曹永知[1]2003年在《胞腔代数的同调性质》文中进行了进一步梳理为了在公理化的框架下研究Ariki-Koike型Hecke代数及其相关代数,1996年Graham和Lehrer引入了胞腔代数的概念。粗略地说,胞腔代数是一类具有特殊性质基的有限维结合代数。这种基极大地便利了研究此类代数的表示。随后,K(o|¨)nig和惠昌常从环论的角度对胞腔代数给出了一个等价的定义。诸多研究表明,胞腔代数的确是一类具有很多良好性质的代数,许多常见的、重要的代数类被证明是胞腔的,如:对称群的群代数及其Hecke代数、Brauer代数、Temperley-Lieb代数、分划代数和Birman-Wenzl代数等。 本文主要关心胞腔代数同调方面的性质,包括胞腔代数的拟遗传性、半单性、标准分层性以及胞腔代数上的投射内射模等。我们的研究主要采用同调的方法,许多论证用到胞腔代数上投射模所具有的滤过性质和一些涉及胞腔模的正合列的维数转移。 我们的主要结果由以下几方面组成: 1.使用胞腔模及其对偶之间的扩张群,对拟遗传的胞腔代数给出了一个比较简捷的同调刻划; 2.利用胞腔模和单模的上同调群,得到了几个关于胞腔代数半单性的评判准则; 3.提供了一个用于计算胞腔代数嘉当行列式的公式,利用这个公式刻划了嘉当行列式为2的胞腔代数; 4.给出了胞腔代数是标准分层代数的一个充分条件,利用这个条件我们介绍了一种归纳构造标准分层的胞腔代数的方法; 5.讨论了胞腔代数上的投射-内射模,一些关于胞腔代数上的投射模的内射性和内射模的投射性的充分必要条件被给出; 6.介绍了一类新的代数—分圆点滴代数,研究了这类代数的胞腔结构、不可约表示、拟遗传性和胞腔模的限制。
王琳[2]2012年在《拟遗传代数与广义路代数》文中研究说明拟遗传代数和它的推广分层代数的提出,是为了研究复半单李代数和代数群表示理论中的最高权范畴.诸多研究表明,拟遗传代数是一类具有很多良好性质的有限维结合代数.本文第一章主要介绍了拟遗传代数的定义,基本性质,构造方法及应用,同时给出了有限维遗传代数都是拟遗传的这一命题的具体证明.第二章主要介绍了标准分层代数与真分层代数的定义,基本性质,并分别与胞腔代数作比较.广义路代数作为路代数的推广,文章第叁章中首先介绍了广义路代数的基本概念,主要证明了：在有限箭图带圈的情况下,两个正规广义路代数同构当且仅当箭图同构,且对应顶点上放置的单代数同构.然后根据广义路代数的拟遗传性质,讨论证明：拟遗传代数的张量代数仍是拟遗传的.
戴星宇[3]2013年在《Hecke代数以及相关代数的研究》文中认为本文的主要结果分为四个部分.首先,将利用格拉斯曼流形的拓扑性质来讨论和研究分圆NilHecke代数中的基本代数之中胞腔基.这组基最早由北京理工大学的胡峻教授在研究分圆NilHecke代数的一组本原幂等元的时首次被构造出来.在这一部分的研究中,建立了分圆NilHecke代数所对应的基本代数和格拉斯曼流形上同调代数的同构关系.更进一步来说,将给出一个代数层面上的同构,这个同构将胡峻教授构造的这组基和格拉斯曼流形上同调代数中的舒伯特胞腔基一一对应起来.利用上述同构关系,就可以利用舒伯特胞腔的一系列已知的经典性质,举一个例子,能够很简单的证明出：胡峻教授构造的这组基就是我们要找的胞腔基,同时它也能说明分圆NilHecke代数的基本代数是个分次的胞腔代数.在接下来的第二部分中,我们将研究对象转向Iwahori-Hecke代数与其相关的代数和模结构.以q-Schur代数的Borel子代数为出发点,详细刻画了Borel子代数下的极大理想.以此为依托,可以通过bar分解的方法得到一条Borel子代数范畴上的复形.通过诱导函子和Schur函子的作用,能够构造出对偶Specht模上的一条复形链.更进一步的,结合Boltje和Maisch的一部分正和上的结果,能证明这条复形链是对偶Specht模上的一个投射分解.其次,不同于其他理论中外尔模余集形式的构造.在本文的第叁部分里,我们将分圆Schur代数模范畴中所有的外尔模实现为一组特殊元素对应的正则模.与之相对应的量比如胞腔基都能够在正则模的情况下得以实现,同时也对这些结论给出了不一样的构造和证明.更进一步,我们用重新构造和证明的胞腔基给出了分圆Schur代数下分支理论的重新证明.在最后一个部分的研究中,分成两个部分.第一部分中,利用第二部分构造的投射分解,研究了对偶Specht模之间低阶数的扩张模和它相关的一些性质.通过组合性质构造并且证明了这些扩张模中的一组基.第二部分中,尝试将Iwahori-Hecke代数下的Woodcook条件推广到分圆Hecke代数意义之下.为此我们尝试研究和实现分圆Schur代数下的整体基和外尔模上的晶体基结构.从而将Boltje-Maisch投射分解推广到分圆Hecke代数的情况下.
