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亚里士多德在建立三段论理论系统的过程中，明确提出了三种证明方法：化归法（换位法）、归谬法和显示法（王路）。其中，化归法和归谬法在三段论证明中的作用已世所公认，但是对显示法证明(proofs by exposition)的作用，长期以来人们一直认识不清，甚至有的逻辑学家认为，显示法证明对于亚里士多德的三段论理论系统没有什么重要性(Lukasiewicz,pp.66-67)。本文通过对亚里士多德模态三段论理论系统的分析，将使人们对显示法证明获得一个新的认识。
1.历史分析
亚里士多德依据中项在两个前提中位置的不同，将三段论分为三个格。如果中项在前提中一个处于谓项的位置，一个处于主项的位置，则为第一格；如果两个中项在两个前提中均处于谓项的位置，则为第二格；如果两个中项在两个前提中均处于主项的位置，则为第三格。因为每个前提都可能有全称肯定(A)、全称否定(E)、特称肯定(I)和特称否定(O)4种形式，所以，每个格都可能有16种不同的形式。这样，三个格共有48个不同的可能形式。在第一格中，亚里士多德进一步将与处于谓项位置的中项相连的处于主项位置的词项称为小项，将与处于主项位置的中项相连的处于谓项位置的词项称为大项，而把由小项作主项、大项作谓项形成的命题作为结论。
亚里士多德将可以必然得出结论的三段论称为有效的三段论。这样，第一格有4个不同形式的有效三段论，第二格也有4个不同形式的有效三段论，第三格有6个不同形式的有效三段论。三个格共有14个不同形式的有效三段论，其余34个不同形式的三段论都是无效的。
亚里士多德将这14个形式的有效三段论组织成了一个公理系统（称之为亚里士多德实然三段论公理系统）（杜国平，2000年a）。这个公理系统的公理除了亚里士多德的实然命题换位理论和实然命题对当关系理论外主要有4条，即第一格的4个有效三段论（为了称呼方便，我们借用传统逻辑中的符号AAA、EAE、AII和EIO来分别表示这4个有效三段论，但应注意亚里士多德的4个有效三段论与传统逻辑中的这4个式绝不是一回事。对于其它有效三段论我们也同样这样称呼之）；推理规则主要包括命题的换位规则和归谬规则。以此为出发点，第二格的EAE式、AEE式、EIO式，第三格的AAI式、EAO式、IAI式、AII式、EIO式，都可以通过使用命题的换位规则化归为第一格的有效三段论而得到证明；第二格的AOO式、第三格的OAO式，可以通过使用归谬规则由第一格的AAA式而得到证明。(Aristotle,i.1,
)
在亚里士多德实然三段论公理系统中，证明涉及显示法证明的共有三处。第一处是第三格AAI式的证明。亚里士多德在使用了换位证明之后指出它“也可以用归谬法和显示法予以证明”（同上，i.6,
)。
第二处是在给出第三格AII式的换位证明之后指出，该式也可以通过显示法得到证明（同上，i.6，
)。
第三处是第三格OAO式的证明：“如果R属于所有S，但P不属于有些S，那么，P应不属于有些R就是必然的了。因为，如果P属于所有R，而R属于所有S，则P将属于所有S；但根据假定，它不属于任何S。如果我们选取某些P所不属于的S作例子，那么，这一结论不用归谬法也能得到证明。”(Aristotle,i.6,
)
从涉及显示法证明的这三处可以看出，显示法证明在亚里士多德实然三段论公理系统中确实不是必需的，因为凡是可以用显示法证明的都可以用化归法或归谬法得到证明。这也许是后世的逻辑学家认为显示法证明不重要的原因吧。
2.显示法证明的结构
