小学生对数学题目的自我评估与改进，本文主要内容关键词为：目的论文,小学生论文,数学题论文,自我论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
小学高年级学生对于数学问题的理解，大致可以分为原始知识、复制解法、质疑解法、质疑与探究、观察与反思、形成公式、检验公式、自我评估等八个不同层级.其中，自我评估既是学生对于数学问题的理解、转换和推论能力的反映，也在很大程度上体现出学生对于数学问题的深度学习水平，是学生理解数学问题的高阶层级.为此，本文研究采用教学式面谈（teaching interview）并结合学单式文本形式，对两位小学生晋（为五年级学生化名）和蕾（为六年级学生化名）在学习出题和解题过程中对数学问题理解的自我评估作质性研究，从而分析和阐释小学生对数学出题与解题的自我评估与改进过程. 一、在模拟出题中突破“数学就是计算”的迷思 晋和蕾一起阅读理解的数学解题文本材料，来自于七个小组同学对于同一数学问题的不同解法.其中的题目是：小立今年12岁，爸爸今年36岁，请问几年后爸爸的年龄会是小立年龄的2倍？ 晋和蕾这两位学生在完成一系列阅读理解过程之后，开始学习模拟原题进行自我出题和自我解题.这一学习情境的设置对于学生深化数学问题的理解意义重大，同时也有助于研究更加充分地确认学生对于数学问题的理解层级.因为我们知道，“学习者几乎不可能凭空获得可以促使他改变先有概念的一整套因素，他总是需要一个情境来促进和保证这些新联系的建立.”[1]学生自我出题、解题和自我评估、改进，正是为学生形成新的数学理解的具体情境. 蕾在草稿纸上尝试出题. 蕾拟题：小立5岁，爸爸25岁，爸爸会是小立的5倍…… 在上述过程中，研究者观察到，师立刻介入，和学生讨论如何出题，以下是讨论的过程. 师322：小立5岁，爸爸25岁，他们的差呢？就是20岁，这跟原来的题目写法不一样.里面有一个东西没写出来.[师提问/期待学生出题和原题目出数字不一样，但文字题干的结构要一样的题目] 蕾297：两人相差呢？不对！[蕾反思/她出的题是爸爸今年的年龄，不是出他们的年龄差] 师323：什么东西没写出来？[师提问/要求学生学习审度与反思] 蕾298：几年后会是几倍.[蕾反思/倍数关系？] 晋285：对，是吗？[晋参与讨论/提问是否倍数问题] 师324：你们自己想想看.[师只提问不给答案/学生自己解决问题] 晋286：几年后？[晋反思/“几年后”没有写到] 师325：这个题目里面跟原来的题目里面给的信息不一样，你这个5岁跟25岁是什么时候的？ 蕾299：今年.[蕾解释/修正文本，写上“今年”] 师326：你刚开始的. 晋287：今年.[晋解释/同意蕾的说法，是今年的年龄] 师327：你今年就5岁，然后爸爸就25岁.[师确认] 晋288：对！ 师328：那今年就是5倍了. 晋289：等于……[晋思考……] 师329：你不必再过几年了.[师继续提示] 晋290：再过几年，它会变16倍.[晋响应/可以再过几年，爸爸会是小立的16倍][师想/怎么可能有16倍/淡化处理晋的说法] 师330：你们继续讨论，然后各自出题，同时各自解题和检验，并且写出结论.[师决定/放手让学生自己出题自己解题/有关拟题事项，已充分讨论了] 从上述师生对话过程可以理解，学生没有出题的经验，他们虽然有原来的题目作参考，可是此时此刻，心中只有解题公式，他们比较专注于与解题相关的数值，如小立年龄几岁、爸爸年龄几岁以及倍数是多少，而有关的“问题情境”在他们的视野里则完全消失.可见，学生容易陷入“数学就是计算”的迷思.所以老师介入，要求学生出题要运用和原题情境相同的方式.例如，里面的年龄是指何时的年龄？