“无限全称命题概率为0”问题与归纳概率逻辑，本文主要内容关键词为：概率论文,全称论文,归纳论文,命题论文,逻辑论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B813 文献标识码：A 文章编号：1002-0209(2002)03-0121-09
一、问题
归纳概率逻辑（简称概率逻辑）是现代归纳逻辑的主流，但是许多学者认为概率逻辑用于刻画归纳推理是不成功的，其中一个最重要的问题是无限全称命题概率为0问题。例如，莫绍揆先生说：“当我们就一实例而建议某个普遍定律时，我们进行检验，如果继续碰到正面的实例，无疑该定律成立的概率增加，但理论上说，实例是无限多的，所检验的实例总是有限个的……它们与总实例（其数无穷）相比，比率为0，亦即，正的实例增加来，增加去，总是有限，而所建议的普遍定律成立的概率始终为0，很难说有所增加。此外，一旦发现反例，哪怕只有一条，所建议的普遍规律马上被推翻，即其成立的概率真的为0而不成立的概率马上为1”[1](P43)陈波先生也说：“归纳结论是涉及潜无穷对象的全称陈述，而为观察证实的归纳例证不论数量多大，总是有限的，当以无穷做底数去除不管多大的数量时，所得到的商即概率总是零。……归纳概率逻辑不能为归纳合理性提供辩护。”[2)(P274)
莫绍揆先生认为概率逻辑处理的是随机过程，而归纳逻辑中处理的不是随机过程，陈波认为概率逻辑不能解决休谟问题。两人论述的问题不同，但都是在批评概率逻辑。既然批评概率逻辑，必然要涉及概率概念。上述两种意见都是把已经得到的正面事例与归纳结论所涉及的无穷事例之比作为归纳结论的概率。
有学者对这种概率概念提出质疑。陈克艰先生说：“如果我检查过10000只天鹅，其中9999只是白的，那么要是以9999为分子的话，分母就只能是10000，有什么理由把第10001只起的无限多只天鹅统统归于分母呢？……概率的构成有各种方法，可以取频率的极限，也可以通过公理系统等等，但是，已经检验过的情况的有限数比全体情况的无限数，却根本不是概率，不仅不是正确的概率值，且亦不符概率的概念。”[3]
问题产生了。一种说法，是把已经检查过的事例与归纳结论所涉及的无穷多个事例之比作为全称命题（归纳结论）的概率，反对的意见认为，这根本不是概率。
据我们所知，就概率逻辑的三大学派而言，的确没有一个学派采取这种概率概念。经验主义学派的概率是相对频率的极限，逻辑主义学派的概率是逻辑域，主观主义学派的概率是赌商。看来只有具体考察那些含有“无限全称命题概率为0”结论的理论，才能知道哪一种意见是正确的。
得出这个结果的学者中有两位哲学家最为著名。一个是卡尔那普，20世纪归纳逻辑阵营中逻辑贝叶斯派的杰出代表；另一位是波普尔，反归纳阵营的主帅。
波普尔证明“无限全称命题概率为0”的要点在于这样一个假设：全称命题中所涉及的每一个个体都是概率独立的。他将全称命题写成单称命题的合取。例如，用H表示“所有的天鹅都是白的”，用S(a[,i])表示“第i只天鹅是白的”，有H=S(a[,1])∧S(a[,2])∧…∧S(a[,n])。全称命题H的先验概率为：
P(H)=P[S(a[,1])∧S(a[,2])∧……∧S(a[,n])]
(1)
在没有做任何观察的情况下，命题“第一只天鹅是白的”为真的概率是P(S(a[,1]))。如果观察到第一只白天鹅，命题“第二只天鹅是白的”为真的概率是P[S(a[,2])/S(a[,1])]。波普尔认为P[S(a[,2])/S(a[,1])]=P(S(a[,2]))。如果观察到n只白天鹅，“第n+1只天鹅是白的”为真的概率是P(S(a[,n]))。这表明前面观察的结果不会影响“下一只天鹅为白”的概率。一般的，波普尔主张
