◆ 李香杰 辽宁工程职业学院 112008
摘 要：高等数学是一门方法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。然而导数这一章节在高等数学中是尤为重要的，在高等数学的整个学习过程中，它起着承前启后的作用，是学习高等数学非常重要的任务。本文详细地阐述了导数的求解方法和在实际中的应用。
关键词：高等数学 导数 求解 应用
导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习导数的重要性是不言而喻的。然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。我通过自己的学习和认识，举例子说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。
一、导数的定义
1.导数的定义
设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果自变量x在x0的改变量为△x（x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内）时，相应的函数有增量△y=f（x0+△x）-f（x0）。
若△y与△x之比 ，当△x→0时，有极限lim ＝lim 存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记为f`(x0)。
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线斜率，即f`（x0）=tan，其中是切线的倾角。如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线方程。
二、导数的应用
1.实际应用
假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元，关于生产数量x的可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时的产量。
解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和：
总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000
总收入的函数R(x)=px=30x（常数p是产品数量）
总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000
边际收入R(x)Γ=30
边际成本C(x)=0.02x+20
边际利润I(x)=-0.02x+20
令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生产数量为1000个时，边际利润是零。这也就表明了，当每月生产数目为1000个时，利润也不会再增加了。
2.洛必达法则的应用
如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与F（x）都趋于零或都趋于无穷大，那么极限lim可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，分别简记为 或 。对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一重要法则。下面我们会得出这一类极限的一种简便并且很重要、很实用的方法。
定理1，设：
（1）当x→a时函数f（x）及F（x）都趋于零；
（2）在点a的某去心领域内，两个函数f（x）与F（x）的导数都存在且F（x）的导数不等于零；
（3）当x→a时函数f（x）的导数与函数F（x）的导数比的极限存在（或为无穷大）；
那么lim的极限存在就等于函数f（x）的导数与函数F（x）的导数比值在x→a时的导数。这种在一定的条件下通过运用分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法就称为洛必达法则。
定理2，设：
（1）当x→∞时函数f（x）及F（x）都趋于零；
（2）在点a的某去心领域内，两个函数f（x）与F（x）的导数都存在且F（x）的导数不等于零；
（3）当x→∞时函数f（x）的导数与函数F（x）的导数比的极限存在（或为无穷大）；
那么lim的极限存在就等于函数f（x）的导数与函数F（x）的导数比值在x→∞时的导数。
洛必达法则是计算未定式极限的一个重要并且效果很好的法则。尽管洛必达法则计算省时方便，但极易出错，下面是应用这个法则时应注意的问题：
在使用洛必达法则之前必须看好极限是不是 型或 型，若用过洛必法则之后还是 型或 型，就继续使用，直至得出所要求的结果。在使用洛必达法则时，要尽最大可能联系和极限相关的性质一起使用，使用极限的性质处理问题，先做一定恰当的处理，最后用洛必达法则求解出结果。
3.判定函数的单调性的应用
函数单调性的判定方法：函数在区间上单调增加（或递减）是函数的单调性。下面利用导数的概念对函数的单调性进行一些研究。
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如果函数y=f（x）在[a，b]上单调增加（单调减少），那么它的图形是一条沿着横轴正向上升（或下降）的曲线。这时，各点处的斜率是非负的（非正的），即y`=f`（x）≥0〔y`=f`（x）≤0〕。由此可见，函数的单调性与导数的符号有着紧密的联系。反过来，用导数的符号来确定函数的单调性是不是可行呢？这就需要我们用相关的定理来证明一下这一想法是不是正确。经过拉格朗日中值定理的证明得出如下定理：
定理1，设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。
