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20世纪初，庞加莱首先意识到在确定论系统中有混沌现象的存在，对牛顿严格的决定论提出置疑，拉开了非线性研究的序幕。1915—1916年，爱因斯坦也正是不满意狭义相对论线性的“狭窄”，才将其推广建立了非线性的广义相对论。爱因斯坦说：“当我力图在狭义相对论的框子里把引力表示出来的时候，我才完全明白，狭义相对论不过是必然发展过程的第一步。”①
20世纪50年代，由杨振宁和米尔斯建立的杨—米尔斯规范场论是非线性的，并且随后建立起来的弱电统一理论、量子色动力学也都是非线性的。而这些理论与实验符合得很好。物理学家断言：最后的大统一场论肯定也是非线性的。然而，建立于20世纪20年代的另一被证明是“完备”的理论——量子力学却是线性的。
如果说在20世纪前半叶人们对非线性与物理理论间的关系认识得还不很清楚的话，那么在20世纪后半叶，孤子、混沌、分形等以非线性为特征的新型分支学科的诞生与兴起，则使得物理学家认识到非线性科学可能是继相对论、量子力学之后的“又一次科学革命”，整个世界，从宇观、宏观到微观本质上都是非线性的。非线性是自然界色彩缤纷、复杂多样之根源。非线性是物理理论难以逾越的界限。
1 非线性与非线性科学
对于非线性的理解，我们可以借助于对线性概念的掌握。线性是指两个量之间所存在的正比关系，在直角坐标系上呈直线；而非线性是指两个量不成正比关系，在直角坐标系中呈曲线。最简单的非线性函数是一元二次函数，其图象是抛物线。可以说，一切含有二次项以上的多项式函数都是非线性的。线性函数关系描述的系统叫线性系统，非线性函数描述的系统称为非线性系统。
线性作为非线性的特例，有且只有一种简单的比例关系，并且线性系统中的各要素彼此独立，各尽其职，而非线性是对这种简单关系的偏离。非线性关系千变万化、举不胜举，可以一因多果，也可以一果多因。在非线性系统中，各要素彼此影响，相互耦合，一个变量的微小变化对其它变量有不成比例的、甚至灾难性的影响。因此，非线性问题错综复杂，处理起来相当棘手。
一般来说，线性系统是可解的，其解满足叠加原理；而非线性系统是不可解的，其解不满足叠加原理。尽管人们为了获得良好而简单的理解，往往把非线性项，例如磨擦力、空气阻力等置于一旁不管，对非线性问题进行强制性的线性处理，可实际上这是不大恰当的。技术处理上的成功并不意味着对客观现象的真实描述。非线性项的存在的确使得非线性系统复杂难解，但这也是线性系统不可媲美的。
在非线性科学大规模涌现之前，人们普遍认为自然界的任何问题都可以线性地加以解决。现在看来，线性只是局部的，非线性才是普遍存在的，因而直接面对非线性是不可避免的。然而，非线性科学并非是包罗万象的科学，“非线性科学只考虑各门学科中有关非线性的共性问题，特别是那些无法从线性模型稍加修正还可解决的问题，再加上它自身理论发展所需要的一些概念方法等，这才是非线性科学的研究对象。”②也就是说，非线性科学是研究非线性现象共性的一门学问。
迄今，非线性科学的主体已很明确，就是孤子、混沌、分形。另外，有人认为近年来在学术界颇有影响的三论：耗散结构论、协同论、突变论也应归于非线性科学之中。原因是这三论中许多定量的分析、一些概念和方法（如分岔、自组织、图型、分数维等），都与非线性科学相同。但是有学者指出，这三论中还有不少内容是企图说明某些更一般的、涉及自然界甚至社会现象的普遍规律；有些则是带有哲理性或思辨性的论断，对于三论中的这些内容他们认为宁愿不把它算在非线性科学范围内。这样就使得三论是否划归为非线性科学尚存争议。
作为非线性科学主体之一的孤子或孤波，最早发现于19世纪30年代， 是由英国科学家、 造船工程师约翰·斯各脱·罗素（John
