主持人语：
中国逻辑学会会长 邹崇理 研究员
沈有鼎先生是中国逻辑学界备受尊重的逻辑学家。在其逝世30周年之际，我刊特发2篇与沈先生的研究相关的文章来纪念沈先生。
要改变当前语文名著导读的现状，最为重要的是改变广大语文教师的教学观念，让其从思想上重视名著导读教学，同时要明白名著导读教学是一项长期能力的培养，并不能得到立竿见影的效果，所以教师对学生要有耐心，遵循教育培养的规律。笔者根据自己的教学经验，提出了一些自己的对策。
《沈有鼎的“纯逻辑演算”思想源流——纪念沈有鼎先生逝世30周年》一文，对沈有鼎所建立的两个逻辑演算系统(“初基演算”和“纯逻辑演算中不依赖量词的部分”)进行了研究。该文主要做了3个方面的工作：找到了沈有鼎不带量词的“纯逻辑演算”的思想基础；确立了张清宇在20世纪90年代为经典逻辑提出的“括号记法”的直接思想来源；沿着这一传统为经典命题逻辑建立了一个三元联结词“条件析取”的后承演算。
《沈有鼎对“中国古代逻辑”的认识及意义》一文对沈有鼎先生在“中国古代逻辑”研究涉及的7个重要的问题所作的讨论进行了梳理，通过对这7个问题的讨论的对比与分析，有助于深化对中国逻辑史合理性的评价问题的认识，深化对在“中国古代逻辑”充满争议的研究中沈先生的成果及其影响的认识，继而深化对沈有鼎先生所作的贡献的认识。同时，文章所论的沈有鼎研究对“将中国元素纳入非经典逻辑的研究与发展中，是有着十分重要的参考价值的”的认识，对于古代逻辑元素的现代转换与当下的非经典逻辑研究，也是颇有意义的。
沈有鼎的“纯逻辑演算”思想源流
——纪念沈有鼎先生逝世30周年
刘新文
(中国社会科学院 哲学研究所， 北京 100732)
摘要： 在概述沈有鼎先生的《个体与真值的演算》与《“纯逻辑演算”中不依赖量词的部分》两篇论文的主要内容和思想的基础上，找到沈有鼎不带量词的“纯逻辑演算”的直接思想来源；确立张清宇在20世纪90年代为经典逻辑提出的“括号记法”的直接思想来源；沿着这一传统为经典命题逻辑建立一个三元联结词“条件析取”的后承演算。
关键词： 沈有鼎；纯逻辑演算；括号记法；条件析取；带等词一阶逻辑的无量词片段
作为我国较早从事数理逻辑研究的逻辑学家，沈有鼎先生(1908—1989)在数理逻辑方面所做的工作主要是逻辑演算，其成果体现在《初基演算》[1](1957年)和《“纯逻辑演算”中不依赖量词的部分》[2](1981年)两篇论文之中。前者发表之后，莫绍揆先生(1917—2011)、刘壮虎先生等著名逻辑学家对其进行了后续研究(1) 莫绍揆先生认为“沈有鼎先生的初基演算，可以说是用直觉主义的眼光来讨论模态系统，也可以说是用模态的观点来推广直觉主义系统。这是一个新尝试，是一条很可继续研究的道路”。莫先生在公理的选择上对初基演算加以改进，提出了3个改进的初基演算系统，参见文献[3]第134-136页。2000年，刘壮虎先生建立了初基演算的邻域语义学并证明了对于这一语义的完全性定理，参见文献[4]第258-267页。 ；后者是《个体与真值的演算》(英文未刊稿)的主要内容，至今研究者甚少。1995年，先师张清宇先生(1944—2011)将《个体与真值的演算》译为中文发表在文集《理由固然》中[5]，而作为原文的英文版则发表于2000年的文集《摹物求比》中[6]；张尚水先生在1998年的综述性论文中记录了该文的大致写成时间(2) 1998年，张尚水先生提到：“《‘纯逻辑演算’中不依赖量词的部分》是沈先生在60年代初期用英文写成的长篇论文《个体与真值的演算》的主要部分。在《个体与真值的演算》中还有更多的内容和结果。”参见文献[7]。 。
沈有鼎关于不带量词的“纯逻辑演算”具有很多漂亮的性质，是从带等词的一阶逻辑中分离出来的一个完全的、可判定的子系统。本文拟探讨它的时代背景、它所研究的问题和思想在20世纪四五十年代丘齐(A.Church，1903—1995)工作中的直接来源及其对后来研究者的影响，并沿着其中的一个方向做进一步推进。
一、无量词“纯逻辑演算”的主要内容
根据张尚水的记录，《个体与真值的演算》完成于20世纪60年代初期，《“纯逻辑演算”中不依赖量词的部分》是其主要部分。我们以正式发表的后者为主，结合两篇论文来概述其主要内容和思想。