王永志[4]2012年在《基于胞腔复形链的地下空间对象叁维表达与分析计算统一数据模型研究》文中进行了进一步梳理随着科学技术的进步和社会经济的发展,地下空间作为重要的资源逐步得到开发利用,如城市地下空间设施的建设、矿产资源开发、地下能源存储库建设等。地下空间无论作何种用途,都需要对其地质环境、地质构造情况进行详细的勘察量测和模拟分析才能够进行施工作业。地下空间对象叁维表达与分析计算技术可以更加便捷、精细地描述地下空间对象构造,能够对地下空间现象进行数值模拟与分析,从而使工程师们做出更加准确的决策。因此,该技术已经成为叁维地理信息系统、叁维地学模拟系统和岩石力学数值模拟等学科领域的研究热点。由于没有统一的数据结构,用于地下空间对象叁维表达的模型与用于分析计算的模型之间存在着本质的差异。因此,目前地下空间对象的叁维表达与分析计算多被分为两个独立的过程。这样在进行地理现象模拟与分析的过程中,既不利于地下空间对象几何拓扑信息的维护,容易产生数据冲突,也降低了分析计算的效率。本文以代数拓扑为理论依据,基于胞腔复形链实现地下空间对象几何、拓扑和属性的统一表达和形式化定义,构建了能支持地下空间对象叁维表达与分析计算的统一数据模型。通过本课题的研究,从理论和方法上推进地下空间对象叁维表示和分析计算技术的发展,主要的研究工作和成果包括：(1)将地下空间对象的代数拓扑描述方法从单纯同调理论扩展到胞腔同调,详细阐述了胞腔复形链及其相关操作算子的概念。在此基础上,给出了基于胞腔复形链的地下空间对象形式化定义,对其动态行为过程变化特征进行了描述与表达,为地下空间对象叁维表达与分析计算统一数据模型的构建奠定了理论基础。(2)在完成了基于胞腔复形链的地下空间对象形式化定义的基础上,从地下空间对象的抽象过程入手,结合代数拓扑学的相关理论,给出了基于胞腔复形链的地下空间对象叁维表达与分析计算统一数据模型的层次结构及其实现方法；并由此实现了基于统一数据模型的复杂地下空间对象叁维表达、地下空间对象属性信息空间分布特征表达及动态行为过程表达的操作。(3)为了扩展本文提出的统一数据模型空间操作功能及增强其实用性,基于统一数据模型,实现了一系列地下空间对象叁维空间分析与计算过程中的空间操作算法。基于胞腔复形链对欧拉-庞加莱公式进行了扩展,并借助于其6个拓扑不变量设计了10对欧拉算子；在此基础上,实现了基于统一数据模型的叁维点集区域查询算法、叁维空间相交检测算法、叁维空间实体间布尔运算、叁维空间网格离散及地下空间对象模型细分光滑操作等空间操作算法。(4)采用本文构建的基于胞腔复形链的叁维表达与分析计算统一数据模型及其相关空间操作方法,以盐腔围岩蠕变数值模拟与分析为例,对统一数据模型层次结构的合理性及其相关空间操作的可靠性进行了实例验证。通过对研究区基础空间数据、声纳测腔数据等数据资料的分析,构建基于统一数据模型的盐腔围岩数值分析计算模型,实现盐岩围岩空间对象几何、拓扑、属性信息的统一表达；基于胞腔复形链对常用力学元件进行表达,通过对胞腔复形链的操作运算,实现不同蠕变机理模型的重构；在此基础上,进行基于统一数据模型进行盐腔围岩蠕变数值模拟与分析。
鲜敏[5]2009年在《一种同调边缘学习算法及其应用研究》文中研究表明针对晶体数据的边缘划分问题,引入同调论的思想,从机器学习角度给出了一种同调边缘学习算法。主要包括以下几方面内容:1给出了上同调边缘算法、胞腔同调边缘算法和正则胞腔同调边缘算法。2给出了同调边缘划分算法,并将其应用于鸢尾花分类,实验结果表明该算法是有优势的。3给出了上边缘同调学习算法,通过实验验证,该算法应用于晶体数据分析,取得了明显的效果。4给出了上同调边缘学习算法,将该算法应用于晶体结构预测,为物理学家提供了新的分析方法。综上所述,本文给出的这些研究内容不仅对机器学习领域有积极意义,而且通过实例分析进一步说明其应用领域也是十分广泛的。
惠昌常[6]2010年在《胞腔代数和仿射胞腔代数简介》文中研究表明表示论中一个最基本的问题是确定不可约表示的参数集,这个问题至今没有完全解决.对于Graham和Lehrer引入的有限维胞腔代数,这个问题得到了完满解答,并被成功地应用于数学和物理中出现的许多代数.近来,人们引入仿射胞腔代数,将Graham和Lehrer有限维胞腔代数的表示理论框架推广到一类无限维代数上.仿射胞腔代数不仅包括有限维胞腔代数,也包括无限维的仿射Temperley-Lieb代数和Lusztig的A-型仿射Hecke代数.本文将对胞腔代数的发展历史和主要研究成果做一些综述,同时,对新引入的仿射胞腔代数及其最新成果做一点简介.
