——谈“两点之间，线段最短”的应用
任红香 张瑞君 山东省胶州市第二实验初中 266300
一次考试，我们遇到这样一道题：如图（1）所示：已知正方形ABCD的边长为4，点F在CD上，且DF =1，E是AC上一动点，则DE+EF的最小值是______。乍一看到此题，学生有些懵了，不知从哪儿入手来做，因此得分率极低。试卷分析时，我特意将这一道题作为一个重点来处理。
一、铺垫
如图（2）：已知点A和点B分列在直线L的两侧，请做出从点A经过直线L到点B的最短路线，并说出你这样做的根据。此题一出，学生自然就会想到“两点之间，线段最短”这一公理，并顺利做出图形，如图（3）。
接着，我又和学生一起复习了七下（北师大版）123页的问题解决方案：如图（4）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？本题点A和点B是定点，点P是直线上一动点，如何确定点P的位置，成了本题的解题关键。有了上一题的铺垫，学生自然能够想到利用轴对称变换找对称点，并用两点之间线段最短的方法来求最短路径，从而确定了点P的位置，如图（5）。
说明：选取这两例，是考虑从最基本的图形入手，让学易于接受、敢于接受挑战，并顺利引出解决此类问题的常用知识点：（1）两点之间，线段最短；（2）若两点在直线的同一侧，则利用轴对称将其中一点转移到直线的另一侧，再利用两点之间，线段最短进行解答。
二、解疑
类比“建奶站”问题，学生一下顿悟，原来可以找到点D关于直线AC的轴对称点点B，连接BF，交AC于点E，这样就将线段AC同侧的线段DE和EF变换为异侧，既保证了DE=BE，又使BE和EF在变换过程中形成共线情形，从而保持线段长度和不变，即DE+EF=BE+EF=BF，这样，就将求两条线段和转换成求一条线段的长度，至此，学生再根据勾股定理即可求得。
解：如图（6），点B即为点D关于AC的对称点，连接BF，BF的长度即为DE+EF的最短距离。在RT△BCF中，根据勾股定理可求得BF= 32+42=5。
说明：以上几道题，通过生活中的实例，让学生感受到最短路径问题来源于生活，并引出求最短路径的常用方法：（1）只要是求最短路径，就要想办法在题目中利用两点之间线段最短。（2）若两点在直线的同侧，则利用轴对称将直线同侧的线段，转移到直线的异侧，重点强调保持线段长度不变。（3）在变换过程中，着重考虑如何让三点共线，即尽可能将两条线段置于共线情形，从而利用两点之间线段最短，求出最短路径。
三、拓展
如图（7），在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，M为AB中点，N是AC上一动点，求MN+BN的最小值。
分析：本题是以例题变式的方式，在同一模型中植入菱形的背景，旨在让学生在已有的知识经验和例题的基础上进行模仿和探究。本题BN、MN两条线段中，M、B两点固定，只有N一个点是移动的，因此，只需确定点N，使得距离和最短即可。菱形ABCD中，点B和点D关于直线AC成轴对称，连接MD交AC于点N，DM的长度即为MN+BN的最小值。再连接BD，这样求MN+BN的最小值就转换成求等边△ABD中一边上的高，问题就迎刃而解了。
通过探究我们发现，这一类问题解题的大致步骤是一样的，唯一不同的是赋予它们的图形不同，也就是已知条件不同，它们可以以正方形、菱形为依托，也可以以等腰三角形和等边三角形为依托，但我们发现它们的本质是不变的，也就是万变不离其宗。因此，我们在教学中，要对所教内容作出合理的加工和组织。从最基本的图形、最原始的公理入手，选取具有示范性、典型性的题目，由浅入深，循序渐进。使学生在学习知识的同时，能够形成技能，提升思维，培养思维，生成智慧。习题教学的重要目标就是让学生在运用基础知识、感悟数学解题策略的同时，提炼基本数学方法、数学思想，在问题解决的过程中重塑知识间的联系，形成更好的知识网络结构。因此，本节开始先复习了“两点之间，线段最短”，找到了解决此类问题的根本和源头，又利用“建奶站”问题复习了轴对称，为本节知识做了必要的铺垫，而后再来解例题，学生就会有水到渠成之感。
论文作者:任红香 张瑞君
论文发表刊物:《中小学教育》2016年7月总第247期
论文发表时间:2016/7/11
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