年龄差是多少？再过几年会是多少倍？等等之类的问题情境都该说明清楚，这样解题的已知条件和所求条件才会清楚.通过模拟数学题目学习如何出题，可以在很大程度上突破原来学生解题过程中只关注数值计算的学习习惯和思维局限，从而帮助学生更全面、更深入地把握数学问题本身. 在以上的讨论过程中，老师扮演提问与质疑的角色，学生扮演思考与澄清的解决问题者.当晋提出“16倍”时，师认为这是学生自己要解决的问题，所以老师决定放手，让学生自己出题，自己解题，老师完全不介入，让学生自我评估学习的效益. 二、除了考虑问题情境外还要考虑数值关系 接下来，观察蕾和晋怎么出题、怎么解题以及他们会怎么下结论. 第一道题，学生表现的主要现象：（1）蕾第一次学习出题，拟出题目中的讯息却无法解题，所以她自我评估：题目出错.（2）晋第一次出题，用五种方法尝试解题，都无法解题，所以他自我评估：题目出错. 蕾出的第一道题：小立今年5岁，爸爸25岁，几年后爸爸会是小立的10倍？ 出题后自我评估：题目有错. 出题后标记心情：画了个哭脸图案. 观察蕾的文本纪录表征发现，蕾自我评估“题目有错”，而且还画了难过、不开心的图案.研究者猜想，蕾出好题目后，自行解题，发现所求是“负数”，所以蕾知道出的题目中的数字有问题，以致无法求出正确答案出来.研究者认为，蕾了解到要出对题目，对此数学问题中的数值关系要调整，才能求得答案.因此，在出题目这一关，她理解题目中的数值要事先考虑，不能随便乱给一个数值就可以.这是她第一个评估：“出题，除了要注意问题情境外，还要考虑数值之间的关系”.研究者期待蕾如何出下一道题，也可观察蕾如何学习出题，以及自我评估. 晋出的第一道题：小立今年4岁，爸爸今年25岁，几年后爸爸的年龄会是小立的10倍？ 出题后自我评估：A，题目有错. 出题后标记心情：画了个五角星图案. 观察晋的文本纪录表征发现，晋自我评估“题目有错”，而且打了“☆”的图案.研究者再仔细观察晋出的题目发现，晋出的题目和蕾出的题目，其中有一处的数字讯息不同，就是小立4岁，其余和蕾出的题目完全一样.但是，其解题所用的数字讯息却是和蕾的讯息相同.其解题表征“20÷（10-1）-5”和自己出的题目无关，却是和蕾出的题目讯息相关.由此可见，晋对于“出一道和原来题目相似的题目”，他完全没有经验.而且，对于“自己出题、自己解题”也没有概念.所以，让人感受到他还处在混沌中摸索学习出题和解自己出的题目的经验过程中. 研究者观察晋尝试用各种方法解题：（1）第1个解法，用解题公式.看来解题不成功，所以放弃.（2）第2个解法：24+6□：25，晋自己把这个算式删掉.看来解题不成功，所以放弃（研究者也看不懂，所以猜想：他在尝试找适当的数值）.（3）第3个解法：（4+□）=25+□（研究者猜想，晋想用第1、3组解法的概念求解），看来还是无解.（4）第4个解法：4□=25×□（研究者猜想，晋想用乘法的概念求解），看来还是无解.（5）第5个解法：4□=9（研究者猜想，晋想用4乘以多少会等于9倍求解），看来还是无解.晋经过5种解法尝试解题都无效，最后他承认，“☆A：题目有错.” 研究者观察晋出题与解题行为可以发现，晋是非常有毅力的孩子.他想尽各种方法解题，他用数学公式、加法、乘法……等等解题，可是最后都无解，这时他才放弃本题目. 然而，从另一方面观察晋目前的学习状态，可以发现他比较属于具体操作型的数学学习，他必须亲身经历这些解法后再宣告“题目有错”.所以，他还得花一些时间思考题目中的数值之间的运算关系，他出题才会成功.如此观之，蕾和晋虽然出了差不多是一样的题目，但是两人在“出题”和“解题”的表现上，是非常个别化的.所以，没有所谓的“有了共识，两人的想法会完全一样”的罐头思维. 