技术与学科的整合：从可行到有效的研究性学习--“三角函数叠加”的教学实践与评价_特殊三角函数论文

技术与课题相融：让研究性学习从可行到高效——《三角函数的叠加》教学实践与评析，本文主要内容关键词为：高效论文,函数论文,课题论文,研究性学习论文,教学实践论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      【教学实践】

      在江苏省教育学会中学数学教学专业委员会2015年学术年会上，笔者借助几何画板和平板电脑，开设了一节研究性学习课：《三角函数的叠加》.

      一、教学思考

      苏教版高中数学教材必修4《三角函数》一章，在研究了函数y=sinx，y=cosx的图象和基本性质后，从图形变换的角度进一步研究了更复杂、更一般化的函数y=Asin（x+φ）的图象，并由此得到这一函数的基本性质；然后，便结合案例介绍了函数y=Asin（ωx+φ）的应用价值.但是，在教学的过程中，笔者发现，在沿着这一线索学习与思考时，很多学生自然地想到并希望研究由y=Asin（ωx+φ）构成、比y=Asin（ωx+φ）复杂的函数的图象与性质，并认识它们的价值.

      鉴于新课程倡导“研究性学习”和“用教材教”，笔者便思考此处有没有合适的教学内容和相应的教学价值.看到教材的“Excel”和“阅读”栏目中提到的关于“三角函数的叠加”的内容后，笔者获得了教学的灵感.研究“三角函数的叠加”是研究“y=Asin（ωx+φ）的图象与性质”的自然延伸.这一内容有一定的复杂性，对高中生而言，难以得到一般性较强的确定结论，更不用说进行严密的推理论证.但是，借助几何画板，从特殊情况、从图象入手进行研究，还是可以让学生一窥其中的奥秘，获得知识的收获，更重要的是，可以渗透类比、归纳等合情推理的方法以及简化、转化、摸索、尝试、猜想、求证等科学探究的思路.

      于是，笔者拟定了如下教学内容与目标：（1）以g（x）=sinAx+cosBx为例，借助几何画板和平板电脑，画出三角函数叠加后的图象，观察、分析其周期性、最值等；（2）运用类比推理和归纳推理等思维方式，获得“三角函数的叠加”的研究方法和结论猜想，并尝试探究其数学原理；（3）了解“三角函数的叠加”背后的数学文化，激发学习兴趣，获得价值认识.

      二、教学过程

      （一）提出问题

      

      生 y=sinx+cosx？

      师 是的.但它过于特殊，而且可以化为y=Asin（ωx+φ）的形式.那么，你觉得怎样的两个三角函数叠加，既比较一般化，又参数不过多，而且不能化为y=Asin（ωx+φ）+B的形式？

      （学生思考、讨论.）

      生 应该给y=sinx+cosx中的两个三角函数加上不一样的周期参数.

      （教师课件出示本课任务：研究函数g（x）=sinAx+cosBx的性质.）

      师 注意A≠B，AB≠0.

      [设计意图：从熟悉的三角函数谈起，自然地引出本课研究的内容.同时，不贪多求快，只研究两个关键参数对函数性质的影响，从而把复杂问题简单化、特殊化，找到研究的入手点，体现从简单到复杂、从特殊到一般的研究问题的数学思维方式.]

      （二）制订方案

      （教师课件出示问题1：你打算如何研究函数g（x）=sinAx+cosBx的性质呢？）

      师 不方便利用公式化为y=Asin（ωx+φ）+B的形式了，怎么办？我们之前研究函数的一般方法是什么？

      生 画出图象，观察和分析特征，验证和证明性质.

      师 没错！不能转化为熟悉的函数，就只能老老实实地从头开始研究.画函数图象的一般过程是什么？

      生 列表、描点、连线.

      师 是的.不过，该函数比较复杂，这里我们必须借助于几何画板来处理.

      （教师课件出示问题2：该函数中含有两个参数，你准备怎样处理？）

      师 用计算机来画图，一样有列表、描点、连线的过程，一样要计算出一系列对应值.可是这里却有讨厌的不确定的参变量，怎么办？

      生 对两个参数选择几组特殊值代入.

      师 很好！我们研究指数函数和对数函数的时候就是这么做的.研究函数的一般方法还包括：从特殊函数入手得到结论，尝试一般化.

      生 保持一个参数不变，另一个参数变化.

      师 不错.你懂得充分利用几何画板的功能和优势——让图象动起来.那么，你觉得如何选取参数的特殊值，容易发现该函数的一般性质？

      生 在一定的区间内连续地取值.

      生 在正整数范围内取值.

      师 都是不错的方法.不过，具体结果如何，可能要尝试了才知道.

