类比推理的难因分析及教学策略，本文主要内容关键词为：教学策略论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
类比推理与归纳推理都属于合情推理，是新课程新增内容之一.这一内容的增加，旨在引导学生运用常用的推理方法去猜测、探索一些数学结论，有利于创新意识的培养.类比推理的关键在于理解类比的方法，感受数学发现的过程，而不必追求对概念的抽象表述或类比结论的正确性.首先是要有联想，能类比.因为类比推理不是证明，不要求类比结论一定正确，结论错误当属正常.教学重点不是获得正确的结论，而是能使学生会产生联想，主动进行类比，这是第一位的.当然，我们往往还需要证明或否定类比的结论，即用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想.因为从科学价值的角度来看，数学需要的是正确的结论，错误的类比结论是没有价值的.
在教学实践中，不少教师反映这一内容的教学遭遇到不曾预想的困难.相比于归纳推理，类比推理没有了直观的规律性，学生更难在已有的知识中找到相关的生长点，无从类比，更别说类比出正确结论了.很多问题，教师看来简单明了，不费一纸一笔答案就呼之欲出，学生看来却晦涩玄奥，茫无头绪.那么，究竟是什么原因导致类比推理如此之难呢？平时的教学中又应该注意哪些策略？本文结合自己几年的教学探索，分析其致难原因并给出一些优化的教学策略，以供同行们参考.
二、类比推理的难因分析
1.类比模型的建构缺乏系统性
从现代数学的角度来看，类比就是两个具有同构关系的模型间的推理.通过例题与练习，学生已经了解了一些可以类比的对象，但对于常见的同构模型，认识上显然还缺系统性.当然，一般而言题目会明确告诉学生类比的对象，如例1是将立体几何与平面几何进行类比，例2是将等比数列与等差数列进行类比.
例1（2009年高考江苏卷）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.
还有一些题目考查类比却非常灵活，并不指定类比的对象，如：
例3（2007年高考福建卷）中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意a∈A，都有a～a；
（2）对称性：对于a，b∈A，若a～b，则有b～a；
（3）传递性：对于a，b，c∈A，若a～b，b～c，则有a～c.
则称“～”是集合A的一个等价关系.例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出三个等价关系：________.
本题答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.该题要求学生发散思维，合理类比.开放性的要求看似降低了难度，但如果学生对常见的类比模型缺乏系统性的认识，反而会觉得无从联想，难度较大.
2.对类比对象的相似性认识模糊
类比其实是一种从已知的相似性推断未知的相似性的推理，因此首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性.但学生对这一点的认识是比较模糊的.很多时候，他们并不清楚类比的两类对象哪些方面具有相似性以及怎样去描述相似性.即便有点感觉，也只是停留在“只可意会，不可言传”的朦胧状态.对于例1与例2，他们甚至可能会撇开类比，无视题干中的类比模型，直接通过运算解出答案.这样当然也可以，但无疑已经背离了命题的考查意图.而对于表述要求较高的类比问题，则更能暴露这一点.如：
例4（2008年高考全国卷Ⅱ）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①________________；充要条件②__________.（写出你认为正确的两个充要条件）
本题答案不唯一，如“两组相对侧面分别平行”、“一组相对侧面平行且全等”、“底面是平行四边形”等.尽管学生知道是将平行四边形类比为平行六面体，但对于两者之间的相似性却认识不够或者不会准确表述，出现“两组对面分别平行”、“一组对面平行且相等”等错误答案.
还有一些问题考查类比更是不露声色，隐含了类比的方向，需要学生结合题境探索类比对象的相似性，难度更大.
3.对类比结论过于追求其形式化
尽管类比推理的教学重心在于推理的形式而非推理的内容，并不要求保证结论的正确性，但在实际考查中，需要的是正确的结论，错误的类比结论是无意义的.因此，类比推理除了关注结论的类比，更要关注过程的类比.但学生往往认为既然是类比，只需结论“形似”即可，甚至为此过于追求形式化的表象特征.
