湖南省长沙市雅礼中学 湖南 长沙 410007
摘要：早在初中，我们就接触过大量的向量知识，这也是现代数学的标志，向量为我们的几何学习提供了代数化与程序化方式，将抽象的数学知识简单化，转化为代数问题，是我们解决几何问题的有益工具。本文主要针对向量在立体几何中的应用展开分析。
关键词：向量；立体几何；应用体会
向量是高中数学中很重要的一部分，并且早在初中的时候就已经对向量有了初步的了解。向量分为平面向量和空间向量，其之所以重要，是因为在解决许多问题的过程中都要用到向量。向量的应用范围是十分广泛的，尤其是在立体几何中的应用。本文笔者将从向量方法解决证明问题的直接应用和向量方法解决度量问题的直接应用两个方面来分析一下向量在立体几何中的应用。
一、向量方法解决证明问题的直接应用
向量在解决几何中的证明问题时，一般会用来证明平行和垂直，以及解决角的问题。在解决不同问题的过程中，其解题思路有很大的差异。下面将依次介绍一下向量在解决证明问题中的各种思路。
（一）证明平行
在证明平行时，一般分为证明两直线平行、线面平行和面面平行三种情况：
1.在证明两直线平行的时候，只要在两直线上分别取两点得到两个向量之后，再证明两个向量平行即可。而两个向量平行反映在代数上就是两个向量的乘积为两个向量长度的乘积之和。
2.在证明线面平行时有两种思路。第一种思路是首先求得面的法向量，然后再从直线上找两点得到另一个向量，只要证明两个向量垂直（乘积为零），即可证明线和面垂直；第二种思路是将线面平行转化为两直线平行，即证明面外的线与面内的线平行来证明线面平行。
3.在证明面面平行时也有两种思路。第一种思路是求两个面的法向量，然后转化为证明两个法向量平行，即可证明两个平面平行；另一种思路为先求得一面的法向量，然后再证明法向量分别与另一面的两条相交直线垂直，则可证明两个平面平行。
（二）证明垂直
在证明垂直时，也分为三种情况，即证明两直线垂直、线面垂直和面面垂直：
1.在证明两直线垂直的时候十分简单，只要证明两直线的方向向量的乘积为零即可。
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2.在证明线面垂直的时候，首先要找到直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）和平面的法向量。若这两个向量平行，就可以证明线面垂直。
3.在证明面面垂直的时候有两种思路。第一种是分别求得两个平面的法向量，如果两个法向量的数量积为零则可以证明两个平面垂直；另一种方法是首先求得一平面的法向量，然后再根据上文提到的方法来证明法向量与另一平面平行，即可证明两平面垂直。
（三）处理角的问题
运用向量处理角的问题时，可以将这些问题归为三类，求异面直线所成的角、求线面角和求二面角：
1.求异面直线所成的角，首先在两个异面中分别找到一条直线的方向向量，然后再根据向量公式求得两向量之间的大小。则异面直线所成角的大小与向量夹角的大小相等或互补。
2.求线面角的方法，首先要找到直线的方向向量与平面的法向量，在求得两向量的夹角之后便可求得线面角的大小。应该注意线面角的大小与两个向量的夹角互余。
3.求二面角的方法是构造二面角两个平面的法向量，如果二面角为钝角，则其大小为两法向量夹角的补角；如果为锐角，那么二面角的大小与两个法向量的夹角相等。
二、向量方法解决度量问题的直接应用
在立体几何中所涉及到的度量问题一般分为两点间的距离、点与直线的距离、点到面的距离、两异面直线的距、求面积和体积等。由于具体问题具体分析，所以有些方法要以例题的形式来理解，本文就不便于一一呈现了。下面将简要地分析一下比较通俗易懂的解题方法。
在求两点间的距离时，应该将两点的距离转化为求向量的长度，利用公式就可以求出两点间的距离。在求点到面的距离时，首先要求出平面的一条法向量，然后再在平面内任取一条向量，再求得平面内的向量在法向量的投影长度后再套用公式就可以得出结果了。求两异面直线的距离时，首先要找到与两异面都垂直的向量，然后再在两直线上分别取一点，套用公式后就可以求出距离了。
三、结束语
总而言之，向量在立体几何中的应用是十分广泛的，不管是在证明，还是在计算的问题上。通过以上的分析可以发现，向量是代数与几何形式的结合体，它可以通过代数的形式来解决几何问题，使其代数化。在用传统的方法解决立体几何问题时，过程往往很繁琐。若用向量来解决，则过程会被大大地简化，并且思路更加清晰，便于理解。所以，运用向量来解决立体几何问题成为了大多数学生的最佳选择。
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[5] 王述金. 平面法向量在高考立体几何中的运用[J]. 数学学习与研究(教研版). 2009(06)
论文作者:席钰雯
论文发表刊物:《科技中国》2016年12期
论文发表时间:2017/3/15
标签：向量论文; 立体几何论文; 直线论文; 平面论文; 两个论文; 思路论文; 距离论文; 《科技中国》2016年12期论文;