高中数学解题思维障碍的策略研究_数学论文

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《普通高中数学课程标准（实验）》强调：高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.这些过程是数学思维能力的具体体现，因此，在平时的数学教学过程中，应该加强学生数学思维能力的训练，尤其要善于引导学生克服数学解题过程的思维障碍，以提高学生的数学思维能力.鉴于此，本文总结了几种打破高中数学解题思维障碍的实用策略，供大家参考.

一、逆向思维策略

在数学解题的过程中，有些问题直接求解会遇到较多思维障碍，这时可考虑改变思维的方向，逆向而行，即从结论着手，通过对结论的分析，执果索因，寻找解题途径.

问题1：（2011年广东省广州市第二次高考模拟理科数学第21题）已知函数f（x）=ax+xln x的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3.

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若k∈Z，且对任意x>1恒成立，求k的最大值；

（Ⅲ）当n>m≥4时，证明：

解：（Ⅰ）a=1；（Ⅱ）k的最大值为3.（过程略）

障碍分析：一是观察不出第（Ⅲ）问与第（Ⅰ）、（Ⅱ）问有何关系；二是直接证明不知如何下手，毫无头绪，大部分学生直接放弃.

破障策略：利用逆向思维策略，变换视角，从待证结论出发，顺次寻找结论成立的充分（充要）条件，直至题设或出现显然的数学事实.

评注：除逆向分析法外，当遇到一些难度较大的探索型开放题，如存在性问题，可采用逆向推理法，即从问题结论出发，假设问题结论存在（成立），结合题设条件，逆向推理或演算，找到确切的数值或明显的矛盾，使问题获解；当遇到结论的正面不易证明时，可采用反证法；当结论的正面比较复杂，而反面比较简单时，可采用反面求补法，即求结论的补集.

二、模式识别策略

问题2：（2011年广东省湛江市第二次高考模拟考试理科数学第21题）已知函数f（x）=ln x，g（x）=，其中k>0，若函数q（x）=f（x）-g（x）-在区间（1，2）上不单调，求k的取值范围.

障碍分析：不清楚“不单调”与求单调区间之间的关系，不明确“不单调”的含义是什么.

破障策略：利用模式识别策略，检索“函数q（x）在区间上不单调”这句话是否在以往解题过程中出现过，在以往的解题中，我们研究过“三次函数存在极值”的有关问题，毫无疑问，这两者之间有某种等价关系.于是就实现了模式识别，即意味着q'（x）在区间（1，2）上有解且无重根.这是第一步的模式识别，也是解题的关键.进一步，q'（x）=，也即-kx+1=0，x∈（1，2），这个含参的二次方程有解且无重根.对于“含参二次方程有解”问题，又需要新的模式识别——方程与根的关系，或者说涉及“方程根存在”的问题，这是一个在复习中必须重点关注的问题.

解法1：令h（x）=-kx+1，于是可以分三种情况：

（1）h（x）=0在（1，2）上有唯一解，则h（1）·h（2）＜0，解得2＜k＜；

（2）若h（1）=0或h（2）=0，没有满足题设条件的k；

（3）若h（x）=0在（1，2）上有两个不等实数解，则h（1）>0，h（2）>0，1＜＜2且Δ=-4>0同时成立，显然无解.

综上可得，k的取值范围为（2，）.

进一步思考，这里的模式识别为问题的解决提供了重要的指向性支撑.当然，不同的学生的模式识别是不一样的，这也是对数学解题注重解答多样性与能力关系最好的注解.事实上，对于本题，有的学生注意到了目标方程“-概+1=0的两根之积为1”，这时的模式识别就是利用零点存在性定理求k（无疑这是一种数式感受能力的反映），如此一来避免了繁复的分类讨论.

也有的学生模式识别为“分离参变量，化归为求函数的值域”，得到如下解法.

评注：“模式识别”就是将新的问题化归为已经解决的问题.有两个具体的途径：（1）化归为课堂上已经解过的题.因为课堂和课本是学生知识资源的基本来源，是学生解题依据、解题方法获得的主要途径，也是学生解题体验的主要引导.（2）化归为往年的高考题（或其变形）.

通过上述解答可以看到，模式识别既可以产生于问题解决之初的审题阶段，也可以产生于解题的过程中间，关键是在解题的过程中不断地沟通目标结论或结构与已有知识结构之间的关联，进而识别，改进，以至于推进.

三、情境转换策略

问题3：（2010年北京市海淀区高考数学模拟试题）已知函数f（x）=a+b-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0.

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围.

（第（Ⅰ）问的解决需要的仅仅是求切线的基本方法的模式识别，不难得到f（x）=-3x）

障碍分析：不理解“过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线”是什么意思？从而不知如何解答.

评注：情境转换策略就是将原情境进行转换，转换到熟悉的领域.常见的转换途径有：（1）把一个领域的问题用另一个领域中的方法来解决.如代数问题几何化、几何问题代数化、正与反的转换、数与形的转换、整体与局部的转换、常量与变量的转换等；（2）换一个说法，如语言的转换，即将抽象的数学语言转换到熟知的语言领域来解决，如方程有解问题转换为函数零点问题，函数零点问题转换为两个函数图象交点问题等.

四、联想迁移策略

问题4：如下页图，小圆圈表示网络的结点，点之间的线段表示它们的网线相联，连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）.

A.26B.24C.20D.19

障碍分析：这是一道颇具时代气息的高考数学创新题，属线性规划范畴，很多考生读不懂题意.

破障策略：利用联想迁移策略，转换思维角度，将信息传递联想为水的流动，构造一条虚拟的河，化生为熟，立即明白最大流量就是每条线路的最小流量和，从而轻松地获得正确答案为D.

评注：联想迁移策略就是将条件和结论与数学各分支中不同的数学知识、数学方法乃至各相关学科或现实生活中的其他知识，通过充分展开接近联想、相似联想、对比联想，有效地使思路畅通，甚至诱发直觉、顿悟，激发灵感，获得创造性的解法.

五、精准审题策略

如何精准审题？关键是弄清两个问题：审题审什么和怎样审题.题目的条件和结论是“怎样解这道题”的两个信息源，审题的实质就是从题目本身去获取突破口与前进方向.那么，怎样审题呢？具体有如下四步：（1）弄清已知条件和结论；（2）注意题目的隐含条件；（3）弄清已知条件之间的相互关系以及已知条件与结论之间的相互关系；（4）思考所求解的题目与以前曾做过的题目有哪些相类似，即这个题目是否见过.为了有效地认识这个问题，下面以一道经典的高考题为例.

问题5：（2009年高考数学广东卷理科第20题）已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=-1处取得极小值m-1（m≠0）.设f（x）=.