让“过程与方法”的目标回归数学的真理--以“任意角度”教学设计为例_数学论文

让“过程与方法”目标回归数学本真——以“任意角”的教学设计为例，本文主要内容关键词为：本真论文,为例论文,教学设计论文,目标论文,过程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、问题的提出与思考

      《普通高中数学课程标准（实验）》（下称《课标》）指出，高中数学课程的总目标是让学生“理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法”“通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程”.为此，《课标》明确提出了“知识与能力”“过程与方法”“情感、态度与价值观”的三维目标.那么，什么是“过程与方法”目标？如何来确定？教学过程中怎样实施才能真正回归到数学的本真呢？

      建构主义认为：“过程”是指让学生经历知识与技能的形成过程，是一个数学感知、表征、抽象、概括、推理、记忆等认知活动的过程；“方法”是指学生掌握各类知识与技能的学习方式与策略.“过程与方法”目标是指学生通过获得“知识与技能”的经历，形成从这些经历中抽象或概括的更有统摄力的思维程序与思维方法，是学生自主学习的经历和体验、思维方式的变化和发展.

      下面以笔者参加江苏省南通市优课评比时对“任意角”的教学为例，谈对“过程与方法”目标课程设计的一些认识，以求教于同行.

      二、任意角的教学设计

      1.认知基础的分析

      知识基础分析：在小学和初中学生已学过角的概念、度量及角的和差倍分等相关知识，这些知识是进一步研究角的基础，也是对任意角进行探索的生长点和固着点；学生之前对角的认识仅限于0°～360°，而现实中一些超过这一范围的角的实例，与学生已有的认知发生冲突，引发学生进一步探究的兴趣.

      认知水平分析：学生已经经历过两次数集范围的扩大：负数的引入使数的范围扩大到有理数集；无理数的引入使数的范围扩大到实数集.这些经历不仅让学生对角的范围扩大产生认同感，而且为角扩大到任意角提供了可以类比的参照物.

      2.教材内容的解读

      “任意角”是《数学4》（必修）第一章的起始课，学生对角的学习已经历了很长时间，对角的概念及有关性质有较充分的认识，但仅限于在平面几何中应用.高中数学中的角除了应用于平面几何外，还可以用任意角的三角函数刻画现实生活中的周期现象，解决许多实际问题，所以我们要把角作为单独的研究对象，形成高中数学的重要模块“三角函数”.因此，“任意角”是学生进入高中学习三角函数的第一课，是深入学习三角函数的基础和关键.

      3.教学目标的确定

      知识与技能目标：

      （1）了解任意角的概念，会用集合来描述具有相同终边的所有角；

      （2）建立恰当的直角坐标系，理解象限角并会判断是第几象限角.

      过程与方法目标：

      （1）通过具体实例体会引入任意角概念的必要性，进一步理解数学在实际生活中的意义和价值，增强学生对变量数学和坐标法的认识；

      （2）体验问题探究的过程，认识数学知识间的内在联系，培养学生类比、归纳、等价转化等数学方法.

      4.目标达成的途径

      数学学习是一种导向性的认知行为.本节课以“过程与方法”目标为抓手，将知识与技能目标的达成蕴涵于知识学习的过程中，引导学生用数学的眼光去看世界，用数学思维方法去思考问题，促进学生认知能力的进一步发展.

      通过钟表上分针的校准、体操运动员的旋转动作等情境设置进行表征，让学生亲身感受外部世界的本真变化，认识到已有角的概念已无法描述现实生活中的现象，产生认知冲突，诱发学生自己提出问题，运用类比思想方法拟定解决问题的思路.通过合作交流、探讨质疑形成解决方案，逐步完善“任意角”的概念.在经历概念形成的过程中，培养学生独立思考、大胆探索的学习方法，增强数学交流与合作能力、倾听与表达能力.

      三、任意角的教学过程

      1.回顾链接，创设情境

      情境1 思考并回答下列问题：初中我们是怎样定义和表示角的？在旋转形成角的过程中，已出现了哪几种角？试用一个不等式来刻画所学过角的取值范围.

      设计意图：复习已学过角的概念，唤起学生对角的回忆，为下一步展示现实中的一些新现象、新问题，引发学生认知冲突，为角的范围扩大做好铺垫，体现学习过程中的基础性.

      情境2 动手实验操作（让学生在课前发放的印有两个标好时刻的钟表纸上动手画图）：假如你的手表慢了5分钟，你怎样将它校准？假如你的手表快了1小时30分钟，你如何将它校准？这个过程中分针各转了多少度？

      提出问题：在这个操作中的有关角，和我们以前学过的角有哪些不同的地方？

      设计意图：让学生动手演示，亲历旋转形成角的过程，讨论并发现问题、提出问题，以此激发学生主动探索的欲望，体现学习过程中的探究性.

