“联想”——数学问题探究的“导航者”，本文主要内容关键词为：数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学问题探究是新课程标准理念倡导的一种重要数学活动，通过对数学问题的探究，可培养学生的各种能力，如猜想、联想、合作、探究、创新等等能力，在这众多的能力中，联想作为思维的一种形式，对数学问题的探究起着“导航者”的角色，善于联想能始终把握住问题探究的方向，使得问题探究能朝正确的方向顺利进行下去。
当然探索数学问题过程中的联想不是漫无边际的幻想，它是通过观察，抓住数学问题有关部分的特征，以及它们之间的某种联系，通过已学过的知识进行“浮想联翩”，把所探究的问题化归为熟悉的问题和正确的情景之中。本文试想通过联想的几种具体表现形式，看看它是如何体现导航者的作用的。
一、接近联想——把握问题探究的“分水岭”
数学问题的探究有时需要一个环节一个环节地进行，进行到某一个环节，会出现不同的探究的方向，即所谓的问题探究的“分水岭”，把握好这个“分水岭”，能使问题的探究少走弯路，减少不必要的干扰。如何把握好这个“分水岭”？“接近联想”是我们选用的方法之一。接近联想主要是由概念、原理、法则、策略的接近而产生的联想，一般教材在学习定理、法则和公式之后的巩固和练习题中，大都借助于这种联想，使学生巩固知识。灵活地运用接近联想，可提高解题技巧和创新能力。
分析 本题的难点在于如何找出由θ的变化而引起的入射点位置的变化，这二者之间的关系若通过列出
与θ的关系式，经过运算去解决，不但时间花费多，而且又不易得到正确的解答。
二、类比联想——触摸问题探究的“准目标”
数学知识之间存在着各种不同的关系，它们之间有着相近或相似的性质，因此我们在解题时应当抓住这些联系，利用它们相同、相近、相似等原因，通过联想、类比，把已解决问题的思路运用到解决新问题的思路上，这就是所谓的类比联想。类比联想是数学发现中最常用、最有效的方法和手段。波利亚在论及类比联想时，认为类比联想可以在三个方面发挥作用：(1)可以提出新问题和获得新发现，触摸问题探究的“准目标”；(2)可以在求解问题中得到应用；(3)可以用来对猜测进行检验。正由于类比联想有如此大的功能，从近几年的高考试题来看，类比思想逐渐渗透于高考试题之中，出现了一种新的题型——“类比题”，通过对“类比题”的考查，挖掘学生类比推理能力，点燃学生创新思维，培养学生创新能力。
三、关系联想——弄清所探究问题的本质
在探索数学问题的过程中，我们往往通过抓住问题的有关部分的特征，以及它们之间的某种联系，根据知识之间的从属关系、一般关系、因果关系进行的一种联想，这种联想称之为关系联想。通过关系联想，可弄清问题的本质，使问题明朗化。例如，从一个抽象问题通过关系联想可转化为一个具体问题；从一个有数量关系问题通过关系联想可转化为一个几何图形问题；由一个一般问题通过关系联想可转化为一个特殊性问题等等。
例3 设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且具有这样的性质：f(xy)=f(x)+f(y)。
点评 对数函数的一个基本性质是积的对数等于对数的和，即
，把它抽象成一般性质就是：f(xy)=f(x)+f(y)，所以抽象函数具有这样性质，就可联想对数函数，利用对数函数的性质解决问题。
四、逆向联想——寻求问题探究的“便径”
我们在解决有关问题时，时常会出现正面解决有困难，联想到从它反面去思考，从而使问题妥善解决。这就是我们常说的反证法、同一法等间接策略，它们所表现出来的思维形式就叫做逆向联想。但利用逆向联想探究问题，其表现形式不仅仅局限于此，例如，在解析几何中，求动点轨迹曲线方程时，若直接求解有难度的话，可通过先判断曲线的形状，然后再去求它的方程，这个过程所表现出来的思维方式就是逆向联想；又如，立体几何中“割与补”“展与折”等所表现出来的思维方式也是逆向联想。
五、横向联想——寻找问题探究的“法宝”
横向联想，是指数学各分支之间，数学与物理、化学、生物、地理等学科之间的联想。由于各种知识之间有着一定的关联和相互渗透，这为横向联想提供了可行的条件。利用横向联想，可使所探究的问题“举一反三”“由此及彼”“触类旁通”。
例5 证明三角公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ。
分析与证明 该公式在教材中采用构造法证明，先构造一个单位圆，再在单位上构造四点，开成两个全等三角形，利用两点间距离公式证得。这种方法在构造图形上要求太高，很难与我们学过的知识相联系起来。当我们学过平面向量之后，用向量的知识不难证明这个公式。分析公式的右边 cosαcosβ+sinαsinβ，发现这个结构具有平面向量的数量积坐标公式的“影子”。取平面上的两个单位向
。
故有cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ。
例6 某粮店用一杆不准确的天平（其两边臂不等长）称大米。某顾客要购买20kg大米，售货员先将10kg的砝码放入左盘，置大米于右盘使之平衡后给顾客，然后又将10kg砝码放入右盘，置大米于左盘，平衡后再给顾客。请问：是顾客吃亏还是粮店吃亏？
分析 若顾客所得的大米多于20kg，则粮店吃亏。因此解此题的关键是求顾客称得大米的实际重量，再与20kg进行比较，从而达到求解的目的。由天平很自然地联想物理中的杠杆原理即动力×动力臂＝阻力×阻力臂。由此可建立数学模型——不等式。
故顾客所得的大米实际质量超过20kg，因此粮店吃亏。