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〔中图分类号〕B0 〔文献标识码〕A 〔文章编号〕-9(2001)01-0012-05
弗协调逻辑(paraconsistent logic)，又译作“次协调逻辑”、“超协调逻辑”，是非经典逻辑的一个新兴分支。它是一种不能从矛盾推出一切的逻辑理论。巴西逻辑学家达·科斯塔(N.C.A.da Costa,1929—)在《不协调系统的命题演算》”(1963)和《不协调系统的理论》(1974)两篇论文中构造了弗协调命题演算系统C[,n]、弗协调谓词演算系统C[*,n]（不带等词）和C[=,n]（带等词）及弗协调的摹状词演算系统D[,n]，从而开创了弗协调逻辑。“弗协调逻辑”(paraconsistent logic)一词是由秘鲁哲学家奎萨达(Quesada)在1976年的国际逻辑会议上首次提出的，它表示在这种逻辑中，当矛盾律被剥削、不再普遍有效性之后，仍能保持一种稍弱的协调性。由于这一词更恰当地表达了科斯塔创立的“非协调形式系统”的本质特征，所以很快得到逻辑学界的认可，从此为大家所使用。与经典逻辑相比弗协调逻辑有以下两个特点：1、矛盾律在其中不普遍有效；2、在其中从相互矛盾的两个前提推不出一切公式。但是另一方面，在保证了上述两点的前提下它又包含了经典逻辑中最重要的定理模式和规则。弗协调逻辑适合作为经典逻辑所无法处理的弗协调理论的基础。自科斯塔创立弗协调逻辑之后，许多逻辑学家开始沿着科斯塔的系统做更为深入的研究，并将它应用于其他非经典逻辑，结果得到了许多全新的逻辑系统，比如弗协调模态逻辑、弗协调时态逻辑和弗协调道义逻辑等。弗协调逻辑在数学和计算机科学方面也有一定的应用价值。今天弗协调逻辑已成为一个比较发达的逻辑学分支，尤其在澳大利亚、巴西、保加利亚、意大利和波兰等国。本文拟对这一新兴的逻辑学分支从其产生到比较成熟的逻辑系统再到它对其他逻辑学分支的应用作一介绍。
一、弗协调逻辑的产生
（一）产生的背景
在西方，19世纪中叶以前以亚里士多德的词项逻辑和斯多葛学派的命题逻辑这两部分为基本内容的传统逻辑一直占据着统治地位，成为当时人们所承认的唯一的逻辑。19世纪后半叶，德国数学家弗雷格(G.Frege,1848-1925)由于研究数学基础的需要进而探讨逻辑问题，他想从逻辑推出整个算术乃至全部数学。为了保证推理的精确性，他发明了表意的符号语言“概念语言”。1879年他写成了《概念文字》一书，在书中他表述了第一个具有现代形式的命题演算公理系统，随后又进行扩充获得了谓词演算系统，现代逻辑就这样诞生了。命题演算和谓词演算构成了经典逻辑，也称之为一阶逻辑，它很快就取代了传统逻辑的统治地位。在随后的几十年里，经典逻辑获得了突飞猛进的发展，繁衍分化出四个分支，即通常所说的“四论”——公理集合论、模型论、递归论和证明论。现在人们将一阶逻辑和这“四论”合起来称为数理逻辑，一阶逻辑是数理逻辑的基础部分，也是哲学逻辑的理论基础。在20世纪前半叶，“四论”取得了重大的理论研究成果。特别值得一提的是哥德尔(