吴梦[7]2012年在《T网格上的高光滑阶样条与异度样条》文中研究指明T网格上的样条是一种具有局部加细功能的函数。已有的关于T网格上样条空间的理论和应用主要是基于样条次数与光滑度有较大差别的情形,如通常见到的PHT样条是T网格上的双叁次C1函数。本文主要研究T网格上高光滑阶的样条空间以及T网格上的异度样条空间。论文在第一章中概述了T网格上的样条空间的产生背景、已有工作,并且介绍了T网格上的样条空间和同调代数中的相关概念及结论。然后在第二章中回顾了研究T网格上样条空间的一些经典方法以及与本文相关的工作。在第叁章中利用同调代数中可分的短正合列理论具体给出了直和分解理论的两种表现形式—基于内大边的满射条件以及基于内边的满射条件。在第四章中,我们利用基于内大边的满射条件研究T网格上高光滑阶的样条空间的维数问题。在第五章中则利用基于内边的满射条件研究T网格上高光滑阶样条空间的基函数构造。我们根据不同的应用领域构造了不同性质的基函数并且把这些基函数做了一些具体的应用。另外,近来等几何分析概念的产生推动了对T网格上各种样条的研究。在这个过程中产生了一些在T网格上新定义的样条函数。从等几何分析理论分析的角度,我们在第六章中分析了直和分解理论在研究这些新定义的样条线性生成空间和对应的T网格上高光滑阶的样条空间之间差别的可行性。在第七章中我们提出了T网格上异度样条空间的概念并进行了初步的理论研究和应用。特别地,在这一章中我们对用于表达广泛存在的间断数据的-类T网格上的异度样条进行了具体的研究。给出了这类T网格上的异度样条空间的维数以及基函数构造。通过这类T网格上的异度样条在有问断特征的图片数据上的应用,我们可以看出这种样条可以更好的保持原来数据的间断特征。最后在第八章中我们总结本文,同时从T网格上高光滑阶的样条空间和T网格上异度样条空间这两个方面对未来的工作进行展望。
纪影丹[8]2016年在《半群代数的若干研究》文中研究说明近年来,半群代数的表示理论发展迅速,取得了很多有意义的结果:既包括对其半群代数经典性质的研究,又包括半群代数在其它领域的应用.例如:概率,组合,统计及拓扑.还有很多半群代数的未知问题等待我们去解决和探索.在阿丁代数表示理论的研究中,映射的决定因子有很重要的作用.本文主要研究U-半富足半群代数的胞腔性,局部适当半群代数的直积分解和投射不可分解模,纯正半群代数的半本原性,局部逆半群代数的π-半单性和素性,叁维半群代数的分类和表示型,遗传代数上映射的决定因子等问题.第二章主要研究了以Rees矩阵半群为主～-因子的U-半富足半群S所对应的半群代数的胞腔性.利用Rees矩阵半群代数上的胞腔性的刻画,证明了R[S]是胞腔的当且仅当S的所有结构幺半群所对应的幺半群代数是胞腔的.我们也研究了Rees矩阵半群的半格所对应的半群代数的胞腔性.作为推论,可以得到超富足半群和完全正则半群所对应的半群代数的胞腔性.第叁章主要考虑了局部适当和谐半群代数的直和分解,直积分解和表示型.其中很关键的一个步骤是利用Rukolaǐne幂等元来构建这个半群代数的一个乘法基B,从而构造一个性质较好的本原富足半群S.这样就可以通过研究R0[S]的性质来研究原来半群代数.主要得到的结果:一方面,把此类局部适当半群代数分解成本原富足0-J*-单半群代数的直积;另一方面,通过半群S的R*-类,可以决定局部适当半群代数的表示型.设S是一个有限纯正半群或者一个幂等元集局部伪有限的纯正半群.在第四章中,我们研究了压缩半群代数R0[S]的半本原性.主要利用S的主因子和R0[S]的Rukolaǐne幂等元等相关方法,证明了压缩半群代数R0[S]是半本原的当且仅当S是一个逆半群且对于S的每一个极大子群G,群代数R[G]是半本原的.这样就推广了已知的关于逆半群代数的半本原性的结果.第五章对局部逆半群代数的π-半单性和素性给出刻画.