量的数量积为什么还有公式
呢？ 生4：因为
师：对.我们只要理解向量坐标的含义，用单位正交基底i，j表示向量，再用数量积的分配律运算就能得到.这样，我们还能得到向量模的坐标运算公式
以及向量夹角的运算公式
对于公式
，学生都记得，但理解不透.笔者曾在高二教学时，碰到一个向量问题，要用该公式，当时提出问题2，全班竟无人能答！有时间长的原因（高一学习的内容），更有学生理解出的问题.现在与学生复习平面向量基本定理，以及向量坐标的含义，再提出问题2，学生自然构建了知识框架. 问题3 怎么计算
？（学生能顺利得到
），为什么能套用完全平方的运算公式呢？（学生沉默） 师：
是多项式的乘法，这里涉及哪些运算律？ 生5：主要是乘法的分配律. 生6：还有交换律. 师：对.向量的数量积运算也有交换律a·b=b·a、分配律（a+b）·c=a·c+b·c，所以，大家套用完全平方的运算公式是正确的.另外，还有数乘结合律（λa）·b=a·（λb）=λ（a·b）.那么，向量的数量积运算有结合律吗？ 生7：没有，（a·b）c=a（b·c）不成立. 师：为什么？ 生7：因为a·b与b·c是实数，所以（a·b）c是与c共线的向量，a（b·c）是与a共线的向量. 3.必要性分析 也许有教师会问，这样的费时复习有必要吗？特别是问题2、3，我们只要学生会运用公式就行，考试又不考公式、法则的推理证明.确实如此，高考不怎么出类似问题2、3的试题，是不是我们的高考存在什么缺陷，笔者不敢妄议.但我们试想另一个问题，学生高考数年后，高考题他还会做多少？这些最基本的概念、公式等又理解不深，那我们的学生高中三年到底学习了什么呢？恐怕我们只能回答，他们学习了数学的思维方法.这些看不见、摸不着的东西，是不是有些自欺欺人？还有我们所讲的素质教育，总不能只讲考试要考的内容吧，那岂不是标准的应试教育吗？ 另外，虽说不会直接考类似2、3的问题，但我们透彻理解这两个问题，也不是说对考试就一定没有帮助，请看下面两题： 题1 已知向量a，b不共线，若向量m=xa+yb，则称（x，y）为向量m在基底a，b下的坐标.现已知向量m在基底a=（-1，2），b=（2，-3）的坐标为（2，1），则向量m在基底c=（-3，1），d=（2，2）下的坐标为________. 题2 （2012安徽高考）若平面向量满足2a-b≤3，则a·b的最小值是________. 题1是单位正交基底下的坐标的引申，也称仿射坐标，只要学生充分理解平面向量的基本定理，以及普通坐标的含义，就不难完成.问题2的提出，有助于促进学生理解坐标的内涵，对题1的解决有帮助.
总之，无论是新授课还是复习课，玩好最基本的概念、定理，让学生透彻理解数学的本质，十分有必要. 二、典型题评讲 1.选题分析 在一次培训会上，江苏省教研室李善良博士谈到，教学要做“减法”.比如，本来一节课准备讲5道题，我们要思考能不能讲4道题、3道题，甚至更少？也就是说，我们要通过2、3道题的教学，让学生透彻理解问题的本质，深刻理解思维方法的运用，使学生自然而然地就掌握了那没有讲的3、2道题，也即触类旁通.基于以上思考，笔者先对学生完成讲义的正确率进行了统计，并充分了解了一些重点题的解答情况，从中选择了2道典型题，与学生交流、研讨. 题1 已知向量a=（cosθ，sinθ），
，其中0≤θ≤π. （1）求向量a，b的夹角（用θ表示）；（2）求2a-b的最大值. 题2 如下图，在平行四边形ABCD中，AB=8，AD=5，若点P满足
且
=2，则
的值为________.
为什么选讲这两道题呢？主要是从知识、方法两个层面选题的，而没有完全依据正确率选题.实际上，这两道题的错误率都不算很高，笔者强调的是典型性选题.题1侧重于向量基本知识的运用，要求学生熟练掌握向量夹角与模的运算公式，其中还涉及坐标运算、三角化简等知识，通过题1的评讲，要到达深化理解基础知识的目的；题2是方法层面的理解与思考，题2的评讲目的，一是要锻炼学生思维；二是要学生能根据具体问题，合理选择方法.本文将着重与读者交流题2的方法教学. 2.方法探讨 问题1 对于一些几何问题，我们有时可以用特殊化的手段处理，这道题能不能呢？请同学们交流讨论， 学生能根据题意分析到，已知平行四边形ABCD的两边，及点P在边CD上的位置，表面上好像图形形状不确定，实际上条件
=2可能与∠BAD有关，特殊化处理可能会与条件
=2不相容 接着教师可追问，什么样的几何问题能特殊化处理呢？学生会答道，条件不能确定图形形状的问题.其实，还要问题的结论与图形的不确定性无关才行. 问题2 我们大家能不能提出一个问题，只与AB=8，AD=5有关，而与∠BAD无关呢？ 提出问题是学生的弱点，教师可适当提醒，条件
=2去掉，改变P点的位置呢？这时可能会有学生发现，当点P为边CD中点时，
为定值.