总之，从蕾和晋出题以及解题行为观之，研究者认为，学生没有自己出题、自己解题的经验，所以他们认知负荷重.其中的理由如下：（1）他们要了解原题目的情境结构，才能模仿出题.（2）他们要理解数值之间的关系，才能出恰当的数值解题.（3）他们要利用自己刚刚发明的数学公式解题，这是马上把所学立即应用，是一种迁移能力.（4）用此数学公式解题，要能够理解倍数的限制范围值，这是更难的挑战. 从小高学生自我评估的角度审视，事实上，学生会出恰当的题目，也能利用数学公式解题，在已经学会阅读理解同侪解法后，又能发明数学公式，而且利用自己发明的数学公式解题.这是学生自我评估效益非常棒的表现. 三、关注可以合理解题的数值讯息及其关系 第二道题，学生表现的主要现象：（1）蕾第二次学习出题，题目出对了，可惜解题错了，给的倍数范围值错了.自我评估：有点辛苦.（2）晋第二次出题，题目和蕾的一样.他刚开始解题正确，可是受蕾的影响，加上自己没有信心，所以解题和蕾的解法一样错了，有关倍数范围值，晋给的结论首先是2～9，可是数学式子修改成像蕾的数学表达式. 蕾第二次出题、解题、给倍数范围值，以及自我评估表现： 蕾出的第二道题：小立今年4岁，爸爸大小立20岁.问几年后爸爸会是小立的5倍？ 出题后自我评估：成立；不成立. 出题后标记心情：五角星图案；有点辛苦. 观察蕾出的第二道题和原来的题目比对，可以发现蕾拟出正确的第二道数学题目.题目正确的理由有三：第一，题目的内容和原来的数学题目一样.第二，题目的情境结构与原来的数学题目情境同构.第三，这个题目提供的数值合理.如：20（年龄差）÷[5-1（倍数差）]-4（小立的年龄）=1，所以：“A：再过1年，爸爸的年龄会是小立的5倍.”基于以上说明得证，蕾出的第二道题是成功的题目. 观察蕾解题部分，她的解题算式表征：24÷（5-1）-4=1，A：1年后.按照算式运算其答案应该是“2”；可是为何蕾的答案却是“1”.研究者猜测可能：（1）蕾在拟题时，已经知道答案是“再过1年”，所以拟出这个题目出来.（2）蕾在运算时，心想年龄差“20”，可是写表达式时笔误，写成“24”.（3）蕾一时迷糊，把“年龄差（爸爸-小立）÷倍数差-小立=再过几年”，想成“年龄差+小立”÷倍数差-小立=再过几年（把减法想成加法）.研究者认为，第一种可能和第三种可能的概率较高；至于第二种“误植”的可能概率较少，因为从蕾在找倍数范围值的算式表征的一致性，可以得知蕾的算式表征中“年龄差”是用“爸爸现年”.基于以上说明，研究者认为蕾解题不成功. 从蕾的文本数据可以看到，蕾写着“☆有点辛苦”.从这里可以观察，蕾好不容易可以出一道正确的题目，紧接着又要自己解题，对刚学会如何出正确的题目，立刻要解题，而且这个解题公式也是刚刚出炉的，马上要应用，蕾有认知负荷，还需要一点时间消化.研究者认为，这是小高学生很合理且很正常的表现，因为学生往往是一次解决一个问题，现在要同时解决两个问题，难怪压力大.研究者猜想，蕾对自己解题的评估应该有反思，所以，蕾才会自行做出再出第三道题目、解题、寻找倍数范围值的学习活动. 蕾对于倍数范围值的表征有两种方式：（1）他认知理解与掌握的算术表征.如：除数2～5皆可.（2）用数学式子（数学不等式）表征.如：24÷[（2～5）-1]4打“√/”，写“成立”；24÷[（＜2）、（＞5）-1]＜4打“×”，写“不成立”. 其中，对第一种算术表征倍数范围值，研究者分析认为：蕾的表达式用“24”当作“年龄差”就是不对的算式.因此，其找的倍数范围值相对的也是错误的论述.如果蕾用对数学公式，如：20÷（5-1）-4=1，则倍数范围值可以是2～6倍.对于这一道数学题目而言，学生还算可以尝试找出.