丘齐在《数理逻辑导论(第一部)》中并没有为T、F和〔A，B，C〕建立起公理系统，而是提出了以下这个问题作为习题(25.16)：“令初始联结词为条件析取、t 和f 。令推演规则为替换规则和以下规则：从[A，B，C]和B推出A。建立一些公理，使得所得系统对于命题演算来说是足够的。尽可能简化每一条公理，然后减少它们的数量(不计对偶)”[9]139，并且在脚注中说明“这个习题不能当做通常意义上的习题，而是作为一个尚未解决的问题留作研究之用。作者还没有试图找到解决办法”[9]139。沈有鼎建立了自己的系统，并且认为这个“系统采用一种和命题演算中运用真值表判定一公式是否定理的方法相类似的判定方法，而这个方法本身就可以理解为一种公理系统”[2]。判定问题是数理逻辑的核心问题之一；20世纪初，希尔伯特在数学基础研究中提出形式主义纲领，致力于通过有穷多一阶公理来对各种数学分支进行公理化。原则上，这样的公理化把数学命题的证明归约为在一个指定的形式逻辑系统中执行一种机械的推导，在这样的情况下，判定问题尤其重要。另一方面，沈有鼎并没有停留在丘齐的这个问题上，他的系统在命题演算的基础上做了扩充，以包含等词、谓项、杂谓项、函项和杂函项。此外，“既然本系统是可判定的，那么在原则上可以把所有定理都规定为公理，同时不要任何推理规则”[2]。不过，他也提到，在这个演算中引进全称算子而把它扩张成带等词一阶谓词演算的一个相替代的演算时，考虑到丘齐的著名结论，即一阶逻辑不是可判定的，“当然就不可期望仍有一个能行的判定过程，因此在这情形下有一个公理系统就相当必要”[8]132，只是这个想法没有继续讨论。
这些关于一元联结词和二元联结词的定义都是如下意义上最简单可能的定义[9]134：互相对偶的联结词的定义也相互对偶，而否定的定义是自我对偶的。
对于添加“杂函项”的原因，我们稍作疏解。个体与真值的函项演算包含6种情形，它们分别是：(1)从真值到真值的函项(称之为“连项”)；(2)从个体到真值的函项(称之为“谓项”)；(3)从个体和真值到真值的函项(称之为“杂谓项”)；(4)从真值到个体的函项(称之为“序项”)；(5)从个体到个体的函项(称之为“狭义函项”，简称“函项”)；(6)从个体和真值到个体的函项(称之为“杂函项”)。“为了始终如一地保持我们的外延观点，我们将把连项、杂谓项、序项和杂函项都看成具有跟谓项和函项同等的逻辑地位的对象”[8]97，而“杂函项”作为基本概念在引入之后，根据其语义解释，它与其他4个基本概念就形成了表达完备的基本概念集合；因此，在这个演算中，函项完备性定理是成立的[2]，[8]97-100，证明如下：
在这些基本概念之中，作为三元联结词的“条件析取”〔A，B，C〕在自然语言中表述为“如果B，那么A；否则C”(相当于英语中的表达式“A，if B，otherwise C”)，或者用经典命题逻辑的4个基本联结词定义为：(B→A)∧(﹁ B→C)或(B∧A)∨(﹁ B∧C)；“条件析取”是一种称之为“连项”的真值函项，即从真值到真值的函项。等词x=y是一个二元谓项，表示的是“个体x就是个体y”；谓项是从个体到真值的函项。“杂函项”是从个体和真值到个体的函项，在〈x，A，y〉中，当A取T为真值的时候，它的值同于x，当A取F为真值的时候，它的值同于y；“杂函项”是沈有鼎新引入的基本概念，所以他说“本系统的逻辑常项中，除了真值函项以外，基本概念不止‘同一’概念(=)，还加了一个”[2]，这里所说的“加了一个”指的就是“杂函项”。
从当下世界发展形式及中国对外开放进程来看，语言的多样化和不规范，在一定程度上影响了民族文化的输出效率和优秀传统的传承推广，更对社会的生产和我国现代化进程产生阻碍作用。所以，语言的标准化和规范化对社会发展的方方面面都起到决定性的作用。它不仅是社会生活的基础，人类情感沟通的桥梁，更是维系整个民族统一昌盛的精神工具。
“水更清”行动围绕“河湖连通惠民生、人水和谐润彭城”的目标定位，坚持统筹兼顾、综合治理、突出重点、长效管理四大原则，总投资17.19亿元，其中2013年投资8.39亿元，大力推进控源截污、清淤贯通、水质提升、生态修复、尾水利用及导流“五大工程”，积极推动“河长制”和河道长效管理制度落实，提升水质、编织水网、增加水量、打造水景。
二、思想来源及影响
沈有鼎的《个体与真值的演算》和《“纯逻辑演算”中不依赖量词的部分》的主要内容，在于给出“带等词的一阶逻辑”的一个片段(或称“部分演算”)，这个片段是可判定的，而且给出了判定过程。这些工作在那两篇论文中都没有说明任何时代背景和问题来源，我们现在把其中使用的三元联结词“条件析取”以及所述问题的来源稍加追溯。
公理1(Id公理)：
