培养学生数学猜想能力的几条有效途径——以高中节选课文为例，本文主要内容关键词为：为例论文,课文论文,培养学生论文,几条论文,有效途径论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学课程标准强调让学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动”，这些活动都是重要的数学学习过程.因此，教学中要渗透“猜想+证明”的学习方式，加强数学猜想的学法指导.笔者认为以下四条思维途径，可有效帮助学生形成科学的思维方法，提高猜想能力.
一、实验—观察—猜想
数学发现的一个重要手段就是观察与实验.欧拉说：“数学这门科学需要观察，还需要试验.”因此，教学中要重视数学实验的作用.为了探索问题的结论，我们常常可根据问题的条件进行实验，通过量一量，折一折，拼一拼，比一比，试一试等实验活动，从中发现其变化规律，提出合理的猜想.例如，“三角形内角和定理”就可以通过实验直接观察而得.实验的过程，有时就是提出猜想结论的过程，特别是可以从实验中得到证明思路的启发来证明猜想的真实性.又如，在探究“等腰三角形的性质”的教学中，可让学生在白纸上任意画一个等腰三角形，并用剪刀剪下，然后通过观察、折叠等，猜想等腰三角形的性质.这样不仅发现了结论，也发现了它的证明思路，很自然地得到添加辅助线的证明方法.
案例1：在“三角形全等的判定”教学中，让学生在硬纸片上按给定两角及其夹边的条件画三角形，要求同桌的学生按相同条件画三角形，即两角及其夹边的大小相等，然后将三角形纸片剪下，并由同桌学生将他们的两个三角形纸片进行叠合.学生会发现，尽管不同桌的学生所选取的两角及其夹边的大小不同，但是同桌的学生按相同条件画出的两个三角形都能够重合.此时，学生就能自然地做出如下猜想：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等.这个猜想是否正确呢？我们可通过其他手段来证明.
二、类比—联想—猜想
类比是思维过程中由特殊到特殊的推理，是合情推理的主要形式之一.而联想则是一种由此及彼的思考方法，由当前感知或思考的问题想起相关的知识内容和数学方法.类比联想不仅是一种思维方法和研究方法，还可作为教学的一种重要方法.数学教材中，很多新知识都是在原有旧知识的基础上发展而来，无论从内容、知识结构上，还是从研究思路和表现手法上，都有许多类似之处，这给类比教学提供了很好的条件.概念教学中，可通过类比为学生创设“最近发展区”，引导学生将新内容、新问题与有关旧内容、旧问题进行比较，由条件类似或形式类似，猜想结论或解决的途径类似，从而引导学生产生积极的认知活动.
例如，分式与分数的类比，二次根式运算与整式运算的类比.不等式性质可以在等式性质基础上类比得到；又如，相似三角形的性质和判定的学习，可通过类比全等三角形的性质和判定提出猜想；等等.
案例2：在“梯形中位线定理”的教学中，引导学生展开联想，类比三角形中位线定理的学习进行探究.
如下页图1、图2，EF分别是△ABC和梯形ABCD的中位线，根据三角形中位线定理，有EF=
BC，EF//BC.由此可以类比猜想：梯形中位线是否也有类似于三角形中位线的性质呢？
我们可以这样理解这两种图形之间的关系：当梯形上底AD逐渐变短，直至A、D两点重合，这时梯形就变成了三角形.此时上底AD=0.于是，我们可以把三角形看作梯形的特殊情形.从而作如下变换：EF=-BC=（0+BC）=（AD+BC）.由此猜想：梯形中位线平行于两底，并等于两底和的一半.
同时，在探索发现结论的过程中得到证明思路的启发，将梯形中位线转化为三角形中位线来解决问题.类比联想是化归的关键，我们只要把△ADF绕点F旋转180°（如图3），就很容易获得证明.
三、分析—归纳—猜想
归纳是从特殊到一般的思维方法，也是合情推理的主要形式之一.通过对各类特殊情形的分析比较、正确归纳，有助于产生合理的猜想，从而寻求一般的规律.波利亚强调：“注意对特殊情况的观察，能够导致一般性的数学结果，也可启发一般性的证明方法.”因此，在某个数学问题难以解决时，可先研究它的特殊情况，然后再把解决特殊问题的方法或结果，推广到一般问题上而获得解决.
案例3：在“二次根式的乘法法则”教学中，首先让学生利用二次根式的概念和性质进行几个具体的计算，其中有两个二次根式相乘的问题，也有积的算术平方根的问题.
可以引导学生通过具体计算求解（可用计算器计算），并观察所得结果，猜想二次根式相乘与积的算术平方根之间的关系.然后让学生运用发现的规律进行计算，并用计算器进行验证，最后让学生归纳得出二次根式的乘法运算法则.
不难发现，新课程教材中许多公式、法则、性质的推导、归纳，都是采用从特殊到一般的不完全归纳法完成的.这个案例展现了学生通过计算、观察、比较、思考、讨论等探究活动，分析、归纳、猜想得出结论的过程.如果我们的教学都能让学生参与、经历这样一个从特殊到一般的认识过程，那么学生分析、归纳的能力必然会大大提高.