      （教师课件出示问题3：有了函数图象之后，类比以前的研究经验，你会观察该函数哪些方面的性质呢？）

      生 研究一般函数的性质，如三要素、最值、单调性、奇偶性、周期性等.

      师 这些就是我们前面学习过的函数的主要性质.不过，能否全部地研究这些性质，还要看函数的图象到底是什么样子的.

      [设计意图：在学生进行研究活动之前，要制订好研究方案，即引导学生思考研究的方法和目标.当然，这样做不仅为本课研究“三角函数的叠加”，还为以后研究其他函数，揭示了研究的一般过程及方法，提供了类比推理的范例.]

      （三）“实验”猜想

      师 明确了学习任务和研究方法后，请大家开始在平板电脑上作图观察，提出猜想.在活动中，每位同学都要先独立思考，再小组讨论；然后，每组选择一位代表汇报成果，其他同学协助操作软件.

      （学生利用平板电脑操作、观察，并汇报成果.教师借助网络平台，直接选取、展示学生所作的图象——部分图象如图1、2所示.通过教师的引导和全班的讨论，对于函数g（x）=sinAx+cosBx的性质，学生达成共识：（1）定义域为R；（2）值域是[-2，2]的子集；（3）单调性情况较为复杂；（4）是非奇非偶函数；（5）一般具有周期性，但不能肯定.）

      

      师 我们观察和分析了不少函数的图象，并总结出了一些较为明显的性质.对于上述结论，同学们有什么进一步的感受和思考？能不能将结论明确化？怎么发现更多的结论？

      生 我们发现，该函数的值域似乎总是[-2，2]的真子集.那么，该函数的值域能否就是[-2，2]呢？

      生 应该可以.只要使得两个函数的部分最大值、最小值点重合.

      师 你说的有一定道理.不过到底能否使得两个函数的部分最大值、最小值点重合，还需要具体地算一算.老师是觉得这一过程可能会比较麻烦.

      生 我们还发现，该函数似乎总是周期函数.那么，这个结论能一般化吗？两个周期函数加起来一定是周期函数吗？

      生 应该是的.两个函数周期的公倍数就是叠加函数的周期.

      师 你的思路挺好，但是，结论不怎么正确.比如，y=sinx+cosπx就没有周期.

      生 老师，我觉得该函数的图象与性质实在是太复杂了.

      师 老师也有同样的感觉.为了简化，我们可以只研究该函数的部分性质.你们想研究什么性质？

      生 对于三角函数，最好研究周期性.

      师 英雄所见略同.可是，函数本身还是有些复杂，图象特征不易发现，怎么办呢？

      生 特殊化，只研究A、B∈

的情况.

      （教师课件出示简化任务：当A、B∈

时，研究函数g（x）=sinAx+cosBx的周期性.）

      师 这次的研究应该简单了许多，同学们能得到什么样的结论呢？请大家再次作图观察，提出猜想；注意先合情推理，不着急演绎论证.

      

      [设计意图：只有通过操作、观察和归纳、猜想等活动，才能不断地聚焦学习任务，获得有价值的结论，这便是探究一发现的本义.在这个过程中，应注重让学生经历从特殊现象中提炼出一般规律的思考过程，学会归纳推理；同时，应注重顺应学生提出的各种想法，并逐一加以分析、举例与验证（肯定或否定），引导学生初步筛选、修正和优化结论.]

      （四）推理论证

      师 通过观察和分析，从图象中归纳出来的性质是否正确呢？

      生 不一定.

      师 那么，怎样才能说明结论一定正确或不正确呢？还能从什么角度说明？

      生 需要进行严格的推理论证.

      师 很好！这便是数学不同于自然科学的地方：数学也需要计算、操作、观察、类比、归纳，但更强调逻辑推理的严谨，讲究逻辑体系的自洽；而自然科学则是一个以实验和事实为基础的假说一演绎体系.以上，我们发现的结论比较多，如果都要证明的话，太费时间；而且有些结论比较明显，有些结论过于复杂.现在，请同学们对最后得到的关于周期性的结论进行证明.此外，考虑到字母表示的复杂性，我们仍然可以先通过特殊化的方法寻找证明思路.

      （教师课件出示问题：证明g（x）=sin2x+cosx的最小正周期是2π.教师先引导学生利用反证法完成本题，再引导学生引入字母参数，将本题一般化.）

      [设计意图：首先，揭示证明的意义和作用.其次，面对复杂多样的函数性质的证明，不苛求一下子解决所有问题，而选择一个小的切入口作为范例——为学生打开一扇窗户，让他们能看见窗外的风景，使他们有冲出去的欲望.]

