“两个平面平行的性质定理”的教学实录与反思，本文主要内容关键词为：定理论文,平面论文,性质论文,两个论文,教学实录论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、基本情况
1.学情分析
2005年的姜堰市第二中学高二(9)班，是学校理科素质较好的班级。该班学生上课思维活跃，敢于质疑，相互研究、交流的氛围浓，并勇于表达自己的思想。
由于我在教学过程中重视学生的探索活动的展开和思维过程的暴露，学生已习惯于开放性地学习新知识：不看教材中的现成答案，只看研究的内容或教材中的问题情境，再开始探究性的思维活动。在前面学习“直线与平面平行的性质定理”内容时，我就让学生先研究问题“如果直线α∥平面α，你能得到哪些结论？（即直线与平面平行的性质）”，而学生已经得到了不少的结果。因为证明这些命题需要一些当时还没有学习过的知识（如线面垂直的判定定理与性质定理），我就让学生记下这些命题，留待学习了后面的相关内容后加以证明。最后从逆命题的角度审视“线面平行的判定定理”（多数性质下，性质定理与判定定理是成对出现的），进而研究了“线面平行的性质定理”。
2.教材分析
(1)面面关系的基础是公理2。从两个平面的位置关系看，公理2是两种位置关系的分类标准；从研究两个平面的位置关系的理论依据看，公理2为判断两个平面平行提供了最初的根据：没有公共点，也为两个平面相交关系的研究与应用提供了方法基础（判定面面相交，只要确定它们有公共点即可；证明空间点共线、线共面都可转化为运用公理2，而作线面交点、面面交线的依据也都是公理2）。事实上，两个平面平行的判定定理和性质定理成立的基础都是公理2。
(2)“两个平面平行的性质定理”是在学习了空间直线的位置关系（包括公理4）、直线与平面的位置关系的基础上进行的，对平行关系而言是对线线平行、线面平行以及面面平行三种位置关系的知识结构进行系统建构的时机。
(3)面面平行的位置关系所具有的性质是研究平面与平面之间的度量关系的转化依据（两个平行平面之间的距离可以转化为线线距、点线距；面面角可以通过面面平行的性质进行灵活转化）。
教学目标：
(1)通过对两个平行平面的性质的探求，掌握两个平行平面之间的基本性质，建构这些性质之间的逻辑关系；
(2)掌握两个平面平行的性质定理及其证明方法；
(3)能初步运用两个平面平行的性质定理证明一些简单问题。
教学重点：
(1)两个平面平行的性质定理及其证明；
(2)两个平行平面的性质及其之间的关系的探究；
(3)两个平面平行的性质定理的建构过程；
(4)初步运用两个平面平行的性质定理证明一些简单问题。
教学难点：
(1)两个平行平面的性质及其之间的关系的探究；
(2)两个平面平行的性质定理的建构过程。
二、教学过程
师：上节课我们学习了两个平面的位置关系及两个平面平行的判定定理。请大家回忆一下，空间中两个平面有哪些位置关系？如何判定？
生1：空间两个平面有两种位置关系：相交和平行。当两个平面有公共点时，它们就相交，并且所有的公共点都在同一条直线上，这条直线就称为这两个相交平面的交线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面平行。判定两个平面相交只要证明它们有公共点就可以了；判定两个平面平行通常用两个平面平行的判定定理。
师：是否还有其他想法？
生2：可以用教材上的例1的结论证明面面平行：垂直于同一直线的两个平面互相平行。
师：很好！你们能将上面的平面与平面的位置关系、判定两个平面平行的判定定理用适当的图形表示出来吗？能根据图形用符号语言加以表述吗？
（学生纷纷思考、动手作图。最后我请了两个学生分别作出表示面面相交、面面平行的图形，另请2个学生分别作出两个平面平行的判定定理和教材例1的示意图，并请他们用符号语言表述相应的内容。）
师：以上是我们上节课学习的内容。根据我们的经验，接下来我们应该研究怎样的问题呢？
