熊雄[1]2003年在《N-维非退化扩散过程样本的逆像集与水平集的分形性质》文中研究表明分形理论在许多学科领域有着非常广泛的应用，我们在建立用以描述天文学、湍流、物理学、生物学、化学、甚至经济学中的现象的数学模型时，分形已成为相当重要的工具。如分子运动、带噪声的通讯系统、有干扰的神经生理活动、生物膜中的渗透过程、进化过程中的基因更替、期货与期权定价等等。在许多情况下，这类模型总要依赖于某种随机因素，例如：Mandelbrot在建立地理现象、湍流的数学模型时，就采用了多参数Levy Brown运动。这使得人们对随机分形的研究更感兴趣，国内外学者在有关方面已做了大量的研究工作。 随机过程样本轨道分形性质的研究可以追溯到20世纪40年代Levy的工作。20世纪40年代和50年代，Levy、Besicovitch、Taylor、Mckean等人研究了Brown运动的随机分形，以后向两个方面发展：一是Blumenthal、Getoor等人先后研究了稳定过程、Levy过程的分形理论；二是Kahane、Adler等人先后研究了分数Brown运动、Gauss场的分形性质。 设(Ω，F，P)为一完备概率空间，X(t)=(X_1(t)，X_2(t)，…，X_N(t))为其上的N维非退化扩散过程。杨新建教授在文献[1]中研究了扩散过程样本的Hlder连续性，并将其应用于求扩散过程像集与图集的Hausdorff维数。本文在此基础上，讨论了扩散过程样本的逆像集与水平集的Hausdorff维数和Packing维数。 另外，杨新建教授在文献[2]中研究了紧集上非退化扩散过程样本的水平集和逆像集的一些分形性质，本文在这方面也做了一些工作。 具体来说，主要有以下的一些结果:1.求出了水平集的Hausdorff维数: 丫妊RN，有dim(tE〔o，1〕:X(t)二u)=max(o，1一答)·a·s·2.得到了紧集上水平集的一个性质: 设N二1，了=[o，l]，EcT为紧集，o。百，如果dimE<合， 则丫。。R，有:x一‘(u)nE二每.a.s.3.求出了紧集上水平集的Hausdorff维数的最佳上界:vu oR“，有 dim(X一，(u)门E)丛max(0，dimE一告N)·a·S· 其中T二[0，1]，E二T为紧集，ooE，dimE，合4.求出了水平集的Packing维数: 丫u 0 RN，有Dim(t任[o，1〕:X(t)=u)=max(O，1一答).a.5.5.求出了逆像集的Hausdorff维数: 丫紧集F二尺N，有dim(t任〔O，1」:X(t)任F)=max(o，l一合N+合dimF)·6.求出了逆像集的Packing维数: 丫紧集F二尺N，有Dim(tE[0，1]:X(t)任F)=max(o，l一晋N+专DimF)· 其中dim(E)，Dim(E)分别为E的Hausdorff维数和Pa。king维数.
朱经纬[2]2010年在《扩散过程样本的逆像集与水平集的Fractal性质》文中指出借助Brown运动的方法,讨论了N维非退化扩散过程样本逆象集与水平集的一些分形性质,得到了类似于Brown运动的结果.
参考文献：
[1]. N-维非退化扩散过程样本的逆像集与水平集的分形性质[D]. 熊雄. 湖南师范大学. 2003
[2]. 扩散过程样本的逆像集与水平集的Fractal性质[J]. 朱经纬. 湖南工程学院学报(自然科学版). 2010