P[S(a[,j])/S(a[,i])]=P(S(a[,j]) (2)
P[S(a[,i]))=P(S(a[,j]))<1（其中i≠j） (3)
将公式(1)、(2)、(3)综合在一起，当n→∞时，得到P(H)=0。无数个小于1的正因数相乘，结果为0。命题“所有的天鹅都是白的”为真的先验概率是0，它相对于有限证据的后验概率也为0。波普尔的这种做法类似于卡尔那普的c[+]函数，表现的是一种拒绝从经验中学习的态度。可以看到，波普尔虽然主张无限全称命题概率为0，但并不是简单地将已经检查过的事例与全称命题所涉及的无穷多个事例之比作为全称命题的概率。
波普尔以反对归纳著称，他研究概率逻辑是为了表明概率逻辑无法为归纳逻辑提供支持。因此我们不要指望波普尔去建立完美的概率逻辑理论。卡尔那普则不同，卡尔那普研究概率逻辑的目的是要为归纳推理的理论构建一个坚实的逻辑基础，他必定竭尽全力使自己的理论严谨、完美。所以，卡尔那普的理论应当更具有代表性。
卡尔那普在《概率的逻辑基础》一书的附录中讨论c[*]函数时论述了全称假说的确证问题。设l是一个全称事实句，e是一个样本，它含有S个个体，这些个体中没有一个违反规律l。对于只含有一个初始谓词的有穷的系统L[,N]，有
c[*] (l,e)=(S+1)/(N+1)。
(4)
对于无穷系统L[π,∞]，有
c[*] (1,e)=0。 (5)
公式(5)表示在无穷系统中，全称事实句相对于有限的证据，其确证度为0。公式(4)令人疑惑，它很像是把所得到的实例与总实例之比作为全称语句的确证度，但为何分子与分母都加1呢？我们很想知道卡尔纳普是如何得到这个结果的，遗憾的是他没有给出证明。卡尔那普在他后来的研究中将讨论的范围限制为有穷系统，不再涉及无穷论域中的全称事实句。看来他在这个问题上的确遇到了无法克服的困难。
卡尔那普的系统中为什么会得出“无限全称事实句确证度为0”的结论？这个结果对于归纳概率逻辑是必然的吗？归纳概率逻辑是否恰当地刻画了人们实际应用的归纳推理？这就是我们将要讨论的问题。
二、卡尔那普的理论
卡尔那普建立了形式语言系统L，分为无穷系统L[,∞]和有穷系统L[,N]。他把逻辑概率定义为命题（或语句）之间的逻辑关系，即证据对假说的确证程度。证据e对假说h的确证度用下面的公式计算：
c(h,e)=m(h∧e)/m(e) (6)
其中c表示确证函数。m是测度函数，m(e)表示语句e的先验概率，也叫作e的m值。
如果h是全称假说如“所有的渡鸦都是黑的”，e是正事例组成的证据如“所观察到的10只渡鸦都是黑的”，则h蕴涵e，所以h∧e等值于h。在这种情况下公式(6)化简为
c(h,e)=m(h)/m(e) (7)
计算全称假说h确证度的问题就归结为在无穷系统中计算h的m值和证据e的m值的问题。状态描述是卡尔那普理论中的基本概念，一个状态描述是对世界一种可能情况的最详细的刻画。系统L中每一个不矛盾的语句都可以写成若干个状态描述的析取，这些状态描述组成的集合叫这个语句的逻辑域。一个语句的m值等于它的逻辑域中所有状态描述的m值之和。要想知道一个语句的m值，需要知道它的逻辑域中共有多少个状态描述，以及每个状态描述的m值。卡尔那普主张给系统中每个状态描述指派一个大于0而小于1的m值，并且使所有状态描述的m值之和等于1。因此需要计算状态描述的数目。有穷系统L[,N]中状态描述的个数是有穷的，而无穷系统L∞中状态描述的个数不仅无穷多，而且是不可数的。所以卡尔那普采用极限方法定义语句在无穷系统中的m值。