生3：两个平面平行的性质定理。
师：为什么要研究这个问题呢？
生3：我们以前学习几何时，在学习过判定定理后都是接着学习性质定理的。
师：经验倒挺丰富呢！其实，我们构造任何数学模型，都是为了解决相应的实际或数学问题，为此，就必须了解数学模型所具有的性质、特征。几何如此，代数、三角也是如此。
现在请思考：平行平面有哪些性质呢？
（学生开始思考，大约五、六分钟后有些学生开始相互讨论，大约经过了八分钟的时间，我请学生汇报研究“成果”。）
生4：当两个平面平行时，其中一个平面内的直线都平行于另一个平面。
（接着请他画出了相应的示意图，即图1。）
图1
师：你是怎么想到的？
生4：我是由两个平面平行的定义得到的：如果平面α∥平面β，直线a
平面α，那么由平面α与β没有公共点可知直线a与平面β也没有公共点。
师：非常好！这就是这个命题的证明。我们不妨将其记作“性质1”。
（让这个学生写出相应的证明过程。）
生2：分别位于两个平行平面内的两条直线，或互相平行，或相互异面。
师：为什么？
生2：因为这两个平面互相平行，所以它们没有公共点，故而，分别位于这两个平面内的直线就一定没有公共点了。
师：很好！这两条直线只有两种可能的位置关系：平行或异面。换句话说，就是：如果这两条直线共面，那么，它们就一定平行。于是这两条直线可以看成第三个平面与这两个平面的交线，从而可以将这个命题表述为：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行。
（我将这性质记为“性质2”，并写在黑板上。）
师：好，下面请大家将所有的“发现”都展示出来。
生5：当两个平面平行时，一个平面内的所有点到另一个平面的距离都相等。（性质3）
生1：两条平行直线被两个平行平面截得的线段长相等。（性质4）
生6：如果两个平面互相平行，那么当第三个平面平行于其中一个平面时，也平行于另一个平面。（性质5）
生7：一条直线若垂直于两平行平面中的一个平面，一定也垂直于另一个平面。（该生还叙述了下面一个性质：一个平面若垂直于两平行平面中的一个平面，一定也垂直于另一个平面。我说明：面面垂直是后面要学习的内容，本节课上暂不研究）。（性质6）
生8：如果一条直线和两个平行平面中的一个平面相交，那么也一定和另一个平面相交（性质7(1)）；如果一个平面和两个平行平面中的一个平面相交，那么也一定和另一个平面相交（性质7(2)）……
（学生边叙述，我边板书，并从生5的发现起分别记为“性质3”、“性质4”、“性质5”、……）
师：好的，我们发现了这么多的“性质”，现在的问题是：你准备选择哪个或哪些作为两个平面平行的性质定理呢？
部分学生：最重要的！
另有学生：最基本的！
师：究竟哪个是最“重要”的呢？“重要”的标准是什么？哪个最“基本”？“基本”的标准又是什么呢？不妨请大家将这些“性质”证明一下。其中学生8提出的事实上是两个命题，这两个命题的证明相对复杂一些，暂不作要求。
（分组证明，并请各组派代表到黑板上写出本组负责的命题的证明过程。在独立思考、小组合作及老师的适当点拨下，各组基本上完成了本组命题的证明）
师：请大家认真分析每个组的证明过程，首先，证明是否正确？其次，你能从这些证明过程中看出这些“性质”中哪个最重要、最基本？
（学生经过观察发现：从“性质3”到“性质7”，每个证明过程都需要经历性质2的证明过程，于是大家会心地笑了起来：用性质2作为两个平面平行的性质定理最合理！）
师：好的！我尊重大家的意见，我们的教材也尊重了你们的意见，就用性质2作为两个平面平行的性质定理！
（板书课题，再作出图示，板书定理，分别用自然语言、符号语言进行表述，再让学生写出规范的证明过程。）
师：请大家再类比直线与平面的位置关系中的相关研究，从性质3引出相应的数学概念。
生5：两个平行平面的距离的概念：我们将一个平面内的点到另一个平面的距离称为这两个平行平面的距离。