,1906-1978)。他在《逻辑函数演算公理系统的完全性》(1930)中证明了在可数的情况下一阶谓词演算的完全性，被称为哥德尔完全性定理。亨金(Henkin)在1949年用常量方法将哥德尔的这一结果推广到任意基数的情况。1931年哥德尔又写成论文《论＜数学原理＞和有关系统中的形式不可判定命题》，证明了一阶理论的不完全性，即一阶形式算术理论PA是不完全的，也即存在一个算术语句A，A和～A在PA中都不可证。这被称为哥德尔第一不完全性定理；不久他在此基础上又获得了一个重要推论即哥德尔第二不完全性定理：如果PA是一致的，那么PA的一致性不能在PA内部证明。这些结论都是具有里程碑意义的，影响重大而深远。还有一些重要的证明方法如亨金集，常量方法等也是在后来的逻辑理论证明中广为采用。在模型论中有LST定理、紧致性定理等；公理集合论中的对连续统假设的研究所取得的一些重要结果，还有罗宾逊(A.Robinson,1918-1974)将模型论用于数学分析产生了一门新的分析学——非标准分析；递归论中对“算法”概念的精确定义及对递归函数研究所取得的若干成果，等等。可以说经典逻辑从其初创到本世纪50年代左右是它的黄金时期，但是在这以后经典逻辑却处于相对停滞的状态，而非经典逻辑的发展势头却越来越猛，在国际上成为逻辑学的研究热门。
非经典逻辑是相对于经典逻辑而言的，它包含的逻辑分支极广，弗协调逻辑也属其中的一种。其他的比如1907年布劳维尔(Brouwer,1881-1966)创立的直觉主义逻辑；1911年刘易斯(C.I.Lewis,1883-1964)开创的模态逻辑；1920年波兰逻辑学家卢卡西维茨(Takasiewicz,1878-1956)建立的多值逻辑；60年代前后安德森(A.R.Anderosn)和贝尔纳普(N.D.Belnap)开创的相干与衍推逻辑等等。克里普克(S.Kripke,1943-)在50年代末创建的可能世界语义学可以说开创了非经典逻辑的一个崭新的里程碑，由于它的直观性强和移植性强等特点，极大地推动了非经典逻辑的发展，此后非经典逻辑可以说是蓬勃发展，方兴未艾，弗协调逻辑就是在这一背景下创立的。
（二）产生的理论动力及思想来源
1、它是对经典逻辑的挑战
在传统逻辑中有三条基本规律：同一律、排中律和矛盾律，经典逻辑也有这三条定理。荷兰数学家布劳维尔首先否认排中律的普遍有效性。在直觉主义者看来“存在必须被构造”，他们只承认潜无穷，反对实无穷。排中律是从有限的事物中概括出来的。对涉及有限个事物的命题，我们可以对这有限个事物逐个进行检验从而可以判定该命题是真还是假，这时排中律是有效的。但是对涉及无限多个事物组成的命题，人们一般不可能再这样逐个进行检验，此时排中律就不再是有效的。比如π是一个无限不循环的小数，命题A为“将π写成小数形式3.141592……会有十个连续的7出现”。如果我们到现在还没有证实A，但也无法否证A，那么在直觉主义者看来我们就不能认为A∨～A成立。据此他在1907年建立了直觉主义逻辑。
而现在人们又对矛盾律的普遍有效性表示怀疑。据卢卡西维茨的研究，亚里士多德曾设想过矛盾律不普遍有效性的情况，而卢卡西维茨本人联想到几何学中的平行公理，认为对平行公理的否定可以得到非欧几何学，而对矛盾律的否定也应能得到一种不同于现有逻辑的另外一种逻辑。
2、数学和逻辑学中的不协调但有意义的问题
在早期的微积分理论中包含有无穷小悖论（有时将无穷小看作零，有时又将无穷小看作非零），在集合论的早期形态，即朴素集合论中含有罗素悖论（以X表示所有不是自身分子的类（即
）构成的类，这时问X是否属于X即导出悖论）等等，尽管这些理论中含有悖论，是不协调的，但这些理论本身仍是有价值的，有意义的。
在伦理学中，道义二难是一个很重要的课题，因为现实生活中大量存在这样的现象：一件事从一个角度，比如按一种行为准则来说是应当的；但从另外一种行为准则来看又是禁止的，形式地讲就是OA∧O～A。但是在传统的道义逻辑系统中是不允许有道义二难的，因为在这些系统中都有这样一条定理：OA∧O～A→OB。也即一旦出现道义二难，那么任意一件事都将是应当的，即道义扩散了。这显然不符合人们的常识。这一难题一直困扰着道义逻辑。怎样使得一个系统能容纳这样一种道义二难，不导致道义扩散呢？这是一个非常有意义的问题。