卡尔那普设计了语言序列L[,1],L[,2],…，序列中任何一个语言L[,N]的论域被包含在语言L[,N+1]的论域之中，对应于这个序列有语言L∞。考虑一个非概括句j，所谓非概括句是不含量词，因而不含个体变元的句子。如果j出现在L[,∞]中，那么j最初会出现在某个L[,N]中，并且出现在后面的L[,N+1],L[,N+2],…中。用m[,N](j)表示j在L[,N]中的m值，m[,N+1],(j)表示j在L[,N+1]中的m值，…，用m[,∞](j)表示j在L[,∞]中的m值。m[,N](j),m[,N+1](j),m[,N+2](j),…，这样形成一个序列。如果这个序列收敛于极限r，就将r作为m[,∞](j)的值。于是在无穷系统L∞中计算语句m值的问题就归结为在所有的系统L[,N]中计算语句m值的问题。
卡尔那普认为一个非概括句的意思是确定的，不会随论域的大小而改变，因此在非概括句j出现的所有系统中，m(j)应当具有同样的值。这实际上是卡尔那普在构造逻辑系统之前的预设，他构造系统时在技术上保证了能够实现这个预设。概括地说，卡尔那普证明了以下结果：
m[,∞](j)=m[,N](j) (8)
公式(8)表明，一个非概括句在无穷系统中的m值与它在有穷系统中的m值相同。
但是，在有穷系统中计算非概括句的m值也并不是一件容易的事情，因为状态描述的个数虽然是有穷的，但数量实在太多。例如，在有2个初始谓词，10个个体常元的系统中，共有1048576个状态描述。卡尔那普已经意识到，给每个状态描述指派m值的方法，即使是在很小的系统中也无法实际使用。
再考虑全称事实句的m值。卡尔那普对概括句的处理是把它们转化为等值的非概括句。例如，系统L[,N]中的全称句“
xM(x)”，可以转化为“M(a[,1])∧M(a[,2])∧…∧M(a[,N])”。但有穷系统中的全称语句不是无限全称句，而且L[,N]中的“xM(x)”与L[,N+1]中“xM(x)”在逻辑上并不等值。因此，不能用上面所说的极限方法来计算无穷系统中全称事实句的m值。
卡尔那普在后来出版的《归纳方法的连续统》一书中将讨论的范围限制为有穷系统，给出了另一种计算状态描述m值的方法。这种方法以单称预测假说的确证度为基础。下面需要讲一些技术性的东西。
先用系统L中的初始谓词构造Q谓词，一个语言L中不同的Q谓词的个数K是由初始谓词的数目决定的：K=2[π]。例如，在只含有两个初始谓词P[,1]和P[,2]的语言中有4个Q谓词：
设P[,1]指称“黑的”，P[,2]指称“渡鸦”，于是Q[,1],Q[,2],Q[,3],Q[,4]依次表示“黑渡鸦”，“黑色的非渡鸦”，“非黑色的渡鸦”，“非黑色的非渡鸦”。显然，这些Q谓词把语言L所表示的世界划分成互不相交的子集，使得世界中每一个个体必须具有并且只具有某一个Q谓词所表示的属性。用a[,1],a[,2],a[,3]，…作为个体常元符号，它们与Q谓词结合形成Q语句。例如Q[,1](a[,1])，它表示a[,1]所指称的对象具有Q[,1]表示的属性。用上面的解释，它表示a[,1]是一只黑渡鸦。
再看状态描述。有穷系统L[,N]中共有N个个体常元。状态描述是一合取语句，由全部N个个体常元的Q语句合取而成，它一一述说论域中的每一个对象具有什么Q属性。例如，含有两个初始谓词和3个个体常元的语言，它的状态描述中有一个是“Q[,1](a[,1])∧Q[,1](a[,2])∧Q[,3](a[,3])”。用前面的解释，它表示a[,1]和a[,2]是黑渡鸦，a[,3]是渡鸦但不是黑的。
