山西省晋城市凤鸣中学 048000
摘 要：排列组合是一个渊远流长的古老数学问题，在初等数学中是一段独特的内容，一段与现实生活联系紧密的、重要的基础知识。排列组合的内容独特，思维新颖，方法灵活，能够培养和发展学生的抽象能力和逻辑思维能力。它也是组合数学最初步、最基本的知识，它的应用广泛，现已被应用到工程技术以及许多自然科学中。
关键词：排列 组合 常规解法 数学思想
排列组合是初等数学中一段独特的内容，是很重要的一部分基础知识，也是一个源远流长的古老数学问题。排列组合在中国最早的文献记载见于《周易》中关于卦符问题的研究。唐朝和尚张遂（或一行，公元683-727年）、北宋著名科学家沈括（公元1031-1095年）等人的棋局都数问题，贾宪三角形和宋元算学家的垛积数，清代汪莱等人的数理研究等，都包含了深刻的排列组合思想和方法。沈括还在他的著作《梦溪笔谈》中给出了棋局都数的好几种做法。
一、排列组合的定义
排列的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示。
此外规定0！=1。其计算公式为：Anm=。
组合的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示。
其计算公式为：Cnm＝ 。
二、排列组合的两个计数原理
加法（分类）计数原理：完成一件事，有n类办法。在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
乘法（分步）计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1·m2…mn种不同的方法。
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三、排列与组合的区别与联系
排列与组合的共同点是从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是不管元素的顺序如何并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志。下面通过实例来体会排列与组合的区别。
例：判断下列问题是排列问题还是组合问题？高二年级学生会有11人，若每两人互通一封信，共通了多少封信？若每两人互握了一次手，共握了多少次手？
解：由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，与顺序有关，是排列，所以共通了A112=110(封)；由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，是组合问题，所以共需握手C112=55（次)。由上述实例可以看出区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”。
四、排列组合中的数学思想探讨及对其常规解法的剖析
1.分类思想。解排列组合问题最常用的方法是分类法，它的基本思想是:当被研究的问题包含多种可能的情况，导致我们不能对它们一概而论的时候，迫使我们按可能出现的所有情况来分类讨论，得出各类相应的结论。分类法以加法原理为基础，加法原理给我们提供了分类后排列数或组合数的计算方法。加法原理所回答的是分类独立完成一件事，每类方法都能完成这件事，那么完成这件事总的方法数是各类方法数之和。
2.特殊化思想。求解带限制条件的排列组合问题通常有两种方法：一是直接计算法，把符合限制条件的排列数或组合数直接计算出来；二是间接计算法，先算出无限制条件的所有排列数或组合数，再从中减去全部不符合条件的排列数或组合数。以上两种方法中都体现了特殊化思想，即优先考虑受限制的元素或位置，从特殊元素或特殊位置着手，抓住主要矛盾，这样就可使问题迎刃而解。
3.化归思想。化归思想是贯穿于整个中学数学的基本思想之一，它的基本思想是：在解决问题的过程中，面对问题不是直接求解，而是对此进行变形转化，进而把它们化归为某个已经解决或容易解决的问题。在排列组合问题的解题过程中化归思想更是应用广泛、无处不在。如组合数公式的导出，解题中正面与反面、对立面之间、整体与局部的相互转换等等，都是化归思想.
4.对称思想。对称思想是数学的基本思想，在解排列组合问题时，如能恰当地利用元素之间位置的对称关系，便可使解题过程显得异常简捷明快。
本文首先介绍了排列组合的定义、原理及区别与联系，其次重点研究了排列组合中的数学思想及常规解法。通过本文的研究，为我们在学习排列组合做进一步研究提供了参考、帮助，也为提高中学生排列组合学习效率提供了理论依据，并且对学生在排列组合的学习有所帮助促进，让学生不但从中体会数学思想方法、提高数学能力，而且还可以与其他知识领域结合，使学生更好地把握排列组合所蕴含的数学思想并与实际生活相结合。
论文作者:刘粉妮
论文发表刊物:《教育学文摘》2017年10月总第244期
论文发表时间:2017/11/10
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