命制中考数学压轴题的基本要义,本文主要内容关键词为:要义论文,中考论文,数学论文,此文献不代表本站观点,内容供学术参考,文章仅供参考阅读下载。
中考数学压轴题涉及的知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂,其主要功能是对学生的学习水平进行区分,考查学生对初中数学核心知识和重要方法的理解与掌握水平,为高中学校招生提供依据.如何命制压轴题以更好地实现其选拔功能,同时激发学生学习数学的兴趣,并且有利于提高初中教学质量?如何实现这三点要求是命题人必须努力探索需要解决的问题.笔者在长期从事初中教学和命题的过程中,对于命制中考数学压轴题的基本要义,有一些思考和感悟,现予以展示,以飨读者.
一、压轴题的命制应力争做到低起点、循序渐进
《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确指出:重要的数学概念与数学思想要体现螺旋上升的原则.螺旋上升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变化,即体现出明显的阶段性要求.中考数学压轴题的命制也应该体现对学生认知的尊重,以人为本,遵循低起点、循序渐进、螺旋上升的原则.这样呈现问题,学生体会到中考压轴题不是那么难,逐渐地也就有了信心.
例1 (2012年 徐州)如图1,直线y=x+b(b>4)与x轴、y轴分别相交于点A、B,与反比例函数的图象相交于点C、D(点C在点D的左侧),O是以CD长为半径的圆.CE//x轴,DE//y轴,CE与DE相交于点E.
(1)△CDE是________三角形;点C的坐标为________,点D的坐标为________(用含有b的代数式表示);
(2)b为何值时,点E在⊙O上?
(3)随着b取值逐渐增大,直线y=x+b与⊙O有哪些位置关系?求出相应b的取值范围.
笔者在命制此题时,考虑安排一个先行组织者,给出了下列语句:“CE//x轴,DE//y轴,CE与DE相交于点E”接着设问:“(1)△CDE是________三角形”.这样起点较低,考生易于解决,凭借直观可以判断△CDE是直角三角形,考生也可以拿着量角器测量验证,也可以利用直线y=x+b与两坐标轴夹角为45°解决问题.再接着设问:“点C坐标为________,点D坐标为________(用含有b的代数式表示)”.连续3个填空循序渐进.为了平衡过渡,笔者设置了第(2)问:“b为何值时,点E在⊙O上?”承上启下,凸显点E的重要性,点E的坐标可以由点C的坐标和点D的坐标顺延得到,这样尤显第(1)问的必要性.本题的命制特点在于结合了直线和双曲线,直线的移动引发了圆的伴随运动,在第(2)问考查点和圆的位置关系、第(3)问考查直线和圆的位置关系,问题次第展开.解决这两个问题必须比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系,一切问题的解决离不开b的约束,所以第(3)问有“b的取值范围”.图中的三角形已经有两个了,特别是Rt△CED的斜边就是半径,在题中已经明确给出,利用三角函数或者勾股定理可以求出,圆心到直线的距离是等腰Rt△AOB斜边上的高(中线、角平分线),很自然地也和b建立了联系,沿着这条思路探索,问题会逐渐明朗,当然这需要考生具备较强的综合能力.低起点、低切入、循序渐进,给考生一个逐层探究的机会和平台.
二、压轴题问题串的设置应给考生以启迪和引领
基于问题的探究是中考数学压轴题的命题方向,问题串的设置应该有针对性、启发性、明确性、挑战性.有效的问题串组成了一个问题探索情境,考生是问题情境中的角色,通过对问题串的不断纵深解决,能更深刻地理解问题,领悟探究活动的精髓,这应是压轴题的考查目的.《学记》中指出:“故君子之教,喻也.道而弗牵,强而弗抑,开而弗达.道而弗牵则和,强而弗抑则易,开而弗达则思.和、易以思,可谓善喻矣.”这其实指的是启发诱导学生去思考探索.命制压轴题的目的不是难为考生,而是引导考生去不断克服困难,在这个过程中不断体验取得阶段性成功的喜悦,进而攻克难关.
例2 (2013年 徐州)如图2,二次函数的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.
(1)请直接写出点D的坐标:________;
(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;
(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.