这是学生失误之处. 研究者从另一个角度思考学生找倍数范围值的限制，假设24÷（5-1）-4=2可以成立的话，那么他最大的倍数值应该为何？换句话说，如果年龄差除以倍数差所得的商小于小立的年龄，就会是负数.所以，商只要大于4就成立；相对的商小于4就不成立.那么，观察算式“24÷（5-1）-4”，可以提出一个关键性的问题：24除以多少会等于4？那么学生应该很快知道答案是“6”，然后再从这往前推论“多少倍-1=6”，那么答案立刻出现“7”.因此，如果24÷（5-1）-4=2可以成立的话，其倍数范围值是2～7倍之间. 基于以上分析，研究者认为，求出“倍数的最小值到最大值”之间的范围值，对小高的学生而言，难度较高，所以这不应该是学生自我评估解题是否成功的范围. 蕾对第二种用数学式子（数学不等式）表征倍数范围值评估： 根据蕾对算术表征评估倍数范围值，转换成“24÷[（2～5）-1]＞4”，研究者认为，蕾的数学表达式是正确的，所以蕾自己评估“成立”.蕾用另一种数学表达式“24÷[（＜2）、（＞5）-1]＜4”，则有待商榷.如：小于2的正整数是1，倍数是1时，不能算，就不是小于4；大于5有6，如果是6，则答案是
年，比4大，所以，答案是再过
年，因此可以成立. 由上观之，蕾对于寻找倍数的范围值用数学式子（不等式）表达的意义是不了解的.研究者认为，这是蕾对不等式表达数学不等价意义的经验，有助于日后积累学习探究不等式意义的先备经验. 综上所述可以理解，蕾第二次出题成功；解题失败；对于倍数范围值的表征，以算术表征，以及数学式子表征的自我评估，还算是合理的论述. 晋第二次出题、解题、给倍数范围值，以及自我评估： 晋出的第二道题：小立今年4岁，爸爸大小立20岁，过几年后爸爸的年龄会是小立的5倍？ 出题后自我评估：成立；不成立. 出题后心情标记：用立可白涂改液涂掉数学算式留下的痕迹. 观察晋出的第二道题，和原来的题目比对，可以发现晋拟出正确的第二道数学题目.此题目的数值讯息和蕾的一样，由此可见，这个题目讯息是两人合作完成.观察他们叙写这一个文字题的内容，经过研究者比对后发现，两人用自己的话语完成拟题，而且出题正确.所以，没有抄袭与复制的情形，表示两人都能独立思考与自我学习. 观察晋解题部分，研究者发现，在算式24÷（5-1）-4=1的前面有一个算式被立可白涂掉，但是还可以看到立可白留下的痕迹是“20÷（5-1）-4=1”.由此可见，晋刚开始的算式是正确的，可他缺乏信心，所以改成和蕾一样的解法，结果他的解法也错了.可见，有信心是数学学习很重要的因素. 晋在解题部分还特别记录：“1＞0”.研究者认为，晋之所以特别记录这个观点，其理由是：减4后的答案不可以小于0，否则为负数，就是前几年，如此就不符合题目所求；所以，他特别声明这个观点.当然，晋的观点正确，只是按算式求解后的答案是“2”才对.所以，“1＞0”应该是“2＞0”.如此，才与解题算式表征产生有意义的联结.因此，晋的解题部分是不成功的. 至于晋的自我评估，从他个人的解题过程可以看到，他受到蕾的影响，从正确算式修改为蕾的错误算式，可见他的自我评估：没有信心.他个人也有感觉，所以，他和蕾继续进行第三道题目的出题与解题等活动. 晋对于倍数范围值的表征和蕾一样，也是有两种方式：一是算术方式表征，但是他和蕾不同的是倍数范围值不一样.如：除数2～9皆可.二是用数学式子（数学不等式）表征，这部分则和蕾完全相同. 研究者分析认为，晋的算术表征倍数范围值：除数2～9倍皆可.从以上研究者对蕾的分析就已经指出，如果以算式24÷（倍数-1），其答案大于或等于4时，那么倍数范围值是2～7倍，如果是8、9倍，那么求出的答案必然小于4，则为负数. 由是观之，晋没有具体操作，只是随意写出倍数范围值.