3、对物理学和社会科学中不协调但有意义的理论问题的探讨
自然科学中除了数学外，物理学中也存在着不协调的理论。在物理学中，根据玻尔的原子理论，一个电子能绕原子核运行而没有放射能量；但根据麦克斯韦的等式，一个沿轨道运行的电子是一定释放能量的。但玻尔的原子理论仍是有意义的。怎样看待这个现象呢？很显然经典逻辑不能作为解释这两个理论并存的逻辑基础。还有物理光学中的波粒二象性，等等。一些逻辑学家便对这些问题进行思考，希望为这些理论寻找到合适的逻辑基础。
辩证法的矛盾理论也可以看作是弗协调逻辑的思想来源。意大利人马可尼(Marconi)在博士论文《矛盾与黑格尔辩证法的语言：逻辑学研究》一文中对黑格尔的辩证理论进行了逻辑分析，他阐明了黑格尔的逻辑是一种非协调理论，并试图指出黑格尔的行文如何导致矛盾。而弗协调逻辑的创始人科斯塔与人合作，共同研究了对立统一原理，并由此建立了一个系统，在他们所建立的系统中，对立统一原理可以被形式化。
（三）产生的过程
刚才我们说到最早卢卡西维茨就曾设想矛盾律不普遍有效的情况可能会导致产生一种新的逻辑。但他本人并没有做实际具体的工作。
第一个做这个尝试的是俄国的瓦西里耶夫(A·Vasil'ev,1880-1940)，在《想象逻辑——非亚氏逻辑》(1912)和《逻辑与元逻辑》(1913)中他把他的非亚氏逻辑概念的思想扩展为想象逻辑。他认为，任何一种逻辑系统都是由两部分组成：(1)元逻辑，包含无法消除的思维规律，缺乏其中任何规律的系统都不能称其为真正的逻辑。(2)逻辑的本体论基础，包括依赖我们所思考的客体的特征的规律。在瓦西里耶夫看来，元逻辑是“第一逻辑”，先于任何逻辑；此外，元逻辑只是一种质的逻辑，即肯定逻辑，是“一维”的逻辑。亚里士多德的逻辑是“二维”的逻辑，因为它有肯定和否定两种质的判断。通过亚里士多德的逻辑我们能建立假想的“三维”逻辑，方法是通过增加第三个质，比如说“中立的判断——S是P又不是P”。“想象逻辑”这一词来源于瓦西里耶夫不相信矛盾会存在于我们真实的世界，他认为，矛盾只存在于我们心灵创造的可能世界中。在他看来，从理论上讲，n维逻辑有可能通过加入第n+1个质的判断构造出n+1维的逻辑。
除了瓦西里耶夫外，雅斯可夫斯基(Ja'skowski,1906-1965)根据他的老师卢卡西维茨的建议做了构造弗协调逻辑的工作。他构造了一种逻辑，他称之为“会谈逻辑”，“会谈逻辑”一词来源于雅斯可夫斯基的如下设想：几个人在一起参加会谈，讨论中每人处于各自不同的立场，结果对所讨论的论题很难形成真正统一的意见。这样的命题被结合成推理系统，那么其结果不反映一个一致的观点。他构造会谈逻辑的主要过程是：(1)包含矛盾的理论的系统化的问题，如辩证法中出现的矛盾；(2)研究由于含糊不清导致矛盾的理论；(3)直接研究某些其前提或基本假设是矛盾的经验理论。他提出应当建立“矛盾系统——包含正反两个相互矛盾的命题的系统”的设想。他对所构造的系统的要求有以下几点：(1)当把它应用于一个不协调的理论时，不会导致所有的句子都是定理。(2)它对实际推理必须足够的丰富。(3)必须具有直觉上的正当性。可见雅斯可夫斯基已经有了现代弗协调逻辑的观念了。
瓦西里耶夫和雅斯可夫斯基所构造的逻辑并没有为大家所接受，真正开创弗协调逻辑的是巴西逻辑学家达·科斯塔。下面我们就来介绍他创立的弗协调命题演算系统C[,n]。
二、弗协调命题逻辑系统介绍