但是亚里士多德本人却并不这样认为。他在《前分析篇》第二卷中详细地论述了显示法证明与归谬法证明的异同：“归谬法先规定它所要反驳的命题，然后用它推出一个公认的谬误；相反，显示法证明则一开始就提出公认的命题。两者都设定了两个公认的前提，但直接证明设定三段论所由提出的前提，归谬法设定一个三段论的前提，一个与结论相矛盾的命题。在显示法证明中，结论不需要是已知的，也不需要预先设定它的真和假；但归谬法必须假定它预先不是真的。”（同上，ii.14，
)我们很难想象一个认为显示法证明可有可无的人会这么细致地对其进行论述。不仅如此，亚里士多德还进一步指出： “十分清楚，每个命题既能用显示法证明，也可用归谬法加以证明，这两种方法相互之间不可能截然分开。”（同上，ii.14，
）我们由此可见亚里士多德对于显示法证明的重视。
那么为什么会如此呢？在回答这一问题之前，我们有必要对显示法证明的结构进行详细的分析。
我们以第三格OAO式的证明为例来进行分析。该证明的两个前提是： “R属于所有S，但P不属于有些S。”我们选取“某些P所不属于的S”作为“显示词项(exposed term)”令为S′；并且S′满足“S属于所有S′，但P不属于任何S′”。这样构造的显示词项是否合理呢？首先，根据亚里士多德三段论系统中的词项都是普遍词项的规定由“P不属于有些S”显然可以得出存在这样的S′，S′满足“S属于所有S′，但P不属于任何S′”；其次，由“S属于所有S′”根据换位规则可得：“S′属于有的S”，而由“P不属于任何S′”和“S′属于有的S”，根据第一格EIO式可得：“P不属于有些S”。所以，这样构造的显示法是合理的，我们可以用符号表示为：SOP
S′AS，S′EP。
这样对第三格OAO式就可以构造出如下的证明：
(1)由前提“R属于所有S，但P不属于有些S”中的“P不属于有些S”，根据显示法得出：“S属于所有S′，但P不属于任何S′”；
(2)由“R属于所有S”和“S属于所有S′”，根据第一格AAA式可以得到：“R属于所有S′”；
(3)由“R属于所有S′”根据换位规则可得：“S′属于有些R”；
(4)由“P不属于任何S′”和“S′属于有些R”，根据第一格EIO式可以得到：“P不属于有些R”。
对于第三格AAI式的证明，亚里士多德是这样论述的：“当P和R属于所有S时，P必定属于有些R。因为肯定前提是可以换位的，S属于有些R，并且P属于所有S，S属于有些R，所以P必定属于有些R。我们通过第一格得到了这个三段论。这也可以用归谬法和显示法予以证明。当两个词项都属于所有S时，如果我们从S类中选择某些事物，例如N，则P和R都属于它。所以P属于有些R。”（同上，i.5，
)在这里亚里士多德选择的显示词项是“P和R都属于它”的N，显然由此并不能直接得到“P属于有些R”，因为如果能得到的话，那么由“P和R属于所有S”同样可以得到，而不必多此一举。那么由“P和R都属于它”的N要得到“P属于有些R”，也必须使用换位规则化归为第一格的AII式。那么，在这里，亚里士多德提出显示法证明有什么意义呢？我们认为，他只不过是想告诉人们对于AII的证明还存在别的方法而已。对于第三格AII式的证明也存在着与此相类似的情况。
所以，显示法证明真正有意义的是上述对于OAO式的证明。其实，对于第二格AOO式也可以同样构造出这样有意义的证明。有趣的是，这两个式都不能使用换位法由化归而得，它们都是首先通过归谬法得到证明的。这也许是亚里士多德将归谬法和显示法进行细致比较的原因吧。
3.显示法证明的作用
显示法证明的真正作用首先体现在亚里士多德纯必然三段论公理系统的证明中。亚里士多德将每个实然命题改为必然命题，从而由实然三段论得到了纯必然三段论。在纯必然三段论中同样有可能的48个不同的形式，其中有效的纯必然三段论共有14个式。亚里士多德同样将其构造为一个公理系统（杜国平，2000年b）。