例6由“若直角三角形两直角边的长分别为a，b，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径为
对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球半径为R=____.
三、类比推理的教学策略
1.建构系统的类比模型
学生的学习是一个知识获得、记忆、运用的过程.对获得的知识进行加工是能够长期记忆与灵活运用的重要条件.系统建构就是一种有效的加工方式.
事实上，根据类比范畴的不同，类比可分为系统间的类比与系统内的类比.系统间的类比是指两个不同知识系统之间概念、构成、性质等方面较为完整的类比，如等式与不等式、数量与向量、平面几何与立体几何之间的类比等；系统内的类比是指某个知识系统之内两个不同对象某些方面局部的类比，如实数运算中的加法与乘法、数列中的等差与等比、圆锥曲线中的椭圆与双曲线之间的类比等.
如果学生在头脑中形成了清晰的模型系统，那么类比时便能针对不同的模型迅速找到链接，定位类比.即使遇到例3这样的开放性问题时，也不会觉得无从联想.
2.明确类比对象的相似性
在教学中要引导学生明确类比对象的相似性，弄清在推理中究竟是从哪些已知的“相似性”推出什么样的未知的“相似性”，并且要坚持把它们的相似性用语言确切地表述出来.比如，在平面几何与立体几何的类比中，我们可以建立如下的相似性：
另外值得一提的是，相似性往往还呈现出有趣的规律性.如在由二维平面到三维空间的类比中，很多与运算有关的数值也高度表现为“2”与“3”的相似性；如果我们定义加法、减法运算为“第一层次”，乘法、除法运算为“第二层次”，乘方、开方运算为“第三层次”，那么等差数列与等比数列在运算的相似性上还往往表现出后者较前者高一个“层次”的特点.
3.强调思维过程的类比
类比推理不仅是结论的类比，更是思维过程的类比.类比思维的确存在着某种缺陷，直观获得的结论仅仅只是猜想，其正确性还有待检验.莱布尼兹曾说，“感觉永远只能给我们提供一些例子，只有理性才能建立可靠的规律”.新课标也指出，课程的基本理念之一是“强调本质，注意适度形式化”，“在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识”.因此在教学中，一方面要鼓励学生根据类比对象的相似性及类比规律大胆猜想，给出最合理的结论；另一方面更要要求学生对类比的思维过程进行分析，检验结论的正确性.有时这个过程是比较曲折的，当猜想的结论经检验不成立时，则需要根据思维过程的类比分析作出调整.
反之，如果学生只关注类比结论，忽视了类比过程，则容易过于追求结论的形式化.如例6、例7中列举的错误结论就是刻意追求形式上的统一，而忽略了过程的分析，从而类比得太“过”.当然，猜想的结论到底是“过”还是“不及”，我们常常无法预知，需要检验.这也正是类比推理中强调过程类比的重要意义.
4.引导学生欣赏数学的“美”
数学处处存在“美”.类比推理就是发现“美”的重要途径之一.通过类比，我们可以感受到不同对象之间的对称美、和谐美、相似美等，领略到数学至高至纯的“美”.反之，如能在教学中引导学生欣赏数学，体会数学的美学意义，则能够培养学生对类比对象的相似性的直观感知，有助于合理类比.
例8（2008年高考江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0）；点P（0，p）为线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p为非零常数.设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F.
本题的解法较多，但命题的立意侧重在类比推理的考查.直线OE与OF位置的对称性及其方程结构上的相似性，都带给我们一种愉悦的“美”的享受.因此它们的斜率应有一定的关联，故猜想互为相反数，答案为
这一猜想建立在“美”的基础上，合理和谐，丝毫不觉生硬突兀.
因此，在教学实践中，教师应抓住契机，结合教学内容，如类比平面向量教学空间向量，类比椭圆教学双曲线等等，引导学生通过类比学会欣赏，通过欣赏合理类比.
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