新课程立体几何导论教学中的四个典型问题及对策_立体几何论文

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2004年秋季开始，高中新课程实验启动；至2010年秋季，全国31个省（直辖市、自治区）全面进入实验。高中数学教学内容和结构发生了很大的变化，其中立体几何分为必修2的立体几何初步（18课时）、选修2-1的空间向量与立体几何（约12课时，仅供理科生学习）两部分。

为了降低立体几何学习的门槛，减轻立体几何学习负担，更好地发展学生的空间想象能力，课程标准建议，必修2“立体几何初步”采用从整体到局部的结构体系，先讲空间几何体，在空间几何体中侧重空间观念的培养；再讲点、线、面的位置关系，在点、线、面的位置关系中侧重培养逻辑推理能力。同时，在学习过程中适当加强观察与猜想、归纳与概括的分量，以培养学生的合情推理能力，从而更好地、更全面地发挥立体几何在培养学生思维能力中的作用。那么，这种教学理念在新课程实验中落实情况如何？一线教师的反响如何？本文针对这一问题进行调查与分析。

一、必修2“立体几何初步”教学存在的典型问题

我们在2010国家级高中数学骨干教师培训班（华南师范大学培训点）上，对来自广东、陕西、新疆、甘肃、贵州等五省区的学员进行了调查与访谈，其中广东2004年、陕西2007年、新疆2008年、甘肃与贵州2010年分别进入新课程实验，选用的必修2教科书覆盖了实验教材的主要版本，因此，调查与访谈的结果在全国具有较好的代表性。学员们认为，必修2“立体几何初步”教学存在的问题既有新困惑，也有老疑难，主要集中在以下四个方面。

1.教学课时不足

在回答“您认为课标版‘立体几何初步’章节大概需要多少课时”时，37位接受问卷调查的学员中，仅有3位选择需要18个课时，约占8%；有13位选择需要24个课时，约占35%；15位选择需要28个课时，约占41%；6位选择其他，约占16%。

由于新课程实验教材采用模块化结构编写，每个模块大约用36个课时完成，而必修2“立体几何初步”仅占半个模块，因此，教学课时必须限制在18个左右。若以每周4节课为标准，学生需要在一个半月的时间里，快速建立起良好的空间观念，并掌握点、线、面位置关系的基本推理方法。调查发现，只有极少数学校的数学周课时数为4节（约占8%），其中，周课时数为5节的约占41%，周课时数为6节的约占46%，周课时数为7节及以上的约占5%。即便如此，很多教师还是觉得时间不够用。

2.知识点存在跳跃现象

由于每一个模块都有课时限制，为了凑课时，模块内的知识点删减过度，出现了前后知识不衔接、知识跳跃现象。例如，在没有定义点面间距离、面面间距离时，需要计算柱体、锥体、台体的高；没有定义正棱柱、正棱锥、正棱台，但作图与计算中需要用到其性质；没有定义线面角，却出现“求证：平行线与同一个平面所成的角相等”等习题。这类问题给师生的教与学带来了极大的困扰，绝大多数教师在教学中做“加法”，补充了相关的知识点，这也导致教学时间紧张，不够用。

3.空间中直观与抽象、直觉与逻辑、归纳与演绎等关系难以把握好尺度

新课程实验在义务教育阶段就渗透空间观念的培养，初中生已经学习直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图和表面积计算，了解视图与投影的基本知识，初步掌握了基本几何体的三视图画法，为高中学习立体几何做了较好的铺垫。

无论是平面几何，还是立体几何，新课程实验都倡导采用“直觉感知，操作确认，思辨论证，度量计算”的方式组织学生开展学习。然而，由于立体几何研究的是三维空间图形，无法真实准确地画在一个二维平面上，只能画出其直观图，这就难免出现“失真”现象，如有时把直角画成钝角或锐角，不相交的直线画成相交直线，等长线段画成不等长线段等，这时，学生需要克服直观错觉的误导，在心中想象还原几何体的真实形状，同时，又要用抽象的符号语言来表示各种位置关系，进行推理与计算，因此，学生感到困难。

其次，必修2有关线面关系的判定定理用操作确认的方式不用证明的推理方式，虽然降低了学习难度，但是容易让学生误以为操作确认的结论可以直接当条件使用。那么哪些直觉猜想成立、简单操作后也成立的结论可以直接使用、哪些又需要逻辑证明呢？学生也存在困惑。