单称预测假说的确证度用c(h[,i],ei)表示，e[,i]是证据，它表示在考察过的一个样本中共有S个对象，其中有S[,i]个具有属性Q[,i]。h[,i]是假说，表示下一个将要考察的对象具有属性Q[,i]。h[,i]也可以写成Q[,i](a[,s+1])的形式。如果有了计算单称假说确证度的方法，就很容易计算出系统L[,N]中每一个状态描述的m值。因为L[,N]中的状态描述是N个Q语句的合取，利用乘法公式可以把计算状态描述m值的问题转变为计算N个单称假说的确证度的问题。卡尔那普具体给出了计算单称假说确证度的方法，即我们熟悉的λ公式：
c(h,e)=(S[,i]+λ/K)/(S+λ)
公式中的K是系统中Q谓词的个数，K是逻辑因素。S是证据（样本）中所含个体的数目，S[,i]是其中具有性质Q[,i]的个体的数目，S和S[,i]是经验因素。卡尔那普认为c(h[,i],e[,i])的值是K,S,S[,i]三个数的函数。
卡尔那普根据状态描述的定义，联合使用λ公式和乘法定理，给出了计算状态描述m值的一般公式：
其中Z表示状态描述；N[,i]是状态描述的Q数，它表示在这个状态描述中有N[,i]个对象具有属性Q[,i]。使用这个公式，当研究者取定某个λ值之后，就可以计算出任何一个系统L[,N]中任何一个状态描述的m值，进而可以确定所有语句的m值，以及对于系统中任何一对语句h、e，确定c(h，e)的值。
如果用这个公式去计算无穷系统中全称事实句的确证度，会产生什么后果呢？让我们来试试看。不过我们需要两个条件，其一是语言L[,∞]中允许有无穷长的公式，其二是公式(9)能用于N→∞的情况。
我们讨论最简单的情况。假设语言L[,∞]中只有一个初始一元谓词P，因而有两个Q谓词：Q[,1]为P,Q[,2]为
P，所以K=2。设h是形式为“xQ[,1](x)”的全称事实句。xQ[,1](x)可以转化为非概括句“Q[,1](a[,1])∧Q[,1](a[,2])∧Q[,1](a[,3])∧…”，这恰好是语言L[,∞]中的一个状态描述。采用确证函数c[*]，取λ=K=2，使用公式(9)计算状态描述m值，这时i=1,N[,i]=N，于是有
m[*](h)=N!/(N+1)!=1/(N+1)
再设e为含有10个个体的样本，其中每个个体都具有属性Q[,1]，即S=10,S[,i]=10。e的形式为“Q[,1](a[,1])∧Q[,1](a[,2])∧…∧Q[,1](a[,10])”，这是语言L[,10]中的一个状态描述。用刚才的方法计算它在L[,10]中的m值，N[,i]=N=S=10，得到
m[*](e)=S!/(S+1)!=1/(S+1)=1/11
根据公式(8),m(*)(e)在L[,∞]中的值与它在L[,10]中的值相同，都是1/11，由公式(6)和(7)得到
c[*](h,e)=m[*](h∧e)/m[*](e)
=[1/(N+1)]/[1/(S+1)]
=(S+1)/(N+1)
这个结果与公式(4)相符，当N→∞时，c[*](h,e)=0。
至此，我们已经知道卡尔那普c[*]系统中出现无限全称语句确证度为0的原因。卡尔那普不是把已有的事例与无穷多个事例之比作为概率。他是将全称语句h转化为Q语句（单称语句）的合取，在c[*]系统中用λ公式和乘法公式计算h的先验概率m[*](h)时，得到一个含有无穷个因数的乘积，其中每个因数都是小于1的正数，这个乘积以0为极限，所以h的先验概率m[*](h)为0。证据e是有穷个Q语句的合取，它在无穷系统中的先验概率m[*](e)等于它在有穷系统中的m值，是一个小于1的正数。根据公式(6)和(7),c[*](h,e)=m[*](h)/m[*](e)=0。
