词项周延性的一阶语言定义，本文主要内容关键词为：定义论文,语言论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本文尝试在一阶逻辑中给出词项（一元谓词）周延性的一个形式定义，以克服传统逻辑在这个问题上的含混。
什么是“全部外延被断定”，在传统逻辑中缺乏明确的界定，这不可避免地会带来含混
词项周延性是传统逻辑的一个重要概念，在三段论和命题变形推理的判定中起着关键的作用。传统逻辑如是定义周延性：在命题中，断定了一词项的全部外延，则该词项是周延的；否则，该词项是不周延的。周延性概念的意义集中体现在词项推理的下述准则中，不妨记该准则为ZY：
在前提中不周延的词项，到结论中不得周延。
ZY体现了演绎推理的本质，其合理性与必须遵守是显然的。
尽管有的教科书强调周延性是就命题形式而言的，但周延性的上述定义并不是一个形式定义，什么叫“全部外延被断定”，缺乏明确的界定，这不可避免地会带来含混。例如：
问题一，所有在某个北京高校留学的日本学生都参加了座谈会；板太郎没有参加座谈会，因此，板太郎不是在任一北京高校留学的日本学生。
这一推理的成立是显然的。但在直觉上同样显然的是，词项“北京高校”在前提中未被断定全部外延，因而不周延，在结论中却被断定全部外延，是周延的。违反ZY。问题出在哪里呢？
问题二，考虑以下命题变形推理：
可以发现，P在前提SAP中不周延，在结论OP中周延了。违反ZY。这也说明了在上述推理链中，至少存在一个直接推理，P 在前提中不周延，在结论中周延了，每步推导又都符合变形规则。问题出在哪里呢？
词项（一元谓词）周延性的一个形式定义：以准确的一阶语言刻划“全部外延被断定”，并使周延性的一系列重要性成为可证
词项逻辑中所有命题形式及其推理都能在一阶逻辑中得到刻画，因此，存在着在一阶逻辑中作出词项（一元谓词）周延性的严格形式定义的可能性。
下面就给出词项（一元谓词）周延性的一个形式定义。具体地说，这一定义至少要达到这几个目的：（一）以准确的一阶语言对“在命题中一词项（一元谓词）的全部外延都得到断定”的含义作出不失一般性的刻画；（二）基于这一定义，作出直言命题主谓项周延性的形式证明；（三）证明：对于任一有效的三段论或命题变形推理，如果一个词项在结论中周延，那么它在至少一个前提中周延。即ZY成立。（四）作出对上述问题一、问题二这样的存疑问题的合理解释。
定义令A是一阶逻辑中的一个公式，F是A中出现的一个谓词。则F在A中周延，当且仅当存在一元公式B，使得下列条件成立：
条件（1）：A├（x）（F（x）→B（x））
条件（2）：A
（x）（B（x））
条件（3）：F不在B中出现。
上述定义中，B中只包含一元谓词，但F却不必是一元谓词，因此，上述定义不仅刻画词项周延性，而且刻画一般谓词的周延性。为了讨论的方便，有时我们可不妨假设F是一元谓词。
这一定义的直观意思是，词项F在命题A中周延，当且仅当存在着受限定的性质B，命题A逻辑地蕴涵：任一对象，如果具有性质F， 那么具有性质B。这就是用形式的语言说出的“命题A断定了词项F 的全部外延”的意思。
基于周延性定义的若干形式证明：尝试对传统逻辑中靠直观把握的有关周延性的若干性质作严格的证明
下面，基于周延性的形式定义，给出词项逻辑中有关周延性的若干重要结论的形式证明。
证明一 全称肯定命题主项周延。
[证]：令A为（x）（S（x）→P（x）），即全称肯定命题“所有S都是P”的谓词表达式，B（x）为P（x），F为S。则显然条件（1 ）和条件（3）成立；至于条件（2），不难定义模型使得其中（x）（S （x）→P（x））真而（x）P（x）假，（例如令S（x）表示“x是人”， P（x）表示“x是有思想的”），因此根据一阶逻辑的可靠性，有（x ）（S（x）→P（x））（x）P（x），条件（2）成立。所以，S 是周延的，即全称肯定命题主项都周延。
证明二 全称肯定命题谓项不周延。
[证]：用反证法。假设情况不是这样，则存在B（x）， 条件（1）成立，即：
（x）（S（x）→P（x））├ （x）（P（x）→B（x））， 由演绎定理得：
├（x）（S（x）→P（x））→（x）（P（x）→B（x）），再以x＝x代入P（x），得：
├（x）（S（x）→x＝x）→（x）（x＝x→B（x）），又有定理：
├（x）（S（x）→x＝x），根据分离规则，得：
├（x）（x＝x→B（x）），又有定理：
├（x）（x＝x→B（x））→（（x）（x＝x）→（x）B（x ））以及
├（x）（x＝x），两次分离，得：
├（x）B（x），因此，得：
（x）（S（x）→P（x））├ （x）B（x），违反条件（2）， 假设不成立。所以，P不周延。
证明三 全称否定命题主谓项都周延。
证明是简单的，因为有（x）（S（x）→～P（x））├ （x）（P（x）→～S（x））。从略。
证明四 特称肯定命题主谓项都不周延。
这样，在传统逻辑中靠直观描述得出的直言命题主谓项周延性的结论，在一阶逻辑中得到了严格的形式证明。由于三段论和命题变形直接推理的有效式是确定有限的（例如三段论有且只有24个有效式），因此可以完成以下证明：
证明六 ZY对三段论和命题变形直接推理成立。
具体证明略。证明过程中要注意词项逻辑对词项非空的假设，下面的讨论中将提到这一点。
基于周延性定义的若干讨论：尝试对传统逻辑中若干存疑问题作合理的解释
下面基于周延性的形式定义，来讨论若干对传统逻辑来说是存疑的问题。
（一）在问题一的推理中，令B（x）表示“x是北京高校”，S（x,y）表示“x在y留学”，J（x）表示“x是日本留学生”，P（x ）表示“x参加了座谈会”，则该推理的第一个前提的形式为：
它的含义是：从“所有在某个北京高校留学的日本学生都参加了座谈会”可以推出“对任一北京高校来说，所有在其中留学的日本学生都参加了座谈会”，因此，条件（1）成立；又B不在（x）（（J（x）＆S（x,y））→P（x））中出现，条件（3）成立；条件（2）亦成立，因为有：
因此，整个推理不存在“前提中不周延的词项到结论中周延”的问题。