ScottRussell）偶然在马背上观察到的。然而， 孤子真正被物理学家认可并获得重视则是到了20世纪60年代。当时，求解非线性方程孤波解的各种数学方法相继问世，人们对孤波之间的相互作用有了比较深入的了解，并发现孤子具有波动性和粒子性双重属性。这引起了物理学家的注意。他们希望通过对孤子的研究，揭示出这种奇妙的特性所蕴藏着的深刻的物理根源，挖掘出其非线性过程中鲜为人知的物理本质。结果，人们发现孤子是一种特殊的相干结构，是由于系统中的色散与非线性两种作用相互平衡的结果。孤子的特点是，有出奇的稳定性，两个以不同速度运动的孤波相互碰撞后，其波形仍然保持不变，如同刚性粒子一样。
混沌作为非线性科学的另一主体，它涉及的面似乎更为广泛。混沌是一种貌似无规实则有序的运动，支配这种运动的规律可用确定性的方程来描述。混沌学产生于20世纪60年代，气象学家爱德华·洛仑兹（ E.Lorenz）在计算机上研究天气预报方程时发现， 尽管描述天气变化用的方程是确定性的，但天气长期动态却是不可预测的，初始条件的细微差别会引起模拟结果的巨大变化。也就是说，在确定论系统中存在着对初值极为敏感的复杂的混沌运动。洛仑兹打了个比喻，在南半球某地一只蝴蝶偶然扇动翅膀所引起的微弱气流，几星期后可能变成席卷北半球某地的一场龙卷风，这就是大气的“蝴蝶效应”，其实质是非线性耦合。
70年代中期，芒德勃罗（B.B.Mandelbrot）对弯弯曲曲的海岸线、棉絮团似的云烟找到了合适的几何学描述方法，于是刻划混沌运动的直观的几何语言——具有无穷层次“自相似性”的分形理论诞生了。“分形不但抓住了混沌与噪声的实质，而且抓住了范围更广的一系列自然形式的本质。这些形式的几何形状在过去的2500多年里是没办法描述的，它们包括海岸线、树、山脉、星系、云、聚合物、河流、天气模式、大脑、肺以及血液供给。物理学家过去总是设法把自然界许多精致性质堆放在泛泛的‘混沌’与‘无序’标题之下，与此类似，自然界的最精致形式及其丰富细节，过去也被常规几何学所忽略了。”③
孤子、混沌、分形的诞生使得非线性科学取得了巨大的成就。尤其是混沌理论的研究堪称“在科学的整体哲学与人类看待其世界的方式方面的一次重大转变”。④它正在消除对于统一的自然界的决定论和概率论两大对立体系间的鸿沟，使复杂系统的理论开始建立在“有限性”这更加符合客观实际的基础之上。我们知道自然界是统一的，但自然科学中有确定论和概率论两套描述系统。牛顿以来的科学传统比较推崇确定论体系，而把概率论描述作为“不得已而为之”的补充。有学者就指出，“其实纯粹的确定论和概率论，都以某种无穷过程（无限测量精度，无穷长的随机性检验）的存在为前提，而更确切地反映客观世界的理论却应当基于有限性原则（有限的测量精度，有限的计算机字长、有限的观察和计算时间，等等）。”所以“有限性原则的某种表达应当以基本原理的形式进入物理甚至整个自然科学的体系。那时我们将从确定论和概率论的根深蒂固的人为对立中解脱出来。”⑤
2 经典物理学中的非线性问题
在物理学中，非线性问题由来已久。从伽俐略—牛顿时代开始有了精确自然科学起，就碰上了非线性问题：伽俐略研究过的摆和牛顿研究过的天体运动，都是非线性力学中的典型问题。19世纪经典力学两大难题——刚体定点运动和三体问题——就是上述两个问题的延续，它们曾难倒了不少科学家，也因而推动了经典力学。然而在近代自然科学发展的早期，为了追求目标的简单性，避免数学上的复杂性，物理学家对非线性问题大都做了线性的近似处理。
例如伽俐略的单摆的等时性原理，尽管可用一个其解可以线性叠加的线性微分方程来表示，然而这种简单关系只在θ很小（Sin θ≈θ）时才成立；当θ角增大时，线性微分方程就成为非线性的了。所以，单摆的等时性（线性关系）只是非线性振动的线性近似。还有牛顿，他虽然阐述过非线性问题，（牛顿力学的运动方程确切地说是非线性方程）但是由于他无法找到非线性方程的通解，于是从一开始他就不得不考虑可行的简化。事实上，经典物理学中所处理的不少线性相互作用，都是非线性相互作用在一定条件下的近似结果。