我们对卡尔那普和波普尔进行比较。波普尔像一个指挥员，当他对某个战士的射击技术一无所知时，认为战士命中目标的概率为1/2。战士射击100次，百发百中，波普尔仍然认为他下一枪击中目标的概率是1/2。卡尔那普在采用c[*]系统进行推理时，随着战士一枪枪命中目标，他认为这个战士下一枪击中目标的可能性一次比一次高。谁更合理，不言而喻。但是卡尔那普和波普尔在全称命题的确证问题上却殊途同归，得到同样的结果。
三、改进了的概率逻辑理论
无限全称命题确证度为0的结果对于归纳概率逻辑是极其不利的。由于卡尔那普的理论影响非常大，因此很多人把卡尔那普理论的问题视为整个概率逻辑的问题。现在要问：这个结果是必然的吗？换句话说，这个结果是不是可以避免的？
20世纪60年代末到70年代中期，芬兰学派的学者对卡尔那普的理论进行改造，得到了很好的结果。其中最有名的是α—λ二维系统和K维系统。我们不具体介绍这些系统，只讲述它们的基本概念和主要思路。
α—λ二维系统是欣迪卡建立的，他的创新之处在于引进了一个关键的概念——构件。首先像卡尔那普那样在语言L中构造Q谓词（欣迪卡把Q谓词叫做C[,t]谓词），然后用Q谓词形成构件。构件具有如下的形式：
如果一个构件含有w个谓词，那么这个构件是说，在整个论域中有并且只有这w个谓词有例证，其余K-w个Q谓词是没有例证的。称这个构件为C[,w]构件。所谓一个Q谓词有例证，是说论域中有对象具有这个Q谓词所表示的属性。假设语言L中共有4个Q谓词：Q[,1](x)表示“x是黑渡鸦”，Q[,2](x)表示“x是黑色的但不是渡鸦”，Q[,3](x)表示“x是非黑色的渡鸦”，Q[,4](x)表示“x是非黑色的非渡鸦”。如果一个世界中只有黑渡鸦和非黑的非渡鸦，那么下面的构件是真的：
构件也是对世界可能状态的一种刻画，用构件可以形成全称概括语句。一个构件本身就表达一个概括句，欣迪卡称构件为强概括。欣迪卡主要讨论了无穷论域中强概括的确证问题。给定一个由n个个体组成的证据e，这个证据中有c个Q谓词是有例证的。在这种情况下，有一个构件Cc（即w=c）恰好含有证据中被例示的那c个Q谓词，这个构件与证据相符。而当w
拿渡鸦的例子来说，当我们在客观世界中观察到黑色的渡鸦和黑色的非渡鸦的，谓词Q[,1]和Q[,2]被例示，c=2。这时所有构件C[,w](w 这个构件是说，世界上既有黑色的渡鸦，又有黑色的非渡鸦，还有非黑色的非渡鸦，也就是说，所有的渡鸦都是黑的。显然，这个构件与观察证据是相容的，因为虽然现在还没有观察到既非黑色又不是渡鸦的对象，但以后有可能会观察到。 有一个构件恰好与观察证据相符： 它表示世界上有并且只有黑色的渡鸦和黑色的非渡鸦，换句话说，这个世界上所有的对象都是黑色的。 α—λ二维系统可以做到：(1)给每一个全称事实句指派非零的先验概率。(2)在确证过程中，如果证据里出现了全称概括所不允许的Q谓词的事例，则该全称概括立刻被证伪。例如，用公式(10)中的构件表达全称命题“所有的渡鸦都是黑的”，如果出观了Q[,3]的事例，即观察到非黑色的渡鸦，则该构件立刻被证伪，其后验概率（确证度）为0。(3)随着所观察的对象数量的增加，那个恰好与证据相符的构件的后验概率增加，其余构件的后验概率降低。当证据的数量无限增加时，与证据相符的构件的后验概率趋近于1，其余构件的后验概率趋近于0。 我们对卡尔那普的λ系统与欣迪卡的α—λ二维系统进行比较。在计算假说的确证度时，卡尔那普用的是条件概率的公式，欣迪卡使用了贝叶斯定理。如果把一个构件看作一个坛子的话，那么卡尔那普的理论相当于给出了一个坛子，因为λ系统约定每一个Q谓词具有相等的先验概率，这就假定了含有全部Q谓词的那个构件为真。而欣迪卡的理论则相当于给出了由若干个坛子组成的一个集合。