这个公理系统的公理除了亚里士多德的必然命题换位理论和必然命题对当关系理论外主要有4条，即第一格的4个有效三段论（为了称呼方便，我们借用“纯必然AAA式、纯必然EAE、纯必然All和纯必然EIO”来分别表示这4个有效的必然三段论，对于其它有效的必然三段论我们也同样这样称呼之）；推理规则主要包括必然命题的换位规则和必然显示法规则。对于第二格的纯必然EAE式、纯必然AEE式、纯必然EIO式，第三格的纯必然AAI式、纯必然EAO式、纯必然IAI式、纯必然AII式、纯必然EIO式，也同样都可以通过使用必然命题的换位规则化归为第一格的有效三段论而得到证明(Aristotle i.8，
)。
必然三段论系统和实然三段论系统的最大区别是归谬法证明换成了显示法证明。这是因为实然三段论中的归谬法证明不能平移到纯必然三段论中。例如第二格的AOO式在实然三段论中是这样证明的：“如果M属于所有N，但不属于某个O，那么必然可以得出，N不属于某个O。因为如果N属于一切O，M可表述所有N，那么M必定也属于一切O。但根据没定，M不属于某个O。”（同上，1.5，
）归谬法证明的出发点是首先设定结论不是真的。但是对于必然命题“N必然属于一切O”，如果没定它不是真的，那么根据必然命题的对当关系，得到的是一个可能命题：“N可能不属于有些O”（同上，13，
-30)。而这就超出了纯必然三段论的推理范围。所以对于第二格的纯必然AOO式和第三格的纯必然OAO式使用归谬法行不通。
但是显示法证明则不存在这样的问题。因为显示法规则的合理性在必然三段论中依然存在。首先，根据亚里士多德三段论系统中的词项都是普遍词项的规定，由“P必然不属于有些S”显然可以得出存在这样的S′，S′满足“S必然属于所有S′，但P必然不属于任何S′”；其次，由“S必然属于所有S′”根据换位规则可得：“S′必然属于有的S”，而由“P必然不属于任何S′”和“S′必然属于有的S”，根据第一格EIO式可得：“P必然不属于有些S”。我们可以用符号将必然显示法规则表示为：必然SOP必然S′AS，必然S′EP。
对于第二格的纯必然AOO式就可以构造出如下的显示法证明：
(1)由两个前提“M必然属于所有N，但M必然不属于某个O”中的否定命题，根据显示法规则可以得到：“M必然不属于所有O′，O必然属于所有的0′”；
(2)由“M必然不属于所有O′”根据必然换位理论，可得：“O′必然不属于所有M”；
(3)由“O′必然不属于所有M”和“M必然属于所有N”，根据第一格的纯必然EAE式可得：“O′必然不属于所有N”；
(4)由“O′必然不属于所有N”和“O必然属于所有的O′”，根据必然换位规则理论分别可得：“N必然不属于所有O′”、“O′必然属于有的0”；
(5)由“N必然不属于所有O′”和“O′必然属于有的O”，根据第一格的纯必然EIO式可得：“N必然不属于有的O”。
对于第三格的纯必然OAO式，我们同样可以构造出如下的显示法证明：
(1)由前提“R必然属于所有S，但P必然不属于有些S”中的“P必然不属于有些S”，根据显示法得出：“S必然属于所有S′，但P必然不属于任何S′”；
(2)由“R必然属于所有S”和“S必然属于所有S′”，根据第一格的纯必然AAA式可以得到：“R必然属于所有S′”；
(3)由“R必然属于所有S′”根据换位规则可得：“S′必然属于有些R”；
(4)由“P必然不属于任何S′”和“S′必然属于有些R”，根据第一格的纯必然EIO式可以得到：“P必然不属于有些R”。
由此可见，显示法证明在亚里士多德的纯必然三段论公理系统中具有归谬法所不可替代的作用。但是，亚里士多德的纯必然三段论理论并不像实然三段论理论那样广为人知，这也许也是后世的逻辑学家没有认识到显示法证明之重要性的原因吧。
4.实然必然／必然AOO式的有效性分析