物理学家这种简化主义做法的累加效果导致人们形成了一种错误的、并且妨碍物理学发展的思想，即认为线性关系才是物理学追求的目标，以致于非线性关系长期被排除在科学研究范围之外，始终不能成为物理学研究的主流问题。直至19世纪末20世纪初，法国数学家和理论天文学家亨利·庞加莱（Henri Poincare）发现某些特殊的微分方程的可解性与解值对其初始条件极为敏感，初始条件的细微差别可导致其解值的巨大偏差，甚至产生无解现象，从而拉开了非线性科学研究的序幕。他在非线性科学研究中提出了许多新的理论和方法。现代非线性科学中的很多概念和思想都来源于庞加莱，因此人们普遍认为非线性科学是由庞加莱所奠定。
“庞加莱发现的直接意义是，向宏伟的牛顿范式——为科学服役已200年了——提出了挑战。 ”⑥他的发现本应该给物理学注入一股新的活力。然而由于习惯思维的作怪，庞加莱的科学思想提出来很久之后，经典力学仍居于统治地位。当时为了阐明牛顿世界中决定论的意义，拉普拉斯曾写道：“我们应当把宇宙目前的状态视为其过去状态的结果和未来状态的原因。”⑦混沌物理学家约瑟夫·福特（Joseph Ford ）指出，拉普拉斯的世界不但是确定的，而且是可预测的，因为借助于充分的知识和技能，他就有把握精确地预测太阳系、甚至整个宇宙的运动。数十年来，这种哲学世界观日益渗透于日常思维和科学思维中，甚至庞加莱的深刻见解——“决定论观念是拉普拉斯的一种幻想”⑧——也未能动摇这种虔诚的信仰。
现代基础物理中关于非线性的研究和对自然界是线性还是非线性问题的关注则始于爱因斯坦的广义相对论和杨—米尔斯规范场论的出现。这两个理论表明自然界在一切本质层次上是非线性的，而这个认识过程涉及到当代物理主要理论的发展及其哲学论争。
3 物理世界的本质是非线性的
非线性科学的发展深刻地变革着人们对周围世界的思维方式，可以说是重塑自然观的时候了。事实上，从爱因斯坦以来，物理学家们就开始了对世界本质的探讨。他们大多数把非线性作为衡量物理理论“完备”与否的标准之一。
狭义相对论起源于麦克斯韦电磁场理论，这两个理论都是线性的。它们对自然界的描述都是在一个特定的范围内和一定的条件下，都是“不完备”的理论。爱因斯坦在《自述》中谈到由狭义相对论到广义相对论的建立时指出：“惯性质量同引力质量相等的事实，很自然使人认识到，狭义相对论的基本要求（定律对于洛仑兹变换的不变性）是太狭窄了，也就是说，我们必须假设，定律对于四维连续区中的坐标的非线性变换也是不变的。”⑨
这个想法产生于1908年。7年后，广义相对论建立， 它的引力方程是非线性的。这不仅印证了上述想法，而且使爱因斯坦进一步认识到，麦克斯韦理论的线性形式根源于它的“方程是同无限弱的电磁场的经验相符合的。”⑩“这种（线性）定律对于它们的解来说是满足叠加原理的，因而并不含有关于基元物体的相互作用的任何论断。真正的定律不可能是线性的，而且也不可能从这些线性方程中得到。”(11)非线性的广义相对论的创立，对20世纪物理学的发展和人们思维观念的转变可谓影响深远。布里格斯（John Briggs）和皮特（F.David Peat）在《湍鉴》一书中指出，“广义相对论方程本质上是非线性的，这个理论的非线性所预言的一个惊人事物就是黑洞，即时空织锦上撕裂了孔洞，在这里，物理学的有序定律失效了。”(12)
和广义相对论不同，量子力学是线性理论。尽管量子理论与非线性的经典理论有很深的关系，但是量子力学在其通常形式下“仍然确确实实是一种线性理论”。线性的含义为，“尽管量子方程是非线性的，但可以通过薛定谔方程对付它们。也就是说，寻找某些变换矩阵，这些薛定谔方程必定是线性方程。”(13)提出测不准原理的海森伯在1966年的慕尼黑“国际非线性数学与物理暑期研修班”上有一个报告，在报告中他指出，“实际上理论物理学中的每个问题都是由非线性数学方程刻划的，量子力学也许除外，但量子力学最终是线性的还是非线性的理论，还是一个颇有争议的问题。因此，理论物理学的绝大部分要归为非线性问题。”(14)