另外，必修2用长方体作为基本模型研究点、线、面的位置关系，往往采用不完全归纳法得到猜想，就推广得出一般结论，虽然培养了学生的合情推理能力，但是缺少演绎推理加以证明，学习过程不完整，对中上学生的学习也造成困扰。

4.平面几何知识的干扰

这是立体几何入门学习的老疑难问题。由于立体几何的研究范围由平面发展到空间，必然会导致几何图形的性质发生变化。如：在平面上，两条直线互相垂直必“相交”，而在空间，两条直线互相垂直未必“相交”。又如：平面上，“过已知直线上（或已知直线外）的一点，有且只有一条直线与已知直线垂直”，而在空间，却存在无数条直线与已知直线垂直。再如：平面上，“垂直于同一条直线的两条直线必平行”，而在空间，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面。另一方面，平面几何里的一些性质在立几里仍然成立，如：“平行于同一直线的两条直线相互平行”，这在平面和空间都成立。因此，在平面几何向立体几何过渡阶段，学生需要克服知识负迁移造成的学习干扰，这也成为学好立体几何的一大障碍。

二、新课程立体几何入门教学的应对策略

在调查“必修2‘立体几何初步’从空间整体到点、线、面的安排对教学的影响”时，有7位学员（约占19%）认为这种编排对教学不利，有19位学员（约占51%）认为这种编排对教学有利有弊，有11位学员（约占30%）认为这种编排对教学有利。总体而言，教师对新课程这部分内容的设计倾向于持肯定态度。对于如何更好地展开“立体几何初步”的教与学，教师意见主要可以归纳为如下四类应对策略。

1.适当推后立体几何学习，并拉长学习持续的时间

在调查“您认为课标版的‘立体几何初步’章节安排在高中的哪个时间段合适”时，仅有1位学员（约占2.7%）认为这一知识板块适合安排在高一上学期学习，有13位学员（约占35.1%）认为这一知识板块适合安排在高一下学期学习，有21位学员（约占56.7%）认为这一知识板块适合安排在高二上学期学习，有2位学员（约占5.4%）认为这一知识板块适合安排在高二下学期学习。总体而言，大部分教师认为立体几何入门的教学应该放在高一下学期或高二上学期，让学生的心理适当成熟点才更适合，因为立体几何比较抽象，对学生思维能力的要求较高。

其次，由于学生需要时间领悟、消化所学知识，有些教师在实践中尝试每周开设2节立体几何课程，适当拉长立体几何学习的持续时间，让学生在感知、实践、操作、计算、推理等学习过程中逐步内化所学知识，加深对知识的理解，从而取得较好的教学效果。

2.突出主干知识，枝叶部分在循环上升中理解并掌握

立体几何初步的主干知识是空间图形及其位置关系，教学定位是让学生在画图、识图、辨图的过程中认识空间图形及其位置关系，建立空间想象能力，并在几何直观的基础上，初步形成对空间图形的逻辑推理能力。至于点、线、面的判定定理和许多命题的证明，角度和距离的计算放在第二阶段“空间向量与立体几何”中学习，并采用新的方法处理。而在高中总复习阶段，又会对前两阶段的知识、技能与方法进行全面总结和提升。学生对知识的认识和掌握，就是在这种循环上升的过程中完成。因此，在必修2“立体几何初步”教学中，应重点培养学生的图形直觉意识和合情推理能力，指导学生掌握立体图形的画图技能和识别点、线、面位置关系的基本方法，切实降低逻辑推理的难度和计算难度，切忌按照总复习教学的要求一步到位。

另外，针对不同生源层次，教师在同一知识内容的教学要求上可以区别对待。例如，平行、垂直关系的判定定理，生源差的学校只需按课标规定的基本要求通过直观感知、操作确认等方法让学生知道并会使用即可；生源好的学校，在兼顾学生接受能力和课时量的同时，可以适当延拓加深，比如可通过说理甚至是证明等方法让学生理解。

3.恰当使用模型与实物、多媒体技术，丰富学生的直觉和感知

由于立体几何是在空间中研究问题，当空间中的实体被画在纸上时，图形就失去真实感，容易与平面图形相混淆，造成分析和思考上的障碍。要加强学生对立体图形的感知、识别、分辨能力，可以充分借助模型与实物、多媒体技术等工具来提高教学效果。

(1)借助模型与实物，强化空间感

在立体几何入门教学阶段，需要经过从模型、实物到图形，又从图形到模型、实物的反复训练，使学生见模型（或实物）即会绘图，见直观图即能想象并识别模型（或实物），使“失真”的图形变成“真实”的图形，不断增强学生的空间概念，这是学好立几的一个关键。伽利略说过：“人不可被教，只能帮助他发现自己”。