亚里士多德还研究了前提一个是必然命题、一个是实然命题但结论为必然命题的三段论。我们称之为混合三段论（我们用“实然必然／必然”表示大前提为实然命题、小前提为必然命题而结论为必然命题的三段论，其它情形以此类推）。显然，混合三段论共有96个不同的可能形式。亚里士多德认为其中83个形式的三段论都是无效的，只有13个形式的三段论是有效的。这些有效三段论是：第一格的必然实然／必然AAA式、必然实然／必然EAE式、必然实然／必然AII式和必然实然／必然EIO式，第二格的必然实然／必然EAE式、实然必然／必然AEE式、必然实然／必然EIO式，第三格的必然实然／必然AAI式、实然必然／必然AAI式、必然实然／必然EAO式、实然必然／必然IAI式、必然实然／必然AII式、必然实然／必然EIO式。
亚里士多德同样将这13个式组织成一个公理系统。以第一格的4个式作为公理，其余9个式均通过换位规则化归为第一格的4个式而获得证明(Aristotle，i.9，
)。
亚里士多德的实然三段论和纯必然三段论都各有14个有效式。而混合三段论亚里士多德认为共有13个有效式，在数上显示出与实然三段论、纯必然三段论不协调，这是非常奇怪的。而且由于对于亚里士多德模态（包括必然、可能等）三段论的研究还不够充分，无论国内国外对于这一不协凋现象都没有引起足够的重视(McCall)。
下面我们利用显示法证明来对这一问题进行探讨。
通过对亚里士多德排斥的其余83个式进行分析，我们认为第二格的实然必然／必然AOO式实际上是一个有效的三段论。亚里士多德对这一式的排斥是这样说明的：“如果否定前提是特称必然的，则结论不是必然的。这也可以通过相同的词项加以证明。”(Aristotle，i.10，
)而他所举的词项是：“动物”、“人”和“白色的”。他的意思是：由“动物属于所有的人”和“动物必然不属于有的白色的”这两个前提不能必然得出：“人必然不属于有的白色的”。这显然是缺乏说服力的。
我们认为，第二格的实然必然／必然AOO式的有效性可以通过显示法得到证明：(1)假设两个前提是“A属于所有的B，但是A必然不属于有的C”；(2)由“A必然不属于有的C”根据显示法规则可得：“A必然不属于所有的C′”和“C必然属于所有的C′”； (3)由“A必然不属于所有的C′”根据换位规则可得：“C′必然不属于所有的A”；(4)由“C′必然不属于所有的A′”和“A属于所有的B”，根据混合必然三段论中的公理第一格的必然实然／必然EAE式可得：“C′必然不属于所有的B”；(5)由“C′必然不属于所有的B”和“C必然属于所有的C′”，根据必然换位规则分别可得：“B必然不属于所有的C′”和“C′必然属于有的C”；(6)由“B必然不属于所有的C′”和“C′必然属于有的C”，根据纯必然三段论的第一格纯必然EIO式可得：“B必然不属于有的C”。
这一证明可以符号化如下：
(1)实然BAA 前提
(2)必然COA前提
(3)必然C′AC(2)显示法
(4)必然C′EA(2)显示法
(5)必然AEC′(4)换位
(6)必然BEC′(1)、(5)第一格的必然实然／必然EAE式
(7)必然C′EB(6)换位
(8)必然CIC′(3)换位
(9)必然COB(7)、(8)第一格的纯必然EIO式
由此我们可以得出，亚里士多德的混合三段论和实然三段论、纯必然三段论一样也具有14个不同形式的有效三段论（杜国平，2003年）。
显示法证明方法是亚里士多德三段论理论系统中一种非常重要的证明方法。尤其是在他的模态三段论理论系统中具有化归法和归谬法所无法取代的地位。使用显示法证明对于重新认识亚里士多德的模态三段论理论也具有非常重要的意义。
显示法证明方法的实质实际上就是现代谓词逻辑中的存在量词例示规则(Hamilton)，它和模型论证明中常用的常量方法也有相通之处(Chang,1973)，可以这样认为，显示法证明方法是这些方法的萌芽。对于这一点，我们将另文专门论述。