江苏省上冈高级中学 江苏省盐城市 224731
摘要：构造辅助函数来解决数学中的作用，利用扎实的数学基本知识，并灵活运用来解决实际问题，以提高数学能力。本文通过一系列的实际例子来呈现构造辅助函数在解决数学问题中的能力，及通过该过程，更加清晰的了解数学、认识数学，从而喜欢上数学。
关键词：构造辅助函数；解决能力；数学问题；数学应用
一、概念
函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。
构造函数（constructor）是一种特殊的方法 。主要用来在创建对象时初始化对象， 即为对象成员变量赋初始值，总与new运算符一起使用在创建对象的语句中 。
二、构建辅助函数的研究
2.1构造辅助函数求取值范围
学生们每次遇到求取值范围的数学习题，样样都会犯难，不知从何入手，也不知道该如何解决，而通过学习构造辅助函数的使用方法，从某个方面来建设一个辅助函数，也很好的解决了这个问题，且解答起来更加直观。
1.例子:(积分)设函数f在区间[0,1]上可微,且满足1/2f(1)=∫（1/2,0）xf(x)dx
(其中∫(1/2,0)表示定积分在[0,1/2]上),证明至少存在一点a属于（0，1），使f '(a)=-f(a)/a
解答:即af'(a)+f(a)=0
注意到左边＝[xf(x)]'|x=a ,转化为证此函数的导函数有零点，当然用罗尔中值定理，只需证明函数有两点值相同即可
现在有1/2f(1)=∫（1/2,0）xf(x)dx
构造g(x)=∫（x,0）tf(t)dt
g(1/2)=1/2f(1)
g'(x)=xf(x),则有点b使得g'(b)=[g(1/2)-g(0)]/1/2=f(1)=bf(b) （拉格朗日中值定理）
即有一点b，其bf(b)等于1f（1）
那么在(b,1)中有点a使[xf(x)]'|（x=a）＝0
2.例题：已知函数f(x)=log2[ax^2+(a-1)x+1/4],若值域为R，求实数a的取值范围
解题：函数f(x)=log2[ax^2+(a-1)x+1/4],若值域为R
则真数t=ax^2+(a-1)x+1/4“能够”取遍一切正实数
a=0，
t=-x+14, 真数t“能够”取遍一切正实数.
(至于有非正实数，可以用定义域来限制它）
a>0,
△≤0,真数t才“能够”取遍一切正实数.
(至于有非正实数，可以用定义域来限制它）
（3-√5）/2≤a≤（3+√5）/2
a<0,
真数t不可能取遍一切正实数
综上所述
（3-√5）/2≤a≤（3+√5）/2 or a=0
3.例题：求使函数f(x)=x^3+3kx^2-kx-1 没有极值的实数k的取值范围.
解题：解题：f'(x)=3x^2+6kx-k方程3x^2+6kx-k=0的解是：x=-k±[√(9k^2+3k)]/3当9k^2+3k<0 ==> -1/3<k<0时，方程没有实根，即f(x)没有驻点，所以没有极值；当9k^2+3k=0，即k=-1/3或k=0时，有唯一驻点x=-k，因为f''(x)=6x+6k,f''(-k)=0；f'''(x)=6≠0，所以x=-k不是极值点，函数没有极值；当9k^2+3k>0时，f(x)有两个驻点：x=-k±[√(9k^2+3k)]/3，因为f''(-k±[√(9k^2+3k)]/3)≠0，都是极值点；所以当-1/3≤k≤0时，函数f(x)没有极值。
2.2构造辅助函数解方程
利用够构造得辅助函数，来解答相关的习题，即可以让方程变得更加教练，又可以提高学生解答方程的能力及质量。
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例题：已知函数f(x)=3的x次幂的反函数经过点(18,a+2),设g(x)=3的ax次幂-4的x次幂的定义
试讨论方程g（|x|）+2的|x|+1次幂=n的解的个数
求详细答案，求m的实数范围
例题
（3）对于任意的n∈R,1】
