布朗运动在股票期权定价模型中的应用，本文主要内容关键词为：布朗运动论文,期权论文,模型论文,股票论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
内容提要 金融风险的防范是金融界十分关注的重大问题，期权作为防范金融风险的有效手段目前已越来越受到人们的重视。本文除对股票期权的运行机制和价格形成过程进行详细分析外，重点应用随机过程理论建立股票期权的定价模型。
股票期权是七十年代中期首先在美国发展起来的一种金融创新工具，二十几年来股票期权一直被广大股民作为避免股票价格波动风险或投机获利的一种手段。近年来，股票期权在西方发达国家的证券市场交易中尤为活跃，已成为一支引人注目的市场力量。
股票期权业务目前在我国虽然尚未开办，但随着我国经济体制改革的深入，证券市场的进一步发展和完善，以及人们风险意识的增强，作为避免证券市场价格变动风险的金融创新工具——股票期权今后一定会在我国证券市场中出现。因此，探讨布朗运动在股票期权定价模型中的应用是具有重要意义的。
一、股票期权及股票期权价格
股票期权是一种选择权，是指期权购买者在支付一定数量的保险金以后，就拥有了在预先规定的时间或在这个时间之前以预先规定的价格向期权出售者购买或出售一定数量股票的权利。其中预先规定的时间叫做期权的到期日；预先规定的价格叫做期权的协定价格，它是与当时股票市场上的现行价格相对应的；支付的保险金叫做股票期权的价格。
股票期权根据所赋予的权利不同，可分为买方期权和卖方期权。股票买方期权是指期权购买者拥有在预先规定的时间内以协定价格向期权出售者买入或不买入一定数量股票的权利；股票卖方期权是指期权购买者拥有在预先规定的时间内以协定价格向期权出售者卖出或不卖出一定数量股票的权利。所以股票期权的购买者到期不必一定按协定价格进行股票买卖，如果现行的市场价格比期权协议中的协定价格更有利时，期权购买者便会放弃对股票期权的执行。
此外，股票期权按照其执行时间不同，可分为欧式期权和美式期权。欧式期权只允许期权购买者在到期日那天进行股票交易；而美式期权则允许购买者在到期日那天或在那天以前的任何一天进行股票交易。由于美式期权为购买者提供了更多的选择机会，因此美式期权的价格一般比欧式期权高。
二、股票期权价格的构成及其影响因素
股票期权的定价是个非常复杂的问题，但也可以说是股票期权交易中最重要的问题。为了能建立股票期权的定价模型，我们先来分析股票期权价格的构成及其影响因素。
（一）股票期权价格的构成
股票期权价格是指由期权的买方向期权的卖方支付的保险金，它主要是由股票期权的内在价值和时间价值两部分构成的。
1.股票期权的内在价值
股票期权的内在价值是指股票期权的溢价部分。也就是说，对于溢价买方期权，内在价值等于股票市场价值减去协定价格；对于溢价卖方期权，内在价值等于协定价格减去股票市场价格。平价期权的内在价值为零。损价期权没有内在价值。具体详见下表1。
表1 股票期权内在价值的表现形式
股票买方期权股票卖方期权状态内在价格
市场价格＞协定价格市场价格＞协定价格溢价有
市场价格＝协定价格市场价格＝协定价格平价零
市场价格＜协定价格市场价格＜协定价格损价无
因此，买方期权的内在价值＝Max〔股票市场价格－协定价格，0〕
卖方期权的内在价值＝Max〔协定价格－股票市场价格，0〕而且从理论上说，一个股票期权是绝不会以低于其内在价值的价格出售的。如果股票期权以低于其内在价值的价格出售，投机者将会立刻买进所有他可能买到的股票期权，并执行期权，他就可以赚取溢价部分与保险金之间的差额利润。
2.股票期权的时间价值
股票期权通常是以高于其内在价值的价格出售的，高出的这部分价值就是时间价值。当股票期权即将到期时，其价格主要反映内在价值。但是当距离到期日还有一段时间时，市场的变动常有可能使股票期权的执行变得有价值或更有价值。时间价值便是反映市场条件的变化引起股票期权执行获利的可能性。
一般而言，股票期权有效期越长，时间价值越大，并且随着股票期权到期日的接近会逐渐衰减。但只要尚未到达到期日，股票期权都存在时间价值，而在到期日时，时间价值才为零。
（二）影响股票期权价格的主要因素
1.期权协定价格与股票现行价格的差额
从股票期权内在价值的涵义可知，在股票现行价格不变情况下，买方期权随着期权协定价格的升高，可能实现的内在价值会逐渐减少，因此买方期权的价格将降低；而卖方期权，随着期权协定价格的升高，可能实现的内在价值会逐渐增加，因此卖方期权的价格将上涨。