      情境3 实际生活中，我们还会遇到许多这样的情境：如体操运动员作向内转体两周半、向外转体三周的动作，齿轮的传动，拧动螺丝的扳手等.从上面这些现象，你发现了哪些问题，能给出它的数学表征吗？

      设计意图：呈现与学生原有认知冲突的新情境，引导学生从中提炼出数学问题，引出本节课题——任意角.学生能够从现实情境或数学学习过程中自己提出问题，有时比解决问题显得更有意义，主动提出问题激励着学生探究未知，体现了学习过程中的主动性.

      教学体会：课堂设计只有基于特定的学习内容和目标，有侧重点地设计教学活动，才能使课堂变得简洁高效.数学本真教学力求在平淡简约、自然合理的学习过程中实现高阶认知目标的达成.因此，课题的引入要以学生已有的知识为起点，朴素地追问现实中的数学问题，探究过程要重点突出学生“经历了什么、体验了什么、感受了什么”，自然地逼近数学本质，以此让学生经历从获得知识到拥有智慧的过程.

      2.本真探究，建构数学

      新知探究1 角的概念的推广.

      问题1：为了能够描述上面这些实例中的现象，我们应该如何定义角？谈谈你的看法.

      问题2：阅读教材并思考，为区分角两种不同的旋转方向，教材是怎样规定的？如果一条射线没有作任何转动，它能表示一个角吗？

      问题3：如何定义任意角的概念？

      设计意图：通过阅读、讨论、思考，使学生认识到角的范围要扩大到任意大，不仅要考虑旋转方向，还要考虑旋转量，上述两方面的规定对刻画任意角缺一不可，体现了学习目标的导向性.

      问题4：你认为图1中的两个角相等吗？说明理由.

      

      问题5：用扳手拧松和拧紧螺丝时，是按相反方向旋转的，你认为逆时针旋转过600°的角和顺时针旋转过600°的角是否相等？

      设计意图：旋转定义任意角的两个关键之处是旋转方向和旋转量.如果仅由教师讲授、强调，学生被动接受这些要素，不能真正理解概念的本质，只有让学生亲身经历过程，才能将新学习的角的概念真正融入学生的原有认知结构中，建构新的认知体系，体现了学习过程中的思辨性.

      动手操作：对于α=210°、β=-150°、y=-660°，你能作图来表示这些角吗？请总结作图的步骤.

      设计意图：通过作图操作，进一步理解任意角的概念，同时又感知没有统一标准时，角表示的不便，体会引入象限角的必要性.为了落实过程与方法的目标，需要在知识与技能目标的落实上，适当淡化识记，强化过程探索，强化方法体验，体现了学习方法中的体验性.

      教学体会：让思维从问题开始，思维活动又形成新的问题，这种递进式的设问过程，为学生的主动学习搭起了支架，组织学生自主探究，合作讨论，展示交流，让学生在学习活动中领悟数学变换的魅力，体验知识的生成过程.这个过程中既有学生的独立思考，又有相互协作，既有合情的方法，又有合理的质疑，知识在对话中清晰而深入，方法在辨析中锤炼而升华.

      新知探究2 象限角和轴线角.

      问题6：要把角放到平面直角坐标系中，如何放置既简单又合理？放置后，对任意一个角，终边有可能落在哪些位置？

      动手操作：在平面直角坐标系中，作出下列角，并注明分别是第几象限的角.

      （1）-50°；（2）210°；（3）405°；（4）-450°.

      设计意图：由于角的范围扩大到任意角，如何用简单合理的图形来表示，让学生自己动手画图体会，学生之间交流讨论心得，体会把角放到直角坐标系内给研究角带来的方便和好处.通过学生自主探究，这样得到的结论更有意义，体现了学习过程的理解性.

      新知探究3 终边相同的角.

      问题7：（1）在直角坐标系中作出30°、-330°、390°的角，并找出它们的共同点；

      （2）与30°角的终边相同的角有多少个？这些角与30°角在数量上相差了多少？

      问题8：所有与30°的角终边相同的角连同角30°在内，可构成一个集合S，你能用描述法来表示集合S吗？

      问题9：如何用集合表示与α角终边相同的角？

      设计意图：终边相同的角的关系及其表示是本节课的难点，为突破这一难点，设置由易到难、从特殊到一般的问题串，引导学生由几何位置探讨其代数特征的“统一”，经历探索过程，这样得到的知识与技能更加牢固，理解更加深刻，体现了学习过程的拓展性.