      （五）小结拓展

      师 通过本节课的探究，我们对函数g（x）=sinAx+cosBx的图象与性质有了初步的感受和认识，虽然对很多结论还不能严格地推理论证，但通过提出猜想已经训练了我们的合情推理能力和创新思维能力.当然这还不是终点，请同学们课后继续研究其他参数对“三角函数的叠加”的影响.这里，先请同学们思考：我们怎么来研究这些新函数呢？

      （教师引导学生达成共识：还是可以先取特殊情况，画图观察；再进行一般化，提出猜想；最后从代数角度进行推理论证，还可以利用特殊化手段寻找思路.）

      [设计意图：由此及彼、举一反三地拓展研究的范围，扩大方法的价值和内涵.]

      （六）历史与应用

      师 今天我们研究了“三角函数的叠加”，但是这样的叠加有什么意义和作用呢？（课件简要展示傅立叶的生平与成就以及其对三角级数的研究）法国数学家傅立叶研究发现，几乎所有的周期函数都能用三角函数的叠加——当然通常是无穷个三角函数的叠加来表示.

      （学生阅读、感受.）

      师 （课件出示图3）这里给出了一些乐器的声波图象，如果我们能掌握恰当的解法，就可以找到若干三角函数进行叠加，以拟合声波函数，甚至发出声音.

      

      （教师引导学生利用几何画板绘制三角函数叠加后的图象，并播放其声音.）

      [设计意图：展示本课研究内容的历史与应用，给学生完整的“认知地图”，让学生“学以致用”，同时激发学生学习的兴趣，展示数学与新技术结合的魅力.]

      三、教学反思

      通过这节课的教学，笔者发现，要上好数学课，尤其是内容拓展的研究性学习课，需要特别注意以下三点.

      （一）教学主线：明线与暗线交相辉映

      数学教学要做到知识内容和思想方法（即明线与暗线）的渗透.没有了思想方法，知识内容的教学价值就得不到充分体现，学生的学习必然是低效的；没有了知识内容，思想方法就失去了教学载体，变得空洞乏味、难以理解.而对于内容拓展的研究性学习课，尤其要凸显思想方法的教学，否则，这样的“超纲”教学带给学生更多的可能是负担，而不是收获.

      本节课的明线是“三角函数的叠加”，它是教材内容的自然延伸.考虑到内容的复杂性、课时的限制性、形式的难以转化性以及周期的重要性，笔者选择了最简单的“两个只含周期参数的三角函数的叠加”g（x）=sinAx+cosBx作为主要的研究对象，而且，在初步感受该函数的各种性质后，重点研究该函数的周期性，并适当介绍这类函数的研究历史和应用价值.由此，帮助学生进一步完善知识结构，感受数学的魅力.

      本节课的暗线是合情推理等思考与研究的方法，主要是在与其他函数的类比迁移中，在由特殊函数图象到一般函数性质的归纳猜想中，发现和体会研究函数性质、解决函数问题（乃至其他数学内容）的一般程序和方法，比如提出问题、制订方案、合理简化、数形转化、实验尝试（操作、观察等实践活动）、合情猜想、验证证明等.由此，帮助学生强化之前研究基本三角函数的过程与方法，为研究其他复杂函数的图象与性质提供进一步的经验与借鉴.实际上，虽然教材为合情推理的方法安排了专门的章节，但是在其他内容的教学中不断渗透合情推理的方法，才是正确的教学方式.

      （二）教学手段：用信息技术助推

      我们身处技术变革的大时代，新的技术层出不穷，我们的教学方式也要应时而变.但是，技术不是万能的，数学教学应该把握住对数学本质的认识，以发展和提升学生的数学思维能力为前提，选择、融入适合的技术.

      由于本节课所研究的函数较为复杂，基于高一学生现有的知识，以“数”为主，通过计算、推理进行理性分析不太现实，所以，选择以“形”为主，通过作图、观察进行直观感受的研究方式.但是，面对这一复杂的函数，无论教师还是学生，手工计算、列表、描点、作图都是费时费力，乃至无法完成的，所以，选择几何画板来通过简单的操作，实现即时、动态的作图效果.也就是说，从技术的角度看，几何画板的使用，不仅使得这一内容的研究成为可能，而且使得本节课的教学变得高效.值得一提的是，几何画板强大的课件功能，使得本节课的课件呈现也实现了即时、动态和一体化的效果.

      综观本节课的各个环节，平板电脑以及网络和投影设备的使用，使得教学更加自由、灵活，凸显出学生的主体地位.平板电脑具有便携带、易普及的特点，使得教学的时空不受限制，活动的展开更加方便，学生的体验能够充分.网络和投影设备的互动与展示功能，也使得师生的交流和碰撞更加快捷、丰富.