设S是一个幂等元集局部伪有限的局部逆半群.利用第叁章中构造的半群的S,证明了S的幂等元集E(S)为局部有限的当且仅当R0[S]为某些完全0-单压缩半群代数的直积;并且证明此时,条件D=J在半群S中成立.进一步,如果假设S满足条件D=J,那么对压缩半群代数R0[S]的π-半单性给出了刻画.在本章的最后,研究了R0[S]的素性.第六章主要研究了代数闭域上的叁维半群代数(可能不含单位元)的性质.主要利用了Jacobson根,本原正交幂等元的完全集及简图等相关概念.不仅给出了叁维半群代数的所有同构类,并且决定了它们的表示型.注意到,表示有限的代数可以表示成一个压缩半群代数.利用上面叁维半群代数的结果,以及部分四维半群代数的性质,我们可以决定所有表示有限的叁维代数(含有单位元).设f是遗传代数KQ中的一个映射.在第七章中,主要研究了模范畴KQ中的余核函子Ff和预投射代数ΠQ的投射模的商之间的对应关系.我们想要说明的是怎样利用某个相关商模的基座来计算一个余核函子的基座.由于余核函子的基座和映射的决定因子是一致的,我们可以得到映射的决定因子.
王涛[9]2015年在《流形及其相关领域历史的若干研究》文中研究说明流形概念起源于德国数学家黎曼1854年关于几何基础的演讲,其中他将流形理论分为几何与拓扑两个部分.其后数学家分别沿几何、拓扑等方向对流形展开研究,得到了不少结果.然而流形的严格定义一直没有得到,制约着这门学科的进一步发展.直到1913年外尔《黎曼面的概念》出版,才首次给出了二维流形的公理化定义,从此流形理论进入新的发展时期.到20世纪中叶,流形成为微分几何、微分拓扑、大范围分析、微分动力系统与叶状结构等学科的基础.这些学科属于结构数学范畴,在近现代数学的发展过程中处于主流的位置.可以说流形是20世纪数学有代表性的概念和理论,它已成为现代数学最重要的思想之一,在数学乃至理论物理中占有越来越重要的地位.本文在掌握原始文献的基础上,辅以相关的历史研究文献,以时间为轴线,以重要数学家的工作为节点,梳理并总结了流形的历史渊源与理论框架;探索了以黎曼、克莱因与庞加莱等为代表的早期数学家对流形的不同认识,考察了以外尔、维布伦与惠特尼等为代表的后期数学家对流形的贡献.本文的主要内容如下:1.梳理并总结了流形从19世纪50年代到20世纪30年代发展的整体框架.2.从几何学、分析学和物理学叁个方面,以流形概念在这些学科中的出现或隐现为标志,详细考察了流形的起源.对黎曼的n重延伸流形进行了细致的分析,指出了它有两大特征:局部欧氏与可微,并对n重延伸流形的曲率概念进行了解读,论述了黎曼报告的影响.3.首次考察了克莱因的学术背景,探索了克利福德与普里姆对克莱因认识流形的影响.以克莱因对流形的认识为中心,介绍了《埃尔朗根纲领》与《关于黎曼代数函数及其积分的理论》的主要内容.由于研究目标不同,克莱因在流形的认识和处理上与黎曼有差别.4.细致地考察了庞加莱的《位置分析》及其补篇中的流形概念,介绍了庞加莱定义流形的两种方式,分析了它们的实质与关系,解读了流形的几何表示与不连续群表示.对丹麦数学家希嘉德的生平与工作进行了粗略论述.此外,还对庞加莱之后的拓扑学的发展以及拓扑学家进行了一定程度的介绍.5.在掌握原始文献的基础上,介绍了《黎曼面的概念》的主要内容、特色与影响.分析了外尔引入流形的目的、动机、方法,总结了外尔引入流形的路线,探讨了克莱因、希尔伯特等人对外尔的影响.深入分析了外尔1913年对流形与黎曼面概念的贡献,并简要讨论了其中反映的数学哲学思想.6.对美国数学家维布伦与惠特尼进行了详细的传记研究,解读了维布伦给出了现代微分流形定义与惠特尼证明嵌入定理的工作,从流形定义的公理化角度对他们的贡献进行了深入的历史分析.7.对流形中译名的问世进行了研究,高度评价了江泽涵对拓扑学名词的审定工作.