在海森伯看来，“物质与场的相互作用一般是非线性的，因而非线性问题在物理学中扮演主角。事实上，因为对大自然来说非线性如此基本，所以，本质上线性的量子力学理论甚至也可能最终不得不被一种非线性理论取代。”(15)他说：“量子力学理论的线性有一种更深层的、近乎哲学的理由，不仅仅与某种近似有关。在量子力学中我们不与事实打交道，而是与概率打交道：波函数[模]的平方描述了概率，并且波函数的叠加（两个解相加可以构成一个新的解）对整个量子力学的基础来说是绝对必要的。所以，说量子力学的线性特征与麦克斯韦的线性在同样意义上是近似的，将必定是错误的。量子力学方程的线性对于理解量子力学、对于把量子力学方程解释成计算原子所发生事件的一种统计根据，是必要的。”(16)
对于线性的量子力学理论， 爱因斯坦始终持异议。 这便是著名的EPR之争。爱因斯坦不满意量子力学统计性的理论基础。 他认为：“唯一可能作为量子力学根基的原理，该是一种能够把场论翻译成量子统计学形式的原理。至于这种原理实际上能否以一种令人满意的方式得出来，那是谁也不敢说的。”(17)在爱因斯坦看来，“量子力学固然是堂皇的，可是有一种内在的声音告诉我，它还不是真实的东西。这理论说得很多，但是一点也没有真正使我们更加接近于上帝的秘密。我无论如何深信上帝不是在掷骰子。”(18)怀疑的结果便是爱因斯坦试图沿着广义相对论的路线，推出一个适合描述质点运动的非线性方程。“…我正在进行非常吃力的工作，要从已知的广义相对论的微分方程推导出当作奇点来看待的质点的运动方程。”(19)
继爱因斯坦之后的杨振宁也表明：“爱因斯坦不相信现有对量子力学的理解是最后的结论，我也不相信这一点。”(20)“量子力学在某些方面取得极其巨大的成功，但在另一些方面还是不安稳的，我们将等待着提出最终的结论。”(21)爱因斯坦和杨振宁为何都不相信量子力学是最终的完备理论呢？我们认为线性特征无疑是它不安稳的原因之一。
20世纪50年代，杨—米尔斯规范场理论表明，除电磁相互作用外，自然界所有的相互作用都是非线性的。以非阿贝尔规范场为基础建立的弱电统一理论、量子色动力学（强相互作用的理论）都是非线性的，正在构建的大统一理论也是非线性的，几乎所有的物理学家都相信最后的统一场论一定也是非线性的。至此，从场的概念进入物理学以后，麦克斯韦电磁场理论、狭义相对论、量子力学是线性的理论，而广义相对论、规范场以及在规范场基础上的所有统一理论都是非线性的。显然这里有一个矛盾，即自然界的本质究竟是线性的，还是非线性的？麦克斯韦电磁场理论是规范场中的一个特殊形式，狭义相对论仅适应于惯性系，爱因斯坦正是不满足于线性的狭义相对论的“狭窄”，才开始把它推广到非惯性系，建立了广义相对论。量子力学却是20世纪物理学所证明的关于微观世界的“完备”的理论。因此，在线性还是非线性问题上，量子力学与广义相对论的冲突，表明了哪一种理论是更深刻的、更客观正确的。由于引力场也是一种规范场，那么，最后的问题就存在于量子力学与规范场之间。
随着非线性科学的深入发展，大多数科学家认为非线性并非只存在于宏观层次，微观领域和宇观领域本质上也是非线性的，即整个宇宙本质上是非线性的。宏观层次有混沌，微观和宇观层次也有混沌。量子世界的量子混沌虽仍有争议，但量子混沌的研究无疑丰富了人们对微观世界的了解。关于量子混沌现存的争议其实仍来源于量子力学的线性特征。量子系统的状态由函数描述，由于叠加原理，波函数满足的薛定谔方程必为线性方程，线性波动方程不可能有不稳定性，因此典型的量子系统不可能有混沌。如此看来，线性的量子力学的确是有待于进一步考察的课题。