其次，同一个模型给出多种摆放方式，让学生从多个角度尝试画出该模型，可以加深学生对直观图特点的感知能力，并体会到不同角度作图中点、线、面位置关系的不变性，深化其画图技能。

图1 图1-1 图1-2

图1-3 图1-4

分析：有的学生说书上的题目都会，可是一做课外题常常不知从何下手，读完题后画出来的图立体感不强，想的与画的不一样，这说明学生尚没有找到画立体图形直观图的有效切入点，而这种技能需要在动手画图中不断训练才能形成。本例是长方体的简单变式，让学生从不同视角去观察这个几何体，并画出其不同视角的直观图，感知不同视角下的平行关系表达形式始终不变、而垂直关系的表达形式却多样，需要仔细识别，以排除图形失真的干扰。图1-4则引导学生感知，当在平面内运动，且与AB不垂直时，多面体始终是直棱柱，可以借助图1-4进行研究。经过类似的题组训练，学生在自我探索的过程中，就会积累起立体图形的作图、识图经验，形成良好的图形直觉，建立起空间观念。

(2)借助信息技术，展现立体图形的空间效果

在立体几何初步的教学中，有条件的学校可以借助几何画板、超级画板和PPT，帮助学生直观感知立体图形的空间效果，强化空间意识。特别是在几何体三视图和直观图的制作过程中，运用信息技术工具，可以动态演示立体图形与平面图形的关系、立体图形的形成过程，帮助学生建立空间观念，提高空间想象能力和几何直观能力。

另外，几何画板（或超级画板）均可以通过基本的图形点、线、圆构造出需要的几何图形，任意拖动图形、观察图形。因此，在教学过程中，可以通过动态演示，组织学生开展观察、探索、发现、猜想等多种学习活动，增加学生对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景知识，引导学生在变动的状态下揭示图形中点、线、面不变的位置关系与数量关系，有助于学生的理解和证明。

例2 设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边中点，P、Q分别是两条对角线的中点，试判断EG、FH、PQ三线的位置关系。

图2-1 图2-2

分析：本题是立体几何入门教学中一道经典习题。学生在根据条件画图时，常常会出现类似图2-1中呈现的重要线段貌似重合、关键点不共线却画成了共线、立体感不强等系列问题，如果运用几何画板的移动功能，拖动顶点A，看看点A放置在什么范围时，画出的直观图更富有立体感、更能清晰地表达出点、线、面的位置关系，就比教师直接给出图2-2的教学效果要好很多。另外，在点A运动的过程中，学生也会发现三线共点这一现象，这个发现是否具有巧合呢？再引导学生给予证明，就可以让学生体会到直觉与逻辑、合情推理与演绎推理是数学学习过程中必须结合使用的有效方法。

4.运用图形变式，丰富学生识图经验，开阔学生的思维

立体几何入门难，难在建立空间观念。学生受平面几何思维定势影响，画不出空间图形，或是对照图形，理不清其中的线面关系。针对这一问题，在教学中可以有意识地强化立体图形的变式，一方面通过合理变换图形的放置位置，让学生从多角度、多方位观察、比较、辨析各种空间形式，选择较好的画图角度；另一方面，可以通过变式题组，引导学生总结归纳常见的图形变化规律，并通过计算来进一步完善对图形的认识，过好几何入门关。

例3 已知：正三棱柱的底面边长与高均为2，求过其底面一边且与底面成60°的截面面积。

图3-1 图3-2 图3-3

分析：解答本题的关键是正确画出三棱柱的直观图。大多数学生容易画出图3-1，从而算得截面面积为。由于截面与底面成60°，画出的截面应该是梯形，如图3-2，而学生在计算前难以想到截面的形状，因此，如何画正三棱柱才能帮助克服想当然的思维误区，成为一个学习关键。本题应引导学生思考，将三棱柱换一个视角呈现，如图3-3，这时截面与底面所成的60°“失真”不大，作图与计算相结合，就可以较快地调整解题思路，画出正确的截面，得出正确的答案。

分析：本题也是立体几何入门学习中的一类经典问题，所用的方法则揭示出立体图形与平面图形的转化关系。在将长方体的侧面展开过程中，有三种展开方式，需要学生通过动手画图、计算比较，才能得出结果。这类问题的研究可以促进学生进一步加深对立体图形平面化研究方法的认识与运用。下面再给出两个变式问题，供学生巩固与总结使用。

变式1：（2006江西）已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点，求最短路线长。（图5）