陈克胜[10]2012年在《拓扑学在中国（1931-1949）》文中研究指明1895年及随后的几年内，法国数学家庞伽莱发表了题为《位置分析》的系列论文，标志拓扑学的诞生。20世纪初，拓扑学得到了迅猛地发展，并成为一门成熟的学科。此时的中国才有留学生开始学习和研究拓扑学，随后，拓扑学引入国内，并逐渐开展了拓扑学的交流与传播，从而极大地推动了中国的拓扑学研究，取得了杰出的成就。而已有的研究文献没有全面地反映中国在拓扑学上的贡献，因此，对拓扑学在中国的研究具有十分重要的理论价值和现实意义。本文在查阅了大量原始文献和相关的研究文献基础上，通过文献分析等方法对中国在拓扑学的贡献作了全面而详细的研究，主要的成果如下：1．从原始文献和研究文献出发，考查早期中国所发表的数学论文，论证了中国发表的第一篇拓扑学论文，从而澄清了事实，更正了中国在拓扑学研究的起始点。2．查阅原始文献，厘清了参与拓扑学研究的中国人及其研究成果。统计表明，参与过拓扑学研究的中国人共有16位，共发表了79篇论文，出版了2部着作，完成了6篇博士论文，从而摸清了中国在拓扑学研究的“家底”，突破了已有研究文献的局限性。另外，研究表明，中国拓扑学家之间还存在着师生关系，可分为二代，进而研究了这些拓扑学家及其走向拓扑学研究的之路。3．从79篇中国拓扑学论文中查阅到了63篇，在此基础上进行了研读，基本弄清了中国拓扑学家的研究工作，并适当对其进行历史评述，从而较为客观地、全面地反映中国在拓扑学的贡献。其中，首次较为全面地明确了胡世桢、王宪钟等人的拓扑学工作，初步了解了他们的研究过程；首次分析了中国在拓扑学研究的特征，以及这些研究成果之间的关系，表明中国拓扑学家们紧跟一流拓扑学家的工作，抓住了一些主流问题，得到了一些重要的结论，并且它们之间有一定的关联度；总结了中国在拓扑学的研究领域的成果，主要有同调论、同伦论、同调群与同伦群的关系、不动点类理论、覆盖空间理论、临界点理论、示性类理论、纤维丛理论和有关一般（点集）拓扑的一些领域。4．在已有研究文献的基础上进一步查阅和整理原始文献，梳理了中国拓扑学家所开展的活动，包括拓扑学在国内大学的教研、在中国数学会的学术交流和国内外拓扑学家间的交流，分析了这些活动对中国在拓扑学研究的影响。另外，首次评述了中国第一部拓扑学教科书译着，明确了这部译着的历史意义，即基本奠定了拓扑学术语的中文翻译的基调。
参考文献：
[1]. 胞腔代数的同调性质[D]. 曹永知. 北京师范大学. 2003
[2]. 拟遗传代数与广义路代数[D]. 王琳. 浙江大学. 2012
[3]. Hecke代数以及相关代数的研究[D]. 戴星宇. 浙江大学. 2013
[4]. 基于胞腔复形链的地下空间对象叁维表达与分析计算统一数据模型研究[D]. 王永志. 南京师范大学. 2012
[5]. 一种同调边缘学习算法及其应用研究[D]. 鲜敏. 苏州大学. 2009
[6]. 胞腔代数和仿射胞腔代数简介[J]. 惠昌常. 数学进展. 2010
[7]. T网格上的高光滑阶样条与异度样条[D]. 吴梦. 中国科学技术大学. 2012
[8]. 半群代数的若干研究[D]. 纪影丹. 兰州大学. 2016
[9]. 流形及其相关领域历史的若干研究[D]. 王涛. 河北师范大学. 2015
[10]. 拓扑学在中国（1931-1949）[D]. 陈克胜. 内蒙古师范大学. 2012
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