所以，算术表征倍数范围值是不正确的论点.研究者猜测，晋自我评估应该知道算术表征倍数范围值是不正确的，所以在数学式子表达时，他放弃自己的算术表征的论点，学习蕾的数学式子表达方式. 由于晋的数学式子表达是在模仿蕾的方法，所以晋在数学式子表征倍数范围值，应该是没有学到.研究者认为，这对晋而言实在是太难，尤其他是小四升小五的学生，其数学思维还未到抽象形式思考，而且从以上的许多表现，都可以理解晋在具体操作的过程中获得数学意义理解的阶段，才刚开始要往形式思维方向成长.所以，他的表现不稳定或是还在尝试摸索阶段.这是正常的过程，也是必经的阶段. 从上述，研究者发现，学生出第二道题时，他们完成拟出一个正确的题目，就消耗他们很多思考精神.因此，在解题上，要求他们马上应用他们自己发明的数学公式解决问题，他们认知就产生负荷的压力，一时无法转换，所以解题失败.至于他们寻找倍数范围值时，就可以感受到他们仍然很努力地去完成，只是可惜，这个数学材料他们还未学到，他们的表现有点吃力. 总之，小高学生一次只能解决一样事情，如此表现已经很好了.接下去，他们不死心，继续往下再出第三道题目与解题. 四、透彻理解数学题目的内容和结构 第三道题，学生表现的主要现象：（1）两人经过回头看，反思与检讨，决定调整出第三道题.最漂亮的地方就是，他们出的题目与原题不一样，但是完全掌握了题目的意义与结构，能灵活运用数学公式解题.（2）蕾第三次出题，题目出对了；能弹性运用数学公式解题，只是有时计算错误，对于倍数范围值要找出最大值还是有困难.（3）晋第三次出题，题目出对.解题能弹性运用数学公式，计算无误.至于给出倍数范围值，和蕾一样，无法找出正确的最大值. 蕾和晋两人经过回头看，反思与检讨，决定调整出第三道题目.学生“自己出题，自己解题”这个部分，师完全不介入、不参与.蕾和晋两人经过前面两次的自我学习后，他们学会回头看，前后反思与检讨.他们对自己写的前面两题的表现有些不满意，所以两人协商，最后决定挑战出第三道题目.师尊重他们的想法与决定. 蕾第三次出题、解题、给倍数范围值与自我评估： 蕾出的题目和原来题目的情境大致相似，唯一不同之处是原题目提供“年龄差的数值”讯息，在蕾出的题目中没有，反而改为“爸爸现年数值”.研究者以解题的观点分析，认为他们出的题目升高了解题难度.因为题干中少了直接的讯息“年龄差”使得“差不变”的关键讯息隐藏于题目解题讯息的再运作，对于解题者还要再经过一次转换，从而获得解题关键的“不变性”与“倍数关系”联结，故解题难度较高.题目讯息改变，数学公式也必须弹性调整. 蕾出的第三道题：小立今年1岁，爸爸25岁，几年后，爸爸的年龄会是小立的1倍？ 出题后自我评估：1倍……方法不行；2倍……打√/；3倍……打√/；10倍……方法不行. 观察蕾解题部分，她的解题算式表征是（25-1）÷（9-1）-1=2，A：2年后.研究者观察蕾的算式表征与数学公式比对发现，蕾已经把数学公式中的“年龄差”弹性处理为“爸爸现年-小立现年=年龄差”.从上述情形可以理解，蕾对于出题的内容、结构和原题虽然有所不同，但是解题的方向与方法仍然保留原题的解题核心，而且把解题公式弹性运作，促使解题完全正确.研究者发现，蕾在第三次出题与解题的表现，可以理解蕾完全掌握本题目的核心内容与题干的结构；同时对解题核心关键也了然于心，所以出题与解题已经是灵活运思.研究者从蕾的解题表征的有序现象，可以感受蕾解题的信心大增. 寻找倍数范围值的过程：蕾从最小的非负整数1开始，选择1倍、2倍、3倍等三个倍数，具体操作；接着，跳到10倍，作为寻找倍数范围值的解题策略. 观察蕾对于倍数范围值的寻找，可以发现她回头看活动的解题策略，并模仿解题模式，从假设1倍、2倍、3倍……10倍等依序解题，然后获得倍数范围值.