南京市第十二中学 江苏 南京 210011
【摘要】直线与圆的问题是江苏高考的C级考查点，题目灵活、难度大，“根轴”作为研究圆问题的重要桥梁，它的性质多，且有明显的几何意义，其方程又很容易直接构造获得，因此利用它解决问题非常方便有效。
【关键词】直线与圆；根轴；解题策略；应用
一、提出问题
我们知道，将两个相交的圆的方程相减，得到两圆公共弦所在直线方程，如果将两个不相交的圆的方程相减，会得到什么呢？它具有什么性质呢？
这说明，将两圆的方程作差可以得到一条直线方程 ，过 上的任意一点作两圆的切线，则两切线长相等，这条直线 叫做两圆的“根轴”。利用这一结论，我们可以方便地解题。
二、根轴的由来和相关性质
1．根轴的定义和方程
平面几何中有一条著名的定理——圆幂定理：过平面上一定点M，任作一直线与半径为R的定圆O交于A、B两点，则MA∙MB为定值k（这里MA、MB表示有向线段的数量），并且k=〖OM〗^2-R^2。定值k为点M对圆O的幂，简称“圆幂”。可以证明：对于不同心的两定圆等幂的点的轨迹，是垂直于连心线的一条直线，该直线称为两圆的根轴，也称等幂轴。
当点在圆内时，点对圆的幂小于零；当点在圆上时，点对圆的幂等于零；当点在圆外时，点对圆的幂大于零（其值等于该点到圆的切线长的平方）。因此，对两圆等幂的点或者同在两圆内，或者同在两圆上，或者同在两圆外（此时该点到两圆的切线长相等）。特别的，当两圆相交时，根轴即两交点的连心线；当两圆相切时，根轴即为过切点的公切线；当两圆外离或内含时，根轴与两圆均不相交。
前面推导的过程中，有方程 ，此方程左边表示点(x,y)对圆C_1的幂，右边表示点(x,y)对圆C_2的幂，从而它表示对两圆C_1、C_2有等幂的点的轨迹方程，即两圆的根轴方程，化简后为如下的方程： 
。
2.根轴的性质和相关结论
根轴的性质如下：
（1）平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；
（2）若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；
（3）若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；
（4）蒙日定理（根心定理）：平满上任意三个圆心不共线的圆，它们两两的根轴或者相互平行，或者交于一点，这一点叫做它们的根心。
三、根轴的应用
由于根轴有明显的几何意义，其方程又很容易直接构造获得，因此利用它解决问题，很多时候非常方便有效。下面把考试中常考的几个题型利用根轴的性质来解答，拓宽我们的视野。
1.求切线的方程
2.求圆方程问题
例3:求经过点A(4,5)并且与直线l:x+2y-5=0相切于点M(1,2)的圆的方程。
【分析】将点M(1,2)看作是点圆C:〖(x-1)〗^2+〖(y-2)〗^2=0，则所求的圆即是与圆C以直线l为根轴的圆。
解：设所求圆的方程为〖(x-1)〗^2+〖(y-2)〗^2+m(x+2y-5)=0，
将点A(1,4)代入得m=-2，故所求圆的方程为x^2+y^2-4x-8y+15=0。
3.求对称圆的方程
这些经典的题目，换了一种思路来做，开拓了思维，带给我们更多的思考和启发，让教师们的解题思路多维且具有一定的高度。
要给学生一碗水，教师得是自来水。教师虽然面对的知识没有变化，但自己要善于学习，丰富自己的知识，拓宽自己的眼界，做一个研究型的教师。
圆和直线题，有“轴”不要急，本是同“跟”生，构造来解题。
参考文献：
[1]《数学辞海》总编委会.《数学辞海》第一卷.东南大学出版社.2002.8.
论文作者:张瑜
论文发表刊物:《成功》2018年第11期
论文发表时间:2019/7/5
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