（在学生5的基础上，我让学生看教材第32页：两个平行平面的公垂线、公垂线段及两个平行平面的距离等概念，并写到黑板上。）
师：好了，现在我们完成本节课的学习任务：两个平面平行的性质定理。下面我们再回顾一下学习过程。（回顾过程略）
下面请大家再来研究学生8提出的性质7。
（我引导学生：如果不相交会出现什么情况呢？学生思考、讨论后，通过反证法加以解决。证明过程中均用到了两个平行平面的性质定理，再次强化了性质定理的基础性、重要性。过程略。）
师：下面我们布置课后作业：
作业1。现在我们已经学习了线线平行、线面平行和面面平行的所有内容，空间平行的三种位置关系之间有怎样的内在联系？如果可能，可以用一个图表表示这种联系。
作业2。教材第32页习题9.5第6、第9题。
三、回顾与反思
1.设计思路
在设计本节内容的教学过程时，我决定运用以探究为主的发现法教学方法，让学生经历探究与发现的过程。主要依据有以下几个方面：
一是基于我对学生的了解。这个班级的学生是我从高一带上来的，我知道他们的已有经验、能力完全能够胜任发现法学习所需要的条件。
二是基于我对数学教学的基本认识：数学教学既要培养学生的思维能力，又要培养学生主动探究的思维习惯，还要感受数学的基本思想，把握数学本质。本节课的实践表明：发现法的学习过程不仅让学生经历了数学的发现与建构过程，而且充分体会了数学知识体系的建构原则（一种在公理化思想指导下的，努力追求理论结构中基础原理的“经济性原则”）：两个平面平行时可以有很多性质，为什么要选取“这一个”作为“性质定理”呢？这个性质定理与其他性质之间必然存在内在联系，而正是这种内在联系决定了它们在知识结构上的逻辑关系，这种知识结构上的逻辑关系也就决定了学生学习时完全可以实现思维结构上的逻辑关联，于是就能够实现知识结构与思维结构的有机统一。
三是经历性质定理的“选择”过程不仅是一个发现的过程，不仅有助于学生从整体上建构数学知识体系，也不仅是对学生思维的有益训练，更是让学生在经历了“数学”的建构的过程中感受数学的“理性”精神。
四是将教学过程设计成数学研究方法的学习过程。事实上，大量的已有学习经验已能够让学生感受到了数学研究的一种重要的程序（图2）。
图2
五是将知识体系的建构贯穿学习过程的始终。首先是对已经学习过的相关知识的回顾，这不仅是为学习新知识做准备，也是让学生将这些内容作为一个完整的知识体系来认识（概念—判定—性质）；其次，参与建构两个平面平行的性质的逻辑结构体系（思维过程：大量性质—最基本的性质；逻辑结构：最基本的性质—大量性质）；最后，让学生对所有学习过的平行关系（线线、线面、面面平行）之间的相互关系进行梳理、整理，建立更大系统内的结构体系。
2.反思
从教学的过程与结果看，这节课基本实现了我的设计意图。课堂进展顺利，学生都能够通过自身的努力和合作、交流有所收获，几乎每个学生都得到了自己“发现”的两个平面平行的性质，也都经历了从很多的性质到合理“选择”出“性质定理”的过程。这节课的收获不仅是知识的增加，思维的训练和素养的提升（这些当然都很重要），更重要的是学生都有成就感：自己不仅“发现”了很多的知识，而且通过自己的努力建立了数学的知识体系。
由于时间有限，未能让学生都经历各个已探知的“性质”的证明过程，从而降低了对“共同需求”或“共同起点”的强烈“冲击”的感受。如果这种感受足够强烈，对形成数学体系的“原则”、合理性及知识体系的逻辑联系就会有更深的认识。这让我感到有点遗憾。
另一方面，在教学过程中对性质1和性质2的探索、发现的思维过程进行了充分的暴露（通过演绎的逻辑探索方法得到的），但对其他的各个性质未能将探索的思维过程暴露出来，只出示了结论，这种做法影响了本节内容的教学价值的最大限度发挥，在思维方法的教学上不够到位。我认为，“发现法”教学法的本质应该表现为通过探究、发现的过程形成探究和发现的自觉意识，掌握科学探究的思想方法，提高科学发现的能力。