从蕾的假设1倍时，结论：方法不行；假设2倍时，结论：23年后；假设3倍时，结论：7年后（这个部分蕾计算错误，应该是11年），然后，蕾以省略记号到假设10倍时，结论：方法不行（10倍时，看不到运算及其解）. 从上述，研究者从解题结构观之，蕾在寻找倍数范围值的过程中，首先她尝试由最小的非负正整数开始解题；然后，以模拟的方式寻找最大的倍数范围值为10. 研究者分析蕾的解题结构，首先肯定蕾先从最小的三个非负正整数开始作为解题模型，这是很好的选择.至于为何倍数值最大的是10倍？研究者观察，蕾受回头看的解题活动影响，因为原题目的倍数是2倍，而其倍数最大值是题目的2倍加1倍等于3倍，所以，蕾模仿该解题方式，认为应该是9倍再加1倍，因此是10倍.由此观之，研究者认为，他对于回头看的解题活动缺乏反思；或没仔细思考“负数”是寻找最大倍数数值的限制；甚至他应该具体运算，则可求解为再过
年，然后进行讨论与探究此答案的合理性. 基于以上分析，可得倍数最大值应该是25倍（其解题思维前面已有论述）.所以，蕾的最大倍数数值是错的.然而，有关这种数学推论，超过学生目前所学.因此，研究者认为值得赞许的是，学生迁移学习发生，蕾尝试模仿前面活动，迁移至新的解题活动，已经是非常棒的学习；其次，从倍数范围值“2倍～25倍”，这个数值来考虑学生的认知，应该理解对小高学生而言，倍数范围值增大许多时，其难度也相应增强许多，所以，其数学思考强度也扩张.所以，蕾对倍数范围值的自评寻找，在最小倍数值是对的，至于最大的范围值是保守的模仿出来的数值.对小高学生而言，算是合情的论述. 依据蕾前面寻找倍数范围值的解法策略，其算术表征是“除数是2～9都可以”.事实上，蕾应该写“倍数是2～9都可以”，所以，蕾用词不恰当.研究者观察，蕾似乎发现题目中的倍数是有限制的.这件事对蕾虽然有经验和察觉，但是她还未真正理解其中的意思，这需要从头具体操作，对每一个假设倍数的解题要清楚知道其表达的意义.所以，她写的倍数范围值有一点“画虎不成反类犬”，故模仿不到位，才会发生用词不恰当以及对数值数感缺乏的情形.实际上，本题目不就是求9倍吗？这给研究者启示，学生一定是在数学意义的理解下，才可能有正确的数学学习；模仿学习只是数学表征复制罢了，甚至失去数学学习的本质. 对第二种用数学式子（数学不等式）表征倍数范围值自我评估蕾第三道题的数学式子表征倍数范围值只有一个数学式子：24÷[（＜2）、（＞9）-1]＞1.研究者将蕾的数学式表征转译成文字的数学式子并加以解释：24除以[（小于2）、（大于9）-1]则求出的答案大于1；然后解释是：24除以小于2的数，唯一的是“1”，则1-1=0，因此，“＜2”是不成立的算式.接着，24除以大于9的数，然而大于9的数有无限多，能满足本题的数学倍数范围值，如同以上的论述，只有到25倍，超过25倍则求出的答案小于1.所以，研究者认为，蕾要描述“2～9”之间的倍数，应该是“大于2，小于9之间的倍数数值”，用数学符号表示应该如下：“＞2～＜9”. 至于最后求解则等于1的话，则答案为“O”，表示当年就是该倍数（如25倍），所以答案可以为“≥1”. 由上观之，研究者认为，蕾在数学式子表达式中，对于数学符号“＜”、“＞”相对混淆；所求的解可以等于1或大于1.由于数学表达式表征倍数范围值是初中数学的学习内容，所以这部分延伸学习仅仅定位为学生尝试经验，不是本研究探究的目标.研究者认为，学生勇于尝试，不怕挫折，已是很棒的自主学习了. 晋第三次出题、解题、给倍数范围值与自我评估： 晋出的第三道题：小立今年1岁，爸爸今年25岁，几年后，爸爸的年龄会是小立的7倍？ 