所以，如题目改为“在平行四边形ABCD中，AB=8，AD=5，若点P满足
，则
的值为_________.”就能用特殊化处理. 问题3 对于题2，我们发现绝大多数学生用的是基底法，很少有学生用坐标法，这是为什么呢？是不是一定不能用坐标法呢？ 前一个问题容易回答，以A为原点、AB所在的直线为x轴建立坐标系，由于∠BAD的大小不知，点D，P，C的坐标不易写出.继续探讨，学生就能提出设∠BAD=θ，得出D（5cosθ，5sinθ），P（5cosθ+2，5sinθ），B（8，0）. 所以
=（-5cosθ-2，-5sinθ）·（5cosθ+6，-5sinθ）=2 化简得
所以
=（8，0）·（5cosθ，5sinθ）=40cosθ=22. 教师再与学生适当交流，题2拿到手，我们的直觉就是基底法，没想太多.其实，我们只要多思考一下，若要用坐标法，怎么办呢？还是可以得到上述解法的. 问题4 我们能不能利用图形的不确定性，设计出一道简单的向量数量积的最值问题呢？ 通过探讨，学生得出的问题不少，当然也很接近，主要是用∠BAD或点P的不确定性研究一些数量积的最值.笔者从中挑选了一道题：在平行四边形ABCD中，AB=8，AD=5，
若点P为边CD上的动点，则
的最小值为________.然后要求全体学生完成，最后投影展示了学生的两种不同解法，进行交流.
法2（坐标法） 以A为原点、AB所在的直线为x轴建立坐标系，可以得到点的坐标为B（8，0），
当x=4时，
的最小值为
. 教师点评：由于点P是动点，我们需要选择关于点P的一个变量表示
.基底法是利用D，C，P三点共线，设
，从而建立了
关于λ的函数求最值；对于坐标法，由于CD//x轴，只要引入点P横坐标x表示
即可. 最后，笔者又介绍了一个向量公式
，其原理也很简单.能不能用于求
的最小值呢？让学生思考，容易得出下列方法. 法3（公式法） 因为
， 设O为边AB的中点，所以
，
教师点评：研究共起点两向量的数量积，用公式
往往有效，为什么呢？因为这个公式就把数量积转化为共起点两向量的加减法，减法消去了起点，加法可用三角形的向量中线公式，以后大家求向量数量积时，特别是共起点两向量的数量积，可以考虑这个公式的运用. 3.反思方法教学 高三数学复习中的思想方法，学生在高一、高二都已接触过，但理解不是很透彻、运用还不够灵活.因此，我们需要优化教学方法，减少学生的审美疲劳，激发学生研究性，做到进一步深化理解. 为此，笔者认为首先要做到精选例题，所选例题要有典型性，要通过少量例题的探究，激活学生的思维、让学生理解思想方法的内涵；其次所设计的探讨问题，要有研究性，触及问题的本质，探讨学生认知上的不足，而不是简单的一题多解、低位变式的重复训练.如问题1、2，与学生探讨题2为什么不能特殊化处理？这就触及了条件间内在联系的研究；问题3是探讨了学生为什么不用坐标法的根源，并自然而然地发现了也能用坐标法，弥补了学生认知上的不足；问题4要求学生自编题（这当然需要一定时间的教学积累），使学生对问题的本质理解、思想方法的运用都上升到一定的高度. 三、怎样设计问题 以问题探讨促进学生理解，是本节课的主要形式.怎样设计问题？笔者总结了2个围绕，与读者交流. （1）围绕“原因”设计问题.不论是知识复习，还是方法复习，多问几个为什么，有助于促进学生的理解.我们不能只让学生记住知识点，还要让他们知道概念、定理的成因，这样他们所建立的知识框架才更牢固，记忆才更长久；一个问题，这样的处理方法效果好，那样的处理方法很繁琐，必有其原因，我们只有让学生知其所以然，到他们碰到具体问题时，才能灵活地选择方法，运用才更自如. （2）围绕“变化”设计问题.这一点与当前的变式教学相近，但笔者认为，我们变式的幅度要再大一点，要触及问题的本质，不能变成机械的重复训练，当然也不能变成完全不相干的另一个新题.如本文中，方法教学的探讨问题2、4，围绕图形的不确定性提出2个变化问题，要求学生从∠BAD与点P的变化中分别重新设计新题，再解决.虽然处理方法大同小异，但问题有新意，学生愿意去完成.那么，如何设计出变换问题让学生探讨呢？可以由特殊到一般，设计拓展性问题；可以由静到动，设计成最值或定值问题；可以互换条件与结论，设计互逆型问题；可以由此及彼，设计类比型问题等等. 四、结束语 常听学生说，这些问题我上课都听得懂，但时间一长又不会.这是我们教学中遇到的普遍现象“懂而不会”，现在想来，就是学生理解不透，没有吃透问题的本质，不理解能这样做、不能那样做的原因，是假懂！因此，我们要为学生的理解而教、而复习，要让学生真懂！ 对教师而言，我们不能满足于绝大部分题目都会做，还要加强自身学习.一方面，要学习教学理论知识，研究新的课堂教学模式，从而优化自己的教学方法，促进学生的理解；同时还要提高自身的数学专业素养，题目会做，理解水平未必就高，多看看一些杂志上的文章，多与作者的理解水平比较，切实提高自身的研题能力，才能真教懂学生.
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