（1）如果（a，b）内函数的导函数大于零，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调增加；
（2）如果（a，b）内函数的导函数小于零，那么函数y=f（x）在[a，b]上单调减少。
即便是把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（甚至包括无穷区间），这个结果最终也是成立的。与此同时也要注意下面的一些问题：有些函数在它的定义区间上不是单调的，但是当我们用导数等于零的点来划分函数的定义区间以后，就可以使函数在各个部分区间上单调。这个结论对于在定义区间上具有连续导数的函数都是成立的。还可以得出，如果函数在某些点处不可导，则划分函数的定义区间的分点还应包括这些导数不存在的点。
综合以上两种情形，我们可以得出下面的结论：
如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导函数存在且连续，那么只要用方程f`（x）=0的根及导函数不存在的点来划分函数f（x）的定义区间，就能保证导函数f`（x）在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f（x）在每个部分区间上也都是单调的。
4.曲线的凹凸性
前面我们介绍了导数在函数的单调性问题上的运用，下面我们来探讨曲线的凹凸性及其拐点的确定。函数的单调性在图形的反映上，就是曲线的上升或者下降。但是曲线在上升或下降的过程中，还要考虑弯曲方向这一问题。曲线在上升或下降的过程中有可能是凹的也有可能是凸的曲线弧，根据曲线弧凹凸性的不同，我们来研究下曲线的凹凸性及其拐点的判定。从几何图形上直观地发现，在有的曲线弧上，如果任取两点，然后联接这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方，而有些曲线弧恰恰与之相反，曲线的这种性质就是曲线的凹凸性。故曲线的凹凸性可以用联接曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应的点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述。下面是曲线凹凸性的定义：
假设f（x）在区间I上连续，如果对I上任意两点，恒有f（ ）< ，那么称f（x）在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；反之，那么称f（x）在I上的图形是（向下）凸的（或凸弧）。
如果函数f（x）在I内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判别曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理。当I不是闭区间时，定理也一样。
定理2，假设函数y=f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导数，那么：
（1）若在（a，b）内二阶导函数恒大于零，则函数y=f（x）在[a，b]上的图形是凹的。
（2）若在(a，b)内二阶导函数恒小于零，则函数y=f（x）在[a，b]上的图形是凸的。
一般情况下，设y=（x）在区间I上连续，区间I内的一点x0，如果曲线y=f（x）在经过点〔x0，f（x0）〕时曲线的凹凸性改变了，那么就称点〔x0，f（x0）〕为该曲线的拐点。
寻找曲线拐点的方法如下：从以上的定理可知，由y=f（x）的二阶导数的符号可以判定曲线的凹凸性，因此，如果二阶导函数的左右两侧临近异号，那么该点就是曲线的一个拐点。故要寻找一个曲线的拐点，只要找出二阶导函数的符号发生变化的分界点即可。如果一个函数的二阶导函数在区间I存在，那么在这样的分界点处必然有二阶导函数为零的横坐标值；除此以外，二阶导函数不存在的点，也有可能是二阶导函数符号发生变化的分界点。综合以上的分析和探讨，在判定区间I上的连续曲线的拐点时，我们可以得出这样的结论：
求出二阶导函数并解出二阶导函数为零的横坐标值，求出在区间I内二阶导函数不存在的点，对于求出的横坐标值或二阶导函数不存在的点，检查二阶导函数在这些横坐标值的左右两侧的值是否异号。如果异号，则为曲线的拐点；反之，则不是。
三、结论
在高等数学学习中，导数的求解方法以及与导数相关的概念都是非常深奥、难以理解的，因此需要重点学习。而导数这一章节作为整个课程的核心，不管在平常测试还是其他任何考试中都处于整本教材的重要地位，并且这一章节是后续课程内容比如微分问题、积分问题、多元函数的微积分等章节的必备基础知识，故学好导数这一章节是学好高等数学这门课程的基础。
在以往的学习和教学经历中，我遇到多数的学生学习起高等数学来简直难熬甚至非常吃力，我认为找不到学习高等数学这门课程的方法和技巧是学生们学习吃力费事的关键。在这里，结合教学中的好经验，还有不好的经验并引以为戒，以及大学生学习高等数学时常常出现的问题，详细地讲述了导数的求解问题，期望大家能够取得良好的学习成效。
上面的内容进一步说明了，在求解导数的问题时尤其要注意使用洛必达法则以找到方便快速的解题方法，如此便可以化繁为简，把难的问题简单化，提高解决问题的效率。再就是导数真的是对后续章节的学习非常重要，因此我们不止要深入地了解导数的定义还要吃透定义，彻底领会导数的含义。学习导数要精通多种常用的求解导数的方法和了解不太常见的求解方法，以便在闲暇时研究探讨，更要创新性地把导数运用到实际生活当中，去解决生活中的问题。
本文以实践知识的认识为依据，讲述了高等数学导数的一些常用求解方法以及一些生活中的应用，希望对大家的生活和事业有些许帮助。
论文作者:李香杰
论文发表刊物:《教育学文摘》2014年2月总第112期供稿
论文发表时间:2014-4-17
标签：导数论文; 函数论文; 曲线论文; 区间论文; 极限论文; 高等数学论文; 凹凸论文; 《教育学文摘》2014年2月总第112期供稿论文;