出题后自我评估：除数是2到9都可以；（有两处）方法不行. 出题后心情标记：我觉得很有趣，也是第一次用这种方法让自己的想法透过整理再用公式表达出来，也透过这堂课理解到日常生活中所用到的解题方法也可以运用在很难的题目里. 研究者观察，晋的出题和蕾出的题目完全一样.研究者猜测，这一题是两人合作讨论下的题目.理由如下：（1）本题目能出到9倍时，其题目难度增强.（2）假设为2倍时，则年龄差是2，表示爸爸今年3岁，这是不合理的年龄情境，爸爸的年龄要到20几岁才可能有小孩1岁.基于这种考虑，他们开始尝试寻找20几的数.（3）他们同时不希望倍数到十几倍，将增加运算难度，所以锁定数码最大的9为倍数.（4）接着在20几中，寻找与9-1=8（倍相关的数值），而此数值恰为24，故爸爸的年龄为24+1=25.（5）当然，还有许多组合的方法，他们只是选择一组对的组合，就可以满足题目需求. 基于以上情形，研究者尝试寻找他们出题的认知轨迹，可以发现他们必须合作出题才可能出一个漂亮的题目. 观察晋的解题表征，研究者发现，晋的解题结构和蕾的解题结构一样.首先利用自己发明的解题公式解决本数学问题目的所求.其次，才寻找倍数范围值. 晋也能弹性处理数学公式中的差不变，然后运用变形的数学公式解决问题；换句话说，原来的公式是：年龄差÷（倍数-1）-小立年龄=再过几年.现在把数学公式改为：（爸爸现年-小立现年）÷（倍数-1）-小立现年=再过几年.由此可见，晋能弹性运用自己发明的数学公式解题成功.这正如蕾一样，对题意深入了解，对解题策略认知理解与充分掌控. 同时，晋在寻找倍数范围值时的计算完全正确，如倍数范围值3倍时的运算：（25-1）÷（3-1）-1=11，完全正确（蕾计算错误，答案为7）.从而证明，他们经过讨论后各自解题，而且晋非常清楚解题策略的解法意义，所以每一个倍数（1倍、2倍、3倍等）的计算都正确无误.所以，晋解题成功. 如果10倍时，具体运算求解，将展开新的探究活动.研究者发现，晋寻找合理的倍数范围值，如同蕾一样，模仿回头看的解题模型寻找.从1倍、2倍、3倍，然后跳到10倍.研究者思考，如果他们能够对10倍的算式加以运算，然后对所求的答案探究其意思，那么当他们学习解释答案的结果时，他们将学习到不一样的数学思维，也促使学习更上一层楼. 上述情形对研究者的启示是，如果促进学生产生好奇心，对于说不清楚的事情，继续追根究底，那么探究学习也就自然发生，学生也就是在进行问题解决的学习活动了.而且，这里非常重要的观点是，“我们的宗旨是让学生主动参与到寻找证据的过程中：他们的角色不仅仅限于完成老师决定的任务，而要主动地管理和理解他们的学习所得.这就包括评价自己的进展情况、为自己的学习担负起责任、与同伴一起学习相关内容.”[2]
晋对于算术表征转译为数学式子表征和蕾不一样.晋的数学式子是：24÷[（＜2）、（＞9）]＞1，而蕾则是：24÷[（＜2）、（＞9）-1]＞1. 从上述，研究者认为，晋对于用数学式子表达倍数范围值时，要将数学公式转换为数学表达式遗漏年龄差要除以倍数差，所以应该如蕾写的“[（＜2）、（＞9）-1]”表征倍数差.这是晋粗心所致.总之，有关倍数范围值是让学生经验数学表达式中有不等式的表征；同时，学生深深感受到，原来数学公式也有受限制的时候. 整体而言，蕾和晋是每出一道题解决一件事.第一次题目出错；第二次题目出对，但是解题失败.第三次出题成功，解题也成功，而且第三次出题的题目变形，数学公式也灵活改变.由此得证，学生同时对自己发明的数学公式也了然于胸.学生对同侪的解法经过深度梳理后，解题优化了.
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