解答：1) f(x)的反函数经过点(18,a+2) 所以 f(x)经过点(a+2,18) 即有 3^(a+2)=18 则3^a=2
所以g(x)=3^(ax)-4^x=(3^a)^x-4^x=2^x-4 ^(x)
2) f(x)=m 有解 即求f(x)值域 又x的定义域为R 所以 f(x)=3^(x)=m0
3)令F(x)=g(|x|)+2^(|x|+1) x属于[-1,1] 则易知F(x)是偶函数 所以 原问题等价于 g(x)+2^(x+1)=n (0x=1) 解的个数乘以2再加上当x=0时方程解的个数
n=2^x-[2^x]^2+2^(x+1)=3*2^x-(2^x)^2
令t=2^x 则t(x)为单调增函数 当0x=1 时 t属于(1,2] 当x=0时t=1
由 n=3t-t^2 令L(t)=t^2-3t+n ( t属于(1,2] ) 对称轴为3/2
L(1)=L(2)=n-2
L(3/2)=9/4-9/2+n=n-9/4
1.当 L(1)*L(3/2)0 ,n9/4 或n4时 则此时 L(t)无解 即此时F(x)=n 无解
2.当L*(1)*L(3/2)0 , 2 n9/4 时 则此时L(t)有两个解 由t(x)单调性知此时也有两个相对应的x存在 又当x=0 即t=1时 L(1)不等于0
所以 此时F(x)的解个数为 2*2+0=4
3 当 L(1)=n-2=0=L(2) ，n=2 时 此时 L(t)在t属于 (1,2] 有一个解，此时t(x)中有一x与之对应， 又当x=0 时，L(1)=0 所以此时F(x)=n 解的个数为 1*2+1=3个
4.当L(3/2)=n-9/4=0时 此时L(t)在t属于 (1,2] 有一个解 又此时当x=0 ，L(1)不等于0
所以此时F(x)=n 解的个数为1*2+0=2个。
2.3构造函数法求最值
例题：求原点到曲面x^2+2y^2-3z^2=4的最小距离
解答：设原点到该曲面的距离为L，
考虑该距离的平方 L² 为目标函数 f(x，y，z)
则 f(x，y，z)=L²=x²+y²+z²
曲面方程化为 x²+2y²-3z²-4=0
设辅助系数为 a，则对应的拉格朗日辅助函数为
f(x，y，z，a)=x²+y²+z²+a(x²+2y²-3z²-4)
求偏导数如下（用d作偏导符号）：
df/dx=2x+2ax
df/dy=2y+4ay
df/dz=2z-6az
df/da=x²+2y²-3z²-4
令上述偏导数均等于0，即
df/dx=2x+2ax=0
df/dy=2y+4ay=0
df/dz=2z-6az=0
df/da=x²+2y²-3z²-4=0
根据前三个方程成立（a不能同时取两个值），
应有x、y、z中的2个为0，另一个不为0
则有如下解
x不为0时，解为(±2，0，0，-1)，
y不为0时，解为(0，±√2，0，-1/2)，
z不为0时，无解，
由于所求解具有对称性，根据实际情形，
该解必对应最小值，
把解代入可得 L²=4 或 L²=2
所以，最小值是 L=√2
此时对应的最小值点绩处贯肺卟镀诡僧韩吉为 (0，±√2，0)。
结束语：通过以上的例题可以很容易看出利用构造函数来解决数学中的实际问题，并将这种解题思维继续延伸到更高层次的数学知识水平，甚至是其他行业，让学生的数学能力得以有效锻炼，受益无穷。
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.
[2]杨根学.待证结论构造辅助函数法[J].天水师院学报，2001，（5）：55-56
作者简介：许红伟（1982.10 -） 男，汉，江苏，本科，中一，江苏省上冈高级中学， 高中数学教育。
论文作者:许红伟
论文发表刊物:《知识－力量》2018年1月上
论文发表时间:2018/4/12
标签：函数论文; 实数论文; 极值论文; 数学论文; 方程论文; 例题论文; 定义域论文; 《知识－力量》2018年1月上论文;