可是，在期权协定价格一定条件下，随着股票现行价格上升，买方期权的价格将上涨，而卖方期权的价格将下跌。
2.期权合约期限
股票期权是一种股票保险的金融创新工具，股民利用它可将潜在的证券市场价格变动所带来的风险固定住，这样，股票期权的价格相当于股票保险的价格。所以股票期权合约期限越长，即股票保险的期限越长，在这期间证券市场价格向不利方向变动的可能性就越大，保险的价值越高，保险费相应地提高，股票期权的价格也越高。因此，合约期限长，股票期权价格高；反之则低。
3.股票价格变化率
股票价格变化率表示在一定期限内价格波动的幅度。因此，某种股票价格变化率越大，说明该种股票价格偏离其平均价格的幅度越大，购买该种股票的风险也就越大，因而其期权价格高；反之则低。
股票价格变化率通常用股票过去价格波动的标准差表示，其范围一般在20%至30%之间。
4.短期利率
为便于理解，我们把期权看作改变其对应的股票的交易时间的手段。一个投资者购买买方期权，打算在期满时购进股票，这时他可以获得用于购买股票的那笔钱的利息。如果利率提高，这位投资者的这种做法就变得更有吸引力，于是对买方期权的需求增多，导致买方期权的价格上涨；反之利率下降，买方期权的价格下跌。
5.股票的现金红利
一般来说，股票的价格会随着股票红利支付日期的变化而发生变化。即股票的市场价格会随着红利支付日期的临近而趋于上升，股票买方期权的内在价值将趋于增加，股票卖方期权的内在价值将趋于减少，即股票买方期权的价格升高而股票卖方期权的价格降低。可是，当红利支付日期过后，人们预期股票价格将下跌，股票买方期权的价格将下降，而股票卖方期权的价格将上升。
三、随机过程的一般术语及性质
（一）随机过程及其概率密度函数
四、股票期权的定价模型
股票期权的定价就是要找到股票期权的公正的市场价值，这一公正的市场价值就是使期权的买方和卖方在大量的交易后，从统计的角度看买卖双方都处于不盈不亏状态。
为找到股票期权的公正的市场价值，我们先来分析股票市场价格的变动和分布，即先求股票价格S（t）（t≥0）这一随机过程的转移密度函数，为此我们假定证券交易满足下列条件：
1.资本市场完备；
2.无交易成本和税金；
3.所有证券均可在市场上自由流通；
4.不支付红利并执行欧式期权；
5.利率为常数；
6.股票价格的波动幅度是固定的。
我们在获得股票价格S（t）的转移密度函数f（S[,0]，t，S）之后，为了给出欧式期权的定价公式，还需要确定股票在到期日（T〉0）时每个价格水平S（T）上的期权的价值，即股票期权的最终价值。现用C（T）表示股票买方期权的最终价值，则有
此处：K为期权的协定价格
S（T）为股票在到期日（T〉0）时的市场价格
Max表示最大值
且C（T）也是一个随机变量。
所以期限为T（T＞0）的股票欧式买方期权的最终价值的期望值E[C（T）]为
此处：N（u）为标准正态分布函数
这样就得到了欧式买方期权最终价值C（T）的均值E[C（T）]， 但由于股票期权的保险金是在期权成交时即以现金支付，而这笔现金可用于其他方面的投资，这对期权的买方而言，他损失了投资机会成本。因此，还需要把均值E[C（T）]依给定的短期利率r按连续复利折算为现值，才最终得到欧式买方期权的价格，记为C（T，S[,0]，K）
又由于假定资本市场完备，市场处于无风险均衡状态，故a＝r
代入（15）式，得
股票欧式买方期权定价模型：
此处：S[,0]——股票的现行价格；
K——期权的协定价格；
T——期权的合约期限；
r——短期利率；
σ——股票价格变化率；
N（u）——标准正态分布函数；
C（T，S[,0]，K，r，σ）——欧式买方期权的价格。
实例：某种股票ABC的欧式买方期权将在三个月后到期（T＝0.25），期权的协定价格（K）为每股40美元，股票ABC的现行价格（S[,0]）为每股36美元，股票ABC的价格变化率（σ）为25%，三个月期利率（r）为5%。则代入期权定价公式
查标准正态分布函数表
N（－0.68）＝0.2483
N（－0.81）＝0.2090
故C＝0.7
即这种股票ABC的欧式买方期权的价格应定为每股0.7美元。否则，当该买方期权的价格为每股1美元时，投资者可考虑出售期权； 当该买方期权的价格每股0.5美元时，则应考虑购买期权。
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