      教学体会：数学本真教学的重要标志就是让学生的学习及时内化，方法有效提升.在理清数学知识的发生、发展过程和学生的思维过程后，教师要更多地借助于数学知识的载体，传授给学生思考问题的方法和角度，让学生能够亲身体验知识的学习，将其所要掌握的内容自己悟出来，在学生的大脑中进行知识的再创造，做到真正意义上的“以生为本”.

      3.数学应用，巩固新知

      例1 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限的角.

      （1）650°；（2）-150°；（3）-990°15’.

      例2 已知α与240°角的终边相同，试探究

是第几象限角？2α是第几象限角？

      设计意图：通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角，体现了学习过程的应用性.

      4.本真反馈，效果评价

      练习1：若α是第四象限角，试分别确定-α，180°+α，180°-α是第几象限角.

      练习2：写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-360°＜α≤360°的元素α写出来：

      （1）60°；（2）-75°；（3）-540°.

      设计意图：通过练习，掌握象限角的判断、终边相同的角的表示方法.

      5.回顾反思，归纳提炼

      师生共同回顾本节课的学习过程，归纳如下：

      （1）知识结构.任意角（正角、负角、零角）

象限角（终边所在的象限）

与角α终边相同的角的集合S=｛β｜β=α+k·360°，k∈Z｝.

      （2）思想方法.数形结合：静态向动态扩充，形成任意角；化归：形成终边相同角的集合；分类讨论：由k的不同取值确定第几象限角.

      （3）探究途径.阅读材料、独立思考、动手操作、合作探究.

      教学体会：在目标达成的过程中，解题教学是数学教学的重要形式，一方面，它是巩固、提高、掌握数学知识和基本技能的重要手段；另一方面，它又是发展学生思维能力、开发智力的重要途径.解题过程中，突出解题方法产生的思维过程，先明晰目标，再在观察、联想、比较等活动中实现问题的解决.罗增儒教授将数学解题的思维历程概括为：浮现数学表象；产生数学直觉；展开数学想象；给出推理运算；反思解题过程.这是对解题过程最精辟的概述.

      四、回归数学本真

      1.重视过程与方法目标，提升学生认知能力

      《课标》中的目标要求包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面，这“三维”教学目标之间的关系是有机统一、协调发展的.其中，过程与方法的目标更是三者之间的“抓手”，它承上启下，一方面承载着知识与技能的具体落实，另一方面，又促进了学生认知能力的发展.作为新课程标准的一项重大改革，就是变“追求学习的结果”为“强调学习的过程”.诚然，教学的重要目标之一就是完成知识技能目标，但是，如果学生不经过一系列的质疑、判断、比较、选择，以及相应的分析、综合、概括等认知活动，没有多种观点的碰撞、论争和比较，数学知识就难以获得，也难以真正理解和巩固.更重要的是，没有以多样性、丰富性为前提的教学过程，学生的创新精神和创新思维就不可能培养起来.因此，知识不应该成为数学课堂的最终目标，让学生在自我发现、自主探究、动手实践、合作交流的过程中感受知识和方法，通过探究知识的发生发展过程，增强学生的认知力，这才是数学课堂教学的最终目标.

      2.重视亲历与体验探究，凸显数学本真之源

      数学教学本真之源就是尊重客观，以人为本，教人求真，这里的“本”是本源的本，是指以学生的发展为本，这里的“真”是指真实的真，是让学生真切的经历和体验.《课标》利用“经历（感受）、体验（体会）、探究”等行为动词，概括了落实过程与方法目标的一条必要途径.所谓经历，即通过一定的数学活动，取得一些初步的经验或感受；所谓体验，即在参与数学活动的过程中，初步认识对象的特征，领悟方法，积累经验；所谓探究，即主动参与特定的数学活动，通过观察、实验、推理等过程发现对象的某些数学特征.经历、体验是探究的初级阶段，由经历、体验到探究，是实践、认识、再实践、再认识层层递进的过程，正是在这样的循序渐进、滚动发展、日积月累的探索过程中，学生的知识水平、思维能力、情感态度与价值观得到了全面的发展和提高.因此，数学本真教学的过程既是暴露学生产生各种疑问、困难、障碍和矛盾的过程，更是学生亲历和体验问题解决的过程、学生探究知识的过程、学生展示聪明才智及形成个性与创新成果的过程.

      在课堂教学中，“过程与方法”目标这一核心问题常被忽略，我们有必要对它的要义进行重新审视，确立其“灵魂”地位，并深入理解，创造性地掌握确定这一教学目标的相关技术.当我们真正能够学会掌握确定教学目标的专业技术，学会用“目标意识”思考问题并开展教学活动的时候，数学教学就会发生一场静悄悄的“革命”，数学课堂就会生机盎然，就能回归数学本真！

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