初中“数学情境与提出问题”的教学实践——“圆与圆的位置关系”教学案例，本文主要内容关键词为：情境论文,教学实践论文,教学案例论文,初中论文,位置论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、教学设计
笔者用Authorware制作了多媒体课件，采用“情境—问题”的教学模式，通过自然现象“日食”引导学生把实际问题抽象为数学问题，得出半径不等的2个圆间的5种位置关系.
在讲解例题时，笔者将书上的例题做了部分修改.书上例1为：⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm，求：（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？改进为：⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm，以P为圆心作⊙P与⊙O相切，问⊙P的半径是多少？这样一改，就出现了很好的数学情境，笔者希望学生能由此讨论分清内切与外切的关系.最后笔者把圆的5种位置关系在数轴上表示出来，把几何问题代数化，让学生体会数形结合的思想.
二、教学过程
1.创设情境以引导学生提出问题
师：从小学自然课中，我们知道，地球在绕着太阳公转的同时也在自转，而月亮又绕着地球转.在此过程中，你们听说过“日食”，见过“日食”吗？
少部分学生：听说过.
师：谁能描述一下“日食”形成的过程呢？
学生全部沉默了，并用好奇的眼神看着老师.
出示情境：课件显示日食形成过程.
师：当月亮转到地球与太阳之间，3者成一条直线时，在地球上看到“日食”现象，我们现在看到的是“日食”的过程，大家注意到其中有什么数学问题吗？
学生甲：太阳、月亮像2个圆：
学生乙：太阳、月亮是球体.
师：若使一束平行光线垂直于投影平面，则球体的投影是什么图形？
生集体回答：是一个圆.
师：因为太阳离地球很远很远，射到地面的光线可视为平行光束，看到的日食图形可视为圆形.现在，你们能用手中的2个大小不同的圆（一张纸，一张胶片，其上各画有一圆）演示一下日食形成的过程吗？
女生丙到投影仪前将胶片上的圆沿着纸上的圆旋转一圈，另一个男生马上站起来说：“不是这样运动的，应该是一个圆慢慢移动过去盖住另一个圆.”并移动手中的2个圆演示了这个过程.
师：大家能从这个男同学演示的过程中想到什么吗？
生：2个圆的位置发生了变化.
师：你能通过手中的图片的不断变化看出有哪些位置吗？
一个男生到投影仪前演示了3种位置关系（外离、相交、内含），很快又有学生补充了外切和内切2种情况.这时，我用课件演示了2个半径不相等的圆慢慢移动形成的5种位置关系，并在屏幕上保留图形（如图1）.
图1 圆的各种位置关系
然后引导学生观察图形，并问：你观察到了什么？学生纷纷举手，归纳如下：
（1）这些图形中都有2个圆.
（2）图1中，（1）与（5）的2个圆无公共点.
（3）图1中，（2）与（4）的2个圆有且只有一个公共点.
（4）图1中，（3）的2个圆有2个共公点.
师：你能给它们取个名字吗？
生：图1中，（1）与（5）都叫相离，（2）与（4）叫相切，（3）叫相交.
师：怎样想到这样命名？
生：由前面学过的直线与圆的位置关系想到.
笔者及时地表扬了这位学生.接着，用课件给出了相离、相切、相交的定义.
2.交流学习以弄清有关基本概念
大家再观察图形，还能发现什么？
生：虽然（1）与（5）都是相离，但它们又有不同，（1）中一个圆上的所有点在另一个圆的外部，而（5）中的2个圆有一个圆上的所有点在另一个圆的内部.
另一个学生迫不及待地站起来说：（2）与（4）也不尽相同，它们虽然2个圆只有一个公共点，但（2）中有一个圆的其它点在另一个圆的外部，（4）中有一个圆的其它点在另一个圆的外部或内部.
师：根据它们的特点，你能给它们再起个名字吗？
学生争先恐后地回答：（1）叫外离，（5）叫内离，（2）叫外切，（4）叫内切.
师：（5）是一个圆包含另一个圆，把它叫得更形象一点，叫内含.
师：由前面学过的内容可知，圆心确定圆的位置，而半径确定圆的大小，若假设上图中大圆的半径为R，小圆的半径为r，2圆心的距离即圆心距为d，则这5种位置关系中，R、r、d的关系怎样？（多媒体课件显示圆心，半径及圆心距）
学生多数能得出外离、外切的关系式：d＞R+r，d=R+r.对于内切，学生得出的式子为：d＜R+r或d=R+r；对于相交，学生得出的式子为：d＜R+r或d＜R-r等；对于内含，学生也得出：d＜R+r或d＜R-r等.笔者让学生讨论一阵后，利用制作的课件动感地将2圆的半径慢慢移到圆心距上，则外离、外切显而易见就是学生给出的关系式d＞R+r，d=R+r；内切与内含，因线段颜色不一样，所以学生也很容易得出d=R-r和d=R-r的式子；相交是一个难点，笔者特意将2圆圆心与同一交点相连，再引导学生利用构成三角形的条件是2边之和大于第三边且2边之差小于第三边得相交关系式为：R-r＜d＜R+r.