如果世界的本质确实是非线性的，那么在一个非线性宇宙中，什么事情都可能发生。形态可能分解成混沌，亦可能编织成秩序。非线性原则是否也适用于人类的创造性，适用于我们创造艺术作品或作出科学发现的能力？答案是肯定的。给出肯定答案的仍然是那位“率先给出非线性混沌对宇宙尺度上的影响的科学家”——庞加莱。他“对非线性和混沌在创造性思维内部的运作方式，也提供了卓越见地”。(22)他告诉我们，“在我们的创造性思维活动中，混沌与秩序之间那个古老的张力历久常新。”“古老的宇宙论之张力依然适用。”(23)庞加莱通过描述他的科学发现过程，向人们表明他的科学发现模式似乎就是一个起初受挫、混乱和思维混沌过程，随之而来的是不期而至的洞见。
《湍鉴》一书的作者布里格斯和皮特也指出，“有创造性的人的一大显著特征，乃是对感觉、知觉和思想等某种纽安斯的极端敏感性。纽安斯是意义的细微差别，是感觉情结，抑或是知觉微妙性，思维因之不可言传或条分缕析。纽安斯出现时，创造者经历可称作剧烈的非线性反应过程。”(24)他们认为，纽安斯好比芒德勃罗集那丰富的边界地带，好比分形那丰富的多样尺度。世界充满着潜在的纽安斯。纽安斯饱含形形色色的意义、感觉和知觉——我们的语言和逻辑无法形容的体验。纽安斯存在于我们思想范畴之间的分形空间之中。也就是说，在我们的科学创造抑或艺术创作过程中，通过各种纽安斯，我们实则经历了十分强烈的非线性反应过程。在这之后，方才达到了创造的顶峰。如此说来，非线性真是奇妙无比，它竟然无处不在。
4 非线性所引发的观念革命
非线性科学作为20世纪科学史上的“又一次大革命”，几乎波及到自然科学和人文社会科学的各个领域，并且正在改变着人们对现实世界的传统看法。科学界认为，非线性科学的研究不仅具有重大的科学意义，而且对人类社会、生态环境、医学诊断、经济发展、信息与决策等都有不可估量的影响。不考虑非线性因素，不建立非线性模型就无法真实而准确地反映客观规律。
非线性科学的发展，在哲学和方法论方面也引起了深刻的变革。尤其是混沌，它作为非线性科学的一个主体部分，对它探索的贡献“不仅在于开创了一个新的学科领域，意义更为深远之处在于它是新的科学革命的重要组成部分，带来了自然观、科学观、方法论乃至思维方式的伟大变革。”(25)至此，确定性与随机性、有序与无序、简单性与复杂性、偶然性与必然性、质变与量变、局部与整体、有限与无限等重要的哲学概念、范畴和基本内容均受到非线性科学与混沌现象的强烈冲击，需要重新认识和深化。
确定性与随机性是动力学过程的一对基本矛盾。在经典物理学中，通常把研究对象划分为确定性系统和不确定性系统两种性质不同的类型。与之相对应，所使用的研究方法也迥然不同。描述确定性系统用动力学方法，描述随机性系统用概率论方法，二者界限分明。其哲学思想是否认确定性与随机性之间具有矛盾同一性。在非线性科学中，确定性与随机性二者严格对立的界限被打破了，确定性可以自己产生出随机性。也就是说，确定性系统中有着内禀的随机性。确定性和随机性是内在统一的。
有序与无序是物理学、特别是系统理论的一对重要范畴、一对矛盾对立体。在经典科学中，有序被理解为空间分布上的规则性和时间延续中的周期性，无序被理解为空间分布上的无规性和时间延续中的随机变化，二者截然相反。而在非线性科学中，混沌，作为有序与无序这两个矛盾方面都很强烈时形成的运动机制，使得有序与无序这对范畴不再是截然对立的，而是你中有我，我中有你。
另外，对周期性与非周期性这对概念的理解，传统观念把二者的差异绝对化，不承认它们可以相互转化。混沌理论纠正了这一错误认识。因为在某种意义上说，混沌理论研究的就是周期性与非周期性的相互转化问题。等等诸如此类的哲学概念与范畴，在非线性科学产生后，都得到了新的鉴定。
总之，人类的思想在20世纪末发生了根本性的变化，人们已不再把自然界看成和谐与简单的统一，而是在现代水平上复活了秩序与混沌之间古老的和谐蕴涵。
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