案例4：（2012年浙江·衢州卷）教材中，把长与宽之比为
的矩形纸片称为标准纸.请思考解决下列问题：
（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）按如图4对开后，所得的矩形纸片ABEF是标准纸.请给予证明.
（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片进行如下操作：
第一步：沿过点A的直线折叠，使点B落在AD边上点F处，折痕为AE（如图5（1））；
第二步：沿过点D的直线折叠，使点C落在AD边上点N处，折痕为DG（如图5（2）），此时点E恰好落在A边上的点M处；
第三步：沿直线DM折叠，此时点G恰好与点N重合（如图5（3））.
请你探究：矩形纸片是否是一张标准纸？请说明理由.
（3）不难发现：将一张标准纸一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸（如下页图6）.现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长.
此题源于教材，高于教材，设计独特，新颖别致.以折纸为背景，注重新知识方法的渗透，设计成操作—探究题.这样，不仅考查学生对轴对称性质等有关知识的掌握及空间观念的发展情况，同时有效地考查了学生动手操作、观察思考，分析、归纳和猜想的探究学习能力.第（3）问侧重于考查学生分析、归纳的猜想能力.为了降低难度，将问题分解为两问，引导学生先探究特殊情形，进而通过分析归纳猜想结论.这里需要特别指出的是，在教学中，我们可以直接让学生探究一般规律，即探索并猜想第n次对开后所得标准纸的周长.这就要求学生具备归纳的主动意识.学生要知道如何在一般规律的寻求中，借助于对一些特殊情形或一些简单的具体情形的思考，进而分析归纳，作出猜想.这里通过相似多边形的性质，猜想第n次对开后所得标准纸的周长为
.通过这样的训练，可进一步提高学生的归纳猜想能力.
四、引申—推广—猜想
学生的学习能力也体现在已有认识的延伸上.所谓认识的延伸，主要是把原认识的范围拓展、推广.而认识的延伸借助于“由特殊到一般”是一条重要途径，当特殊情况推广到一般情况时，特殊情况的结论或者成立，或者被改变.前一种情况就获得了“不变性”，即“变中不变”；后一种情况搞清楚了“变中变”，即找到“变化规律”.无论哪一种情况，都使认识得到了扩展和提升，都是具有探索精神和正确运用探索方法的表现.教学中我们可对教材的一些内容进行拓展，对所学知识进行延伸，不失时机地选择典型的例题、习题进行深加工，加以挖掘、引申和推广，为学生提供猜想素材.如特殊图形向一般图形引申，具体问题向抽象问题拓展和推广等.这样不仅能加深学生对教材中所提出的问题的理解，还可培养学生自觉探究的良好习惯，从而发展学生的合情推理能力和创新思维能力.
案例5：在“对顶角”的教学中，可作适当的拓展.例如，提出探索对顶角个数的规律问题.从相交于一点的两条直线，三条直线……探索对顶角个数的情况，再猜想n条直线相交于一点一共构成多少对对顶角？
教学中，引导学生从特殊到一般进行猜想：
如图7（1），两条直线交于一点，图中共有2×（2-1）=2对对顶角；
如图7（2），三条直线交于一点，图中共有3×（3-1）=6对对顶角；
如图7（3），四条直线交于一点，图中共有4×（4-1）=12对对顶角；
直至猜想探索出n条直线相交于一点，共有n（n-1）对对顶角.
案例6：浙教版课标教材九年级下册有这样一道题目：
如图8，一枚直径为d的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是多少？
我们可将这个具体问题进行引中和推广.
引申1：如下页图9，取两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的边缘滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？
引申2：如下页图10，⊙O沿着三角形的外侧（圆与边相切）作无滑动的滚动一周回到原来的位置，已知⊙O和三角形的周长相等，则圆自身转动了几圈？
推广：如图11，⊙O沿着凸n边形的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周回到原来的位置.若⊙O的周长是a，凸n边形的周长是b，试写出此时⊙O自身转动的圈数.
这里的原问题是最简单的特殊情形，把原问题进行引申，将它引申到圆在圆周（曲线）上滚动和圆在三角形各边（折线）上滚动的问题，探究圆在直线、圆弧或折线上的滚动规律，即圆心经过的路线长（圆自转的弧长）和圆周与直线、圆弧、折线接触点所滚过路线长之间的两个规律，进而将特殊问题推广到一般，或将特殊图形推广到一般图形.通过这样不同角度的引申和推广，拓展探究空间，提供猜想素材，有利于学生在解决问题的过程中提高猜想能力.
综上所述，教学中运用以上四条途径，在培养学生猜想能力方面收到了很好的效果，学生在学习中发现问题的意识和能力有了明显提高.我们在教学中应精心设计教学，深入挖掘教材，为学生提供更丰富的猜想素材、猜想机会，引导学生主动运用科学的思维方法进行思考和探究，不断提高数学猜想能力.