一道课本习题的应用与拓展，本文主要内容关键词为：习题论文,课本论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
浙江省初中数学学科教学建议中指出“对例题、习题作适当的变式，让学生练习，尝试举一反三”。数学教学中离不开例题、习题，而课本中的许多例题、习题都具有典型性、示范性和探索性，所蕴含的内容相当丰富，对它们不能简单地以题论题，而应进行适当的变化、引申与挖掘，提出有价值的新结论，这样做不仅使知识产生触类旁通、举一反三的学习效能，而且能开阔学生的思想，培养学生的创造能力。下面以浙教版八年级上册第47页习题第2题为例，从“利用结论，直接应用”“弱化条件，变化引申”“图形组合，综合运用”等方面予以分析说明。
原题 如图1，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE，点D在边BC的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=90°。求证：△CAB≌△ECD。
图1
评析 这是课本中的一道习题，根据已知条件，学生容易证得结论，但这题蕴藏着丰富的内容和背景，对它作进一步的挖掘、引申和探索，对提高学生的数学素养，发展学生的学习能力都能起到事半功倍的作用。
一、利用结论，直接应用
问题1 （2008年台州市）如图2，四边形ABCD,EFGH,NHMC都是正方形，边长分别为a、b、c；A、B、N、E、F五点在同一直线上，则c=＿＿（用含有a、b的代数式表示）。
图2
评析 本题利用了正方形的四边相等，四个角都是直角的性质，构造出原题中的一个数学模型，这样直接可应用原题中的结论，得出BN=EH=b，由勾股定理得，
。
问题2 （2007年江苏南通市）如图3，梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm。以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是()。
图3
评析 本题的关键是要挖掘同圆半径的隐含条件，得出原题中的数学模型，则由原题中的结论可得，OB=CD=4cm，所以
，则圆心O到弦AD的距离是
。
问题3 （2006年安徽省）如图4，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是＿＿。
图4
评析 本题的关键是作出点A、C到直线l的距离的垂线段，构造出原题中的数学模型，这样就容易得出正方形的边长是
。
问题4 （2009年丽水市）如图5，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线
上，且
之间的距离为2，
之间的距离为3，则AC的长是()。
图5
评析 本题主要是受到三条平行线的干扰，没有从点A、C分别作
的垂线，得不出原题中的数学模型，使思维和解题受阻，实际上，得出模型后，容易得到两个垂足之间的距离是：2+3+3=8，所以
。
二、弱化条件，变化引申
变式一 （弱化原题中的“两边相等”的条件，则结论由三角形全等弱化为三角形相似）
问题5 （2008年南宁市）如图6，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BC的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4。那么AB=＿＿。
图6
评析 本题与原题相比较，去掉了AC=CE的条件，则把△CAB≌△ECD改变为△CAB∽AECD，则利用相似三角形的性质，容易得出结论，AB=4。
问题6 （2007年山东省）如图7，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则AF等于()。
图7
评析 本题与问题5相比较，它通过几何图形的折叠，根据折叠中所蕴含的数学规律，得出∠AEF=90°，AE=AB=CD=6，从而根据问题5中的数学模型，易得
，所以
。
问题7 （2009年成都市）已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED=90°。
(1)如图8-①，如果AB=6，BC=16，且BE∶CE=1∶3，求AD的长。
图8-①
图8-②
(2)如图8-②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。再探究：当A、O分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结
论，不必证明。
评析 (1)由问题5的数学模型和已知条件，易得BE=4，EC=12，从而得出CD=8，再根据勾股定理得
；
(2)当点E恰为这段圆弧的圆心，则由原题模型得AB+CD=BC，当A、0分别在直线l两侧且AB≠CD，则有如下等量关系｜AB-CD｜=AB。
变式二 （同时弱化原题中的“两边相等”和“直角”条件，则结论由直角三角形全等弱化为一般三角形相似）
问题8 （2005年呼和浩特市）如图9，在等边△ABC中，P为BC边上的一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，
，则△ABC的边长为()
图9
A.3B.4C.5D.6
评析 在△ABP和△PCD中，∠B=∠APD=∠C=60°，则有△ABP∽△PCD。（这里的条件为三个角相等，至于等于多少度，并无要求，可以是一个一般的度数，但在试题中大多是30°、45°、60°等特殊的度数），变式2的中考命题中的拓展与应用更为广泛。由三角形相似，易得AB=3。
问题9 （2009年安徽）如图10，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G。
图10
(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
(2)连接FG，如果α=45°，
，AF=3，求FG的长。
评析 (1)由∠DME=∠A=∠B，根据数学模型易得△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，证明（略）。
(2)解：当α=45°时，由△AMF∽△BGM，易得
变式三 （同时弱化原题中的三角形的形状，变“三角形”为“等腰梯形”，条件仍为三个角相等，则问题5中的结论仍成立）
问题10 （2007年南京市）如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），且∠BEE=120°，设AE=x，DF=y。
(1)求y与x的函数表达式；
(2)当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
三、动静结合，综合应用
问题11 （2009年绍兴市）若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点。例如，如图12的矩形ABCD中，点M在CD边上，连AM、BM，∠AMB=90°，则点M为直角点。
图12
(1)若矩形ABCD一边CD上的直角点M为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由；
(2)若点M、N分别为矩形ABCD边CD、AB上的直角点，且AB=4，
，求MN的长。
评析 本题是在学生已学直角三角形、矩形和相似三角形等有关知识的基础上，给出了一个矩形的“直角点”的新概念。但实际上就是以上两个数学模型而已，运用数学模型，结合分类讨论思想，就能解出结果。
(1)当点M是中点时，就是原题中三角形全等的数学模型，易得AB=2AD；
(2)当点M不是中点时，由问题5数学模型得△ADM∽△MCB，再结合矩形的对称性知，点M的位置有两种情况，所以CM=1或CM=3，从而解得
。
问题12 （2008年宁波市）如图13-1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…。已知标准纸的短边长为a。
(1)如图13-2，把这张标准纸对开得到的“16开”纸按如下步骤折叠：
第一步 将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B处，铺平后得折痕AE；
第二步 将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF。
则AD∶AB的值是＿＿，AD、AB的长分别是＿＿，＿＿。
(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值。
(3)如图13-3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E、F、G、H分别在“16开”纸的边AB、BC、CD、DA上，求DG的长。
(4)已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M=90°，MN=MQ=2PQ，且四个顶点M、N、P、Q都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积。
图13-1
图13-2
图13-3
通过对一个课本上简单习题的应用和变化引申，把近年的中考试题有机联系起来，这对激发学生学习兴趣，提高学习的有效性能起到积极的作用，同时也培养了学生灵活运用知识的能力。