      （三）教学细节：透彻研究内容，充分预设生成

      上课，尤其是上内容拓展的研究性学习课之前，教师一定要从细节入手，透彻研究内容，充分预设生成.只有这样，才能充分发挥教学价值，对学生进行正确引导.

      在本节课中，由于研究不透彻，预设不充分，笔者对演绎推理有所忽视，使得学生的思维产生了混乱，认识缺少了深度，也使得理性思考显得单薄.比如，当学生提出“该函数的值域能否是[-2，2]呢”的问题以及“只要使得两个函数的部分最大值、最小值点重合”的思路时，笔者因为觉得比较麻烦，而没有引导学生进一步计算.实际上，只要表示出两个函数取最值时的自变量，进而推出所得的一个四元方程没有整数解，就不难发现相应的值域不能是[-2，2].又如，当学生提出“两个周期函数加起来一定是周期函数吗”以及“两个函数周期的公倍数就是叠加函数的周期”的思路和结论时，笔者只是简单地举出反例y=sinx+cosπx，而没有引导学生进一步证明.实际上，通过反证法，可以证明函数y=sinx+cosπx不具有周期性.

      【教学评析】

      这节研究性学习课，给人最深的感受是，课题选择与技术应用的相得益彰以及对数学文化的生动宣扬和对数学魅力的有效彰显.具体表现在以下几个方面：

      一、挖掘教材选择课题，让研究性学习自然生长

      这节课的课题给人耳目一新的感觉，因为，它来源于苏教版高中数学必修4《三角函数》一章第3单元第3小节“函数y=Asin（ωx+φ）的图象”后的“链接内容”：（1）利用Excel作出三角函数叠加后的图象并研究其周期性的操作介绍；（2）介绍“三角函数的叠加”的历史和应用的阅读材料.教师将这两个素材进行了有机地整合，并借助几何画板深入地挖掘了这一内容的潜在教学价值.这充分地体现了教师对“研究性学习”和“用教材教”的认同与把握.

      针对这一内容，教师没有使用教材中提供的技术—Excel和普通计算机，而是另辟蹊径，借助于更新的技术——几何画板和平板电脑.这便使得作图的操作更加简便，效果更加生动，同时让学生能“人人拥有，随时随地”动手操作.由此，使得学生能更自由地思考、实践和发挥，更高效地参与研究，从而领会研究的方法，并获得真实的体验；也使得这节课非常具有挑战性和吸引力.

      二、结合教学应用技术，让学习成果丰硕、课堂交互高效

      从教学过程来看，这节课完整而结构化地呈现了研究函数性质（乃至其他数学内容）的步骤与方法：从旧知识到新问题，从简化到转化，从理清思路到动手实践，从独立探究到合作交流，从归纳猜想到验证证明，从总结到延伸，从具体知识到历史与应用，自然而规整，流畅又严谨.此外，问题串的设置和追问的发挥，也有效地启发了学生的思考，引领了学生的建构.

      在精心策略化的教学过程中，技术手段的优越性被充分地发挥了出来：一是个性化学习成果丰硕.学生经过短暂的培训，大多能够独立地使用平板电脑，操作几何画板，自主地进行作图实验.由于学生思维的千差万别，因此各种不同的探究成果层出不穷，导致课堂的开放性强，思维的张力巨大，探究的层次丰富.二是即时性课堂交互高效.在网络平台的支持下，教师通过操作教师机，可以及时地了解每位学生的探究进展，捕捉意料之外的成果，处理动态生成的资源；而学生也可以充分地展示自己的成果，便捷地与老师、同学进行交流互动.这些都是传统技术课堂教学中鲜见的景致.

      三、宣扬数学文化，彰显数学魅力

      在这节课的最后一个环节中，教师介绍了傅立叶发现的三角函数叠加与周期函数表示的关系，以及后来发现的声音波形曲线与三角函数叠加图象的关系，从而为本节课的学习内容拓展了运用空间，并进一步激发了学生学习的兴趣.

      这里，教师深度融合了课题与技术：引导学生运用几何画板制作了“函数的声音”.这把学生学习的兴趣推向了高潮，充分体现了数学的魅力.在学生跃跃欲试的表现下，数学文化的渗透做到了“润物细无声”.

      最后，想要指出的是，本节课作为一节有一定原创性的探究性学习课，在注重技术的革新时，显得有些“虚化”了课堂的学习.再好的技术也只能作为课堂学习的辅助手段，而不是根本目的.本节课中，学生使用平板电脑的时间偏多：大部分学生操作它超过15分钟，个别学生更是整节课都在操作它.同时，平板电脑的使用方式不够科学：数学结论不仅要依靠电脑计算与实验观察得到，更应该通过大脑思考与数学推理得到.因此，教师对数学推理的关注不够，使学生留下的重温学习内容的线索中断，课堂学习被“虚化”.

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