3.质疑探究以使学生在认知冲突中学习
在定性、定量地对2圆位置关系进行探究后，笔者用一个例题进行巩固.（课件显示题目）
例 已知⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm，以P为圆心作⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径是多少？
生甲回答：因为⊙P与⊙O相切，所以⊙P的半径与⊙O的半径之和等于圆心距.若设⊙P的半径为x，则有5+x=8，即x=3（cm）.
生乙有点犹豫地举手回答：我认为他的算法不全面，题中说相切，应分为内切与外切，当2圆外切时，跟上面算法一样，当2圆内切时应为x-5=8即x=13（cm）.
生丙迅速站起来说：他回答得不对，因为点P是⊙O外一点，所以不可能是内切.
师：你的意思是说，当内切时，大圆圆心必须在小圆内，是吗？有不同的看法吗？
大家感到有些困惑.
此时，笔者引导同学们动手画一画，能否画出2圆相内切，而大圆的圆心不在小圆的内部.
很快，就有学生惊呼：我能画出.当一个半径很小的圆与一个半径很大的圆相内切时，大圆的圆心就可能不在小圆内部，所以此题的答案为3cm或13cm.
到此，学生对例题已讨论清楚，笔者用课件显示此题的解答过程.
这时有一学生低声说到：当2圆半径相等时，它们会相内切吗？
这个问题提得非常好，笔者顺水推舟把它抛给学生：你们认为2圆半径相等时，它们的位置关系有哪几种呢？学生马上展开讨论，不一会儿就有学生举手回答：只有外离、相交、外切3种情况，不会有内切与内含，因为此时它们重合了.
又有学生提出：当2圆为同心圆时，是什么位置关系呢？对这个问题，大部分学生齐声回答：当2圆为同心圆时，应属于内含，圆心距为0.
到此，本节课的内容已基本完成，然后电脑出示一组练习让学生巩固已学的基本概念和关系.
4.师生小结加深理解
（1）让学生回忆半径不等的2圆的5种位置关系是如何定义的.
（2）在数轴上表示出圆的5种位置关系，让学生分析数轴中的内容.
此时笔者用课件播放初二英语光碟中讲解四季的音乐片段，其中有一画面：雨点打在湖面上，卷起层层波纹，出现无数个圆.让学生观察、体验生活中美丽的圆形图案关系.
三、教学反思
本节课是在兴义六中借班所上的一堂交流课，对这班学生的各种情况笔者几乎不了解，所以在显示“日食”这个情境后，很多学生都感到很陌生，即使通过教师的讲解，也不易理解.若将其换成“雨滴落入湖面形成各种圆”这个情境，估计学生接受起来会更加容易一些.
运用多媒体课件进行教学，形象生动地展示圆的各种位置关系.特别是定量分析半径不等的2圆的位置关系中，未展示课件时，学生得出各种各样的关系式.但用课件将它们的半径运动到一条直线，学生就很容易得出半径与圆心距的关系.
本节课中，笔者创设“日食”情境引入概念、改进例题，使学生在探究的过程中巩固概念，获取新知，特别是2圆相内切时，“圆心在不在小圆内部”这个问题是课前未预料到的，学生通过质疑—困惑—探究—讨论得出结论，就更加深了对内切和外切的理解，同时自然地引出了等圆与同心圆这2种特殊圆的位置关系.这样，就逐步培养了学生的推理、判断、逻辑思维能力.最后我又设置了一个音乐画面情境，让学生变被动为主动，在轻松、愉快的心情中去学习、思考.
课后，有学生问笔者2个问题：
（1）在例题的讲解中，2圆内切，当小圆经过大圆的圆心，则它们之间又有何特殊关系呢？这个问题，是小圆的直径等于大圆半径时的特殊情况.
（2）一个圆是轴对称图形，任意一条直径都是它的对称轴.那么2圆在各种位置关系中的组合图形还是轴对称图形吗？分别有几条对称轴？这其实就是下一节课的内容——“连心线垂直平分公共弦”的证明依据.
选择适当的数学情境，能在解决问题和数学应用的过程中引发出新的情境，从而产生出深一层次的数学问题，形成“情境—问题”学习链，培养学生的创新意识和实践能力[1].
在数轴上表示半径不等的2圆位置关系中半径R、r与圆心距d的关系，这种对圆的5种位置关系的定性描述和定量刻画，有利于学生形成数形结合的思想方法.