卡尔那普的λ系统被欣迪卡的二维系统所包含，是二维系统的一种极端的特殊的情况。 另一个有名的系统是K维系统，这个系统是沿着卡尔纳普λ系统的思路，对卡尔纳普的工作进行改进。K维系统最初是由欣迪卡和宁尼鲁托共同提出的，后来，宁尼鲁托对它进行了概括、修改和扩充。K维系统不像欣迪卡的二维系统那样结构简明，而是有大量的公式，大量的推导，以及公式的反复叠代，使人不容易抓住要点。K维系统有两个最重要的假设，一个叫作c原则，另一个是对称性假设。 先看c原则。前面说过，卡尔那普将单称预测假说的确证度写成c(h[,i],e[,i])或c(Q[,i](a[,s]+1),e)，下面把它写作P(Q[,i](a[,s]+1)/e)。有了计算单称假说确证度的方法，利用乘法定理，可以计算出系统中任何一个状态描述的先验概率，从而确定每个语句的先验概率，进而计算出任一证据对任一假说的确证度。计算单称假说确证度的方法不同，所得出的其他假说的确证度也不同，因此欣迪卡和宁尼鲁托把刻画单称假说确证度的函数叫做特征函数。卡尔纳普认为单称假说的确证度是经验因素S,S[,i]和逻辑因素K的函数。用n代替S表示证据中个体的总数，用n[,i]代替S[,i]表示样本中属于谓词Q[,i]的个体的数目，特征函数可以表示为f(n[,i],n,K)。因为Q谓词的总数K是确定的，所以可将f(n[,i],n,K)简单地写作f(n[,i],n)。 在卡尔那普的系统中概率P(Q[,i](a[,n+1])/e)是ni,n和K的函数，宁尼鲁托把这个命题叫做λ原则。他认为，要想解决无穷论域中全称概括概率为0的问题，必须更换λ原则。因为这个原则是基于“枚举”的思想，只利用了证据中谓词Q[,i]的相对频率n[,i]/n，没有考虑证据中被例示的Q谓词的种类c。证据中被例示的Q谓词越多，c越大，被e证伪或“消去”的全称概括越多，这涉及“排除归纳”的思想。宁尼鲁托认为数目c应当在归纳概括的理论中起重要作用。于是提出c原则来代替λ原则。c原则可以简略地表示为：概率P(Q[,i](a,[n+1])/e)是n[,i],n,c和K的函数。当K确定以后，特征函数可以表达为三元函数f(n[,i],n,c)。 再看对称性假设。对称性假设由下面的公式表达： f(n′,n,c)·f(n″,n+1,c)=f(n″,n,c)·f(n′,n+1,c) 公式表现这样的思想：当连续考察两个新的个体时，可以有两种顺序。一种是第一个对象属于在样本中有n″个事例的Q谓词并且第二个对象属于有n″个事例的Q谓词；另一种正好相反，第一个对象属于有n″个事例的Q谓词，而第二个对象属于有n′个事例的Q谓词。这两种情况出现的概率是相同的。这个假设在K维系统中起重要作用。 经过一系列繁复的推导后，欣迪卡和宁尼鲁托证明了，特征函数f(n[,i],n,c)是f(0,c,c),f(0,c+1,c+1)，…，f(0,K-1,K-1)的函数。通过f(0,c,c),f(0,c+1,c+1)，…，f(0,K-1,K-1)和参数λ可以确定特征函数f(n[,i],n,c)的值，从而确定一种计算语句确证度的方法。因此欣迪卡和宁尼鲁托把它们作为K维系统的参数。他们提出以下定理： f(0,c,c)(c=1,2,…,K-1)和λ可以作为K维系统的独立的自由参数。 可以这样理解f(0,c,c)：样本中共有c个对象，每个对象满足一个Q谓词，恰有c个Q谓词被例示，f(0,c,c)表示下一个对象满足一个未在样本中出现的新的Q谓词的概率。c可以取1～K-1的整数为值，加上参数λ，一共有K个参数，这就是K维系统名称的由来。 K维系统中的全称概括句也用构件来表示。