本题的问题串实际上是紧紧围绕“直角探索”展开的,图中的直角很多,究竟哪些直角是最需要的,命题组精心打造了问题串不断启发考生进行思考,第(1)问点D的坐标需要直角∠CDA和直角∠DAO,第(2)问和第(3)问点P的移动过程始终有直角∠DPE伴随,而且整个问题是放在直角坐标系中进行探究,本题就是如何围绕这些直角去寻找解题的思路和方法.点D的坐标与正方形的边长密切相关,为了减轻考生解决第(1)问的思想压力,命题组给出了点A的坐标,考生用待定系数法可易得到点B(1,0)、AB=4和D(-3,4),这样的设问给了考生解题方向的指引.第(2)问限定了点P的活动范围,这样考生可以借助图形发现三个直角∠DAP、∠DPE与∠POE,再根据平时积累的解题经验可以发现△DAP与△POE是相似三角形,相似三角形的对应边成比例,OE自然而然地浮出水面,用字母表示数,把AP、OP、AD、OE表示出来,一个新的二次函数出现,再通过顶点式解决最值问题,有了这样一个探索作为基础,命题组在第(3)问把点P的活动范围放宽到整个x轴,考生根据第(2)问对综合应用直角得到的经验,很容易得到解题思路.考生可以在考场做一个小数学实验,按照题意移动直角三角板,在移动直角顶点的过程中,可以发现第(3)问中的点P不仅存在,而且还有两种位置情形.三个问题组成的问题串紧紧围绕“点P带着直角走”的思路去探究,问题次第拔高且方向明确.
三、压轴题应注重考查考生的再创造能力
“再创造”是指由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来.考试也可以培养学生的创新精神,在压轴题中考查学生的再创造能力,在解题过程中培养学生的创造性思维.但命题者需要注意,“创造”作为考试目标并不完全在于原创性或独特性,学生能够将给定的不同信息综合成一个新的整体就是创造.2013年连云港卷第27题是一道考查学生再创造能力的压轴题,给出了一个再创造型压轴题命制范式,这样的压轴题设问应该是我们最期待的.
例3 (2013年 连云港)小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:
问题迁移:如图4,在已知锐角∠AOB内有一点P,过点P任意作一条直线MN,分别交射线OA、OB于点M、N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现,△MON的面积存在最小值,请问当直线MN在什么位置时,△MON的面积最小,并说明理由.
实际应用:如下页图5,若在道路OA、OB之间有一个村庄Q发生疫情,防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线,建立一个面积最小的三角形隔离区△MON.若测得∠AOB=66°,∠POB=30°,OP=4km,试求△MON的面积.(结果精确到0.1)
深刻的洞察力和转化能力都是创造能力的有机组成部分.
“问题情境”显然不是考查梯形和三角形的面积如何求,考生应观察到这两个图形的公共部分(四边形ABCE)与两个图形的不同部分(△ADE与△FCE),易证这两个三角形全等.
“问题迁移”解答需要考生具备较强的迁移能力与构造能力,如图7,过点P的另外一条直线EF交OA、OB于点E、F.过点M作MG//OB交EF于G.这样就把“问题情境”中的图形构造在“问题迁移”的图形中,由“问题情境”的结论可知,当点P是线段MN的中点时,有,所以当P是线段MN的中点时,△MON的面积最小.
构造能力和迁移能力是比较高级的创造能力.“问题情境”与“问题迁移”共同组成本题探究的先行组织者,后续问题紧紧围绕如何实现“△MON的面积最小”展开探究.
“拓展延伸”部分的解决确实需要考生具备很强的现场应变能力、感悟能力、洞察力和创造力.首先考生必须具备研究点的坐标的能力,根据点A、B、C、P的坐标可以推出AB⊥x轴、∠COA=45°、∠OCB=90°,进而得出∠CBA=135°,即首先明确四边形OABC的边角关系,这对于解决本题来说至关重要.紧接着需要整体思考、分类探究,四边形OABC有两组对边,所以对于“过点P的直线l与四边形OABC 一组对边相交”,应该按两组对边逐一讨论探究.当过点P的直线l与四边形OABC的对边OC、AB分别交于点M、N(如图9),延长OC、AB交于点D,由“问题迁移”知,当PM=PN时,△MND的面积最小,所以此时四边形OANM的面积最大;当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交于点M、N(如图10),延长CB交x轴于点T,由B、C的坐标可得直线BC的函数关系式为y=-x+9.解得点T的坐标为(9,0),可以求出△OCT的面积.当PM=PN时,△MNT的面积最小,所以四边形OCMN的面积最大.两种情形比较可以得四边形面积的最大值.
“拓展延伸”的解决需要添加辅助线,而且情形较复杂,若没有很强的创造能力,很难添加这些辅助线.考生根据“问题情境”和“问题迁移”学习、探究后进行归类,将新知识融入已有的知识体系进行拓展延伸,和已有的知识建立联系,使知识系统化、具体化,将所学原理应用于实践,学以致用,对于考生来说,这就是再创造.
低起点、循序渐进给考生信心,问题串给考生指引解题方向,考查其再创造能力体现其选拔功能.笔者想这样的压轴题会给初中数学教师的教学一个非常好的指引.