我们现在来介绍科斯塔等人创立的一系列弗协调命题逻辑系统C[,n](1≤n≤ω)。
2.1 C[,n]的形成规则
弗协调命题逻辑系统C[,n](1≤n≤ω)的语言L[p]的符号分成三类：
第一类包括可数无穷多个命题变元符号：
P[,0],P[,1],P[,2],…,P[,m],…（m为自然数）
第二类包括四个联结符号：
另外，我们约定：
(1)一公式最外层的括号可以省略，
(2)采用左结合约定，即对于同一个联结词的多个出现，最左面的那个出现的辖域最小。例如：
C[,n]的推理规则：
R[,1]（→消去法则）：从α和α→β可推出β。
C[,ω]是由上面的(1)至(10)十条公理模式和R[,1]组成。由C[,ω]的构成可看出，C[,ω]是C[,n](1≤n≤ω)这一系列逻辑系统中最弱的一个，在C[,ω]中成立的内定理及对C[,ω]成立的元定理对其他系统来说也是成立的。
定理、证明等概念完全可用经典逻辑中的方法来定义，在此不再赘述。
下面再简要介绍一下C[,n]的语义。
一个赋值V就是从Form(L[,p])到集合｛0,1｝上的一个函数，并满足下列条件：
接着我们可以用经典逻辑中通常所用的方法来定义模型、有效性等概念，然后可证得C[,n]的可靠性和完全性，具体过程从略。同时C[,n]还是可判定的。有兴趣的读者可参阅《哲学逻辑研究》（张清宇等著，社会科学文献出版社1997年版）第8章第1节。
三、弗协调模态逻辑系统介绍
在C[,n]的基础上进行扩充可得到弗协调模态命题逻辑系统C[,n]G'。扩充方法如下：首先在C[,n]的语言中添加一个必然算子□；然后将C[,n]公式定义的(2)改为：
接着我们又可以类似于普通的模态逻辑中的定义来给出模型、有效性等概念。我们同样可以证得C[,n]G'对于G'标架的可靠性和完全性，请参阅《哲学逻辑研究》第8章第2节。
本人在C[,n]G'的基础上添加一个命题常元Q，并增加◇Q和Q[(n)]作为两条公理得到弗协调模态命题逻辑系统C[D,n]G'，然后我们借助下面三个定义可以把道义逻辑归约为弗协调真值模态逻辑：
一个框架是Opt-延续的框架当且仅当该框架满足条件：对W中的任一元素w都在Opt中存在一w'使得wRw'。一个框架是一G'框架当且仅当该框架满足条件：如果w[,1]R[j]w[,2]并且w[,1]R[1]w[,3]，那么W中有一w[,4]满足w[,2]R[k]w[,4]并且w[,3]R[m]w[,4]，其中j,k,l,m∈ω。如果一个框架既是Opt-延续的框架又是G'框架，我们就称之为G'Opt-延续的框架。
框架上的赋值V的定义类似标架上的赋值定义，只是要增加以下两个条件：
(9)V(Q,w)=1当且仅当w∈Opt
(10)V(Q[(n)],w)=1
模型、有效性等概念也类似普通的模态逻辑中的定义。
我们可以证明C[D,n]G'对于G'Opt-延续的框架既是可靠的又是完全的，限于篇幅及由于技术过于复杂，详细证明过程在此从略。
根据C[,n]的可判定性我们易证
不是C[D,n]G'的定理，所以C[D,n]G'能容忍道义二难。C[D,n]G'的另一个突出的特点是它避免了善良的撒玛利亚人悖论。因为体现该悖论的公式Fα∧□（β→α）→Fβ不是C[D,n]G'的定理。对善良的撒玛利亚人悖论的详细论述请参阅《西南师大学报》2001年第2期拙作《论道义逻辑系统的归约及其相关问题》。由于C[D,n]G'的这个特点笔者认为《论道义逻辑系统的归约及其相关问题》一文中所得出的“道义逻辑不能归约为真值模态逻辑”的结论过强，应减弱为“道义逻辑不能归约为协调的真值模态逻辑”。
〔收稿日期〕2001-03-06