计算构件的确证度时要使用特征函数f(n[,i],n,c)，因而要用到参数f(0,c,c)。如何选择f(0,c,c)的值呢？在卡尔那普的理论中f(0,c,c)的值用λ公式计算，这样最后计算出的全称概括句的确证度为0。用欣迪卡和宁尼鲁托的说法，卡尔那普的λ系统代表了关于归纳概括的一种最悲观的可能的策略。要想使全称概括句的确证度大于0，就要使参数f(0,c,c)的值小于它的卡尔那普值，或者说要选择比卡尔那普的值“更乐观”的值。欣迪卡和宁尼鲁托证明了，当λ≥K,1≤c 除二维系统和K维系统外，还有一些概率逻辑系统能使无限全称命题具有大于0的概率。这里特别要提到我国学者陈克艰，他在1986年对卡尔那普的λ公式进行改进，将λ公式中经验因素的权重取为S[2]（卡尔那普将其取为S）逻辑因素的权重仍像卡尔那普一样取为任一正常数。这样，在无穷个体域中，在不出现反例的情况下，相应的全称假说可以获得非零的确证度，并且随证据的增加，全称假说的确证度也增加。 由此可见，“无限全称命题概率为零”问题是在归纳概率逻辑发展早期（20世纪40年代到50年代初）由于理论不成熟而产生的问题，这个问题在70年代左右已经解决了。 四、概率逻辑与归纳推理 有学者认为，概率逻辑研究的是随机过程，不应该用概率逻辑解释归纳逻辑。归纳逻辑的题目太大，不是一下子能说清楚的，我们还是看概率逻辑与归纳推理的关系。主要有四种归纳推理：枚举归纳法、排除归纳法、假说演绎法和类比推理。这些推理分别有自己的特点。在现代归纳逻辑的各种理论中，有的理论成功地刻画了枚举归纳法，有的理论很好地刻画了排除归纳法，还有的理论刻画了假说演绎法。但是到目前为止，还没有一个归纳逻辑系统能全部刻画这些归纳推理。概率逻辑的各种理论主要是刻画枚举归纳法。 枚举归纳法包括许多推理形式，通常把枚举归纳法分为传统的枚举归纳法和统计归纳法两类。传统的枚举归纳法包括简单枚举法和预测推理。简单枚举法的结论是全称命题“所有S都是P”。预测推理是从某类事物的一个已知的真子集到该类事物另一个未知的真子集的推理，单称预测推理是典型的预测推理，其形式为：“已考察过的S都具有属性P，所以，下一个将要考察的S也具有属性P”。传统的枚举归纳法不允许前提中出现反例，统计归纳法的前提中有正例，也有反例。统计归纳法也分为两种，一种推理的结论涉及某类事物的全体，其形式为：“百分之多少的S是P”，另一种为预测推理。 简单枚举法是一种最基本的归纳推理。这种推理的特点是，遇到一个反例，结论立刻被推翻；在没有反例的情况下，随着观察到的正面事例数量的增加，结论的可靠性也增加。有不少学者把简单枚举法看作归纳推理的代表，莫绍揆先生所说的归纳法就是简单枚举法。在概率逻辑诸理论中，经验主义学派和主观主义学派的理论都是刻画统计归纳法的，这些理论不能刻画简单枚举法。逻辑主义学派的理论中，卡尔那普的理论很好地刻画了预测推理，但是由于“无限全称命题确证度为0”问题的困扰，也未能刻画简单枚举法。欣迪卡和宁尼鲁托的理论都能刻画简单枚举法和预测推理，而欣迪卡的理论更加简单、清晰。 最后，我们简单谈谈概率逻辑的意义或价值。宁尼鲁托把归纳逻辑分为纯理论的归纳逻辑和应用的归纳逻辑。我们认为，宁尼鲁托的看法有一定的道理。概率逻辑中有的理论已经得到了实际的应用，比如主观主义学派的理论被用来处理决策问题，形成了贝叶斯决策理论。逻辑主义学派理论的意义主要不在于实际应用，而在于理论上的价值。这些理论为归纳法的合理性提供了逻辑的支持，从而为经验科学的合理性奠定了逻辑基础。但是理论和应用之间并没有绝对的界限。我国人工智能界有学者用卡尔那普的理论来解决机器学习中的问题，使这一理论向实际应用方面迈进了一步。