沈有鼎建立的这个演算以外延为出发点，把函项与谓项看成是具有同等逻辑地位的对象，5个基本概念分别为：T、F、三元联结词“条件析取(conditioned disjunction)”〔A，B，C〕、等词x=y以及“杂函项”〈x，A，y〉。这里的小写字母用作个体变元，而除了T、F意指真值“真”和“假”之外，大写字母都表示真值变元。自由变元包括个体变元、真值变元和谓项变元，而约束变元不再出现，也就是说，这里定义的语言是带等词的一阶逻辑的一个不含量词的片段。
1.孩子们大多已经入门，基本上能写出像模像样的对联来；共创作出对联一两百副，创作了不少好对子，得到亲友好评。
正确认识文化遗产，协调社会各方面利益，将文化遗产保护观落到实处都是习近平文化遗产保护观的重要组成部分。 只有自身能够坚持正确的遗产保护观，才能够带动身边的人，带动人民群众关注文化遗产保护工作，深化文化遗产保护理念。
至此我们已经看到，在沈有鼎建立的“纯逻辑演算”中，条件析取“〔A，B，C〕”和杂函子“〈x，A，y〉”都作为初始概念出现，前者的括号记法承续自丘齐等人的工作，后者是沈有鼎“引进的新概念”[8]99。此外，通过定义引进的杂函项[x，y，z，v]、α 、β 、γ 、ε 和δ 都采用了方括号记法。这些初始概念中的括号兼具了括号和联结词的作用，随后，沈有鼎的弟子张清宇研究了这些工作，对括号记法做了进一步发挥。
1995年，张清宇发表《个体与真值的演算》译文，同时在《哲学研究》上发表《不用联结词的经典命题逻辑系统》，该文是“经典命题逻辑证明方法的一个简练而概括的综述”[12]，其“目的是建立不用联结词的经典命题逻辑系统，以此表明括号也能兼具联结词的作用”[12]。这些系统沿用了命题常项T，但把括号所具有的联结词作用限制到二元情形“(BC)”，解释成“B并且非C”。第二年，在增加了个体变元之后，张清宇为这一记法添加了经典存在量词的语义，“(BxC)”解释成“存在某个x变异使得B并且非C”[13]。由此，将存在量化句“∃xA”定义为“(Tx(TA))”，全称句“∀xA”定义为“(T(TxA))”，并提出了“一阶谓词演算的一个相替代的演算”。1997年，在括号记法〔A，B，C〕被另外解释成广义析舍联结词“非A或非B或非C”的基础上，张清宇建立“经典命题逻辑的一个公理系统”[14]，改进了20世纪50年代安德森和贝尔纳普在相干逻辑领域中的一个基础性工作；这一括号记法与维特根斯坦在其《逻辑哲学论》中提出的N算子
既有相同之处(二者都使用括号记法)，也有不同之处——前者表示的是广义析舍，而后者表示的是广义合舍。在张清宇的公理系统中，命题常项不再援用，括号的主目数也不再限制到三元而可以是任意有穷元，而且其可判定性、完全性和独立性证明都很简单。此后，张清宇关于广义析舍联结词的这些工作被进一步推广，我们在关于数理逻辑和模态逻辑的工作中，为比姆博(K.Bimbó)在2010年提出的肖菲克尔(M.Schönfinkel，1889—1942)型算子建立起新的公理系统，建立起与维特根斯坦(L.Wittgenstein，1889—1951)的N算子及一些可判定模态逻辑的联系[15-16]。
三、条件析取的后承系统
为建立条件析取、t 和f 这3个经典命题逻辑联结词的后承演算系统，我们首先把丘齐所给经典命题逻辑语言中的公式整理如下：
α ∷=p |f |t | [α ,β ,γ ]
系统基于地理信息大数据技术，将土地利用现状、规划、基本农田、水系等国土数据进行了整理，并充分利用地理国情数据提取周边工矿企业、开发区、旅游区、大型经济作物集中连片区、地质灾害点等专题信息，进行地理空间大数据分析，辅助异地搬迁安置点分析等业务决策。如图5、6所示。
1948年，丘齐给出了一个三元联结词的真值表并使用“[p，q，r]”来表示这个联结词，把它读作“p或r，取决于q或非q”，这就是“条件析取”名称的来源[10]87。这个括号记法源自鲍施(A.F.Bausch)的建议[10]89，给与对偶化相关的工作中带来了便利。然后，丘齐证明了以下函项完备性定理：“条件析取、t 和f 是命题演算独立初始联结词的完备集合”[9]131，[10]88，其中的t 和f 是命题常项，或称零元联结词，而且这个集合还具有自我对偶性[9]133，[10]89。在此之前，波斯特(E.Post,1897—1954)对命题演算独立初始联结词的完备系统做过系统的处理。初版于1944年、修订版于1956年出版的《数理逻辑导论(第一部)》在第24节“命题演算的初始联结词”中考察的唯一一个三元联结词就是这个“条件析取”[9]161。丘齐的这部教材是数理逻辑史上的名著，产生过广泛而深远的影响，半个多世纪以来一直在修订印行，我国的很多数理逻辑学家则直接受教于它。胡世华在20世纪60年AI写作成、后由陆钟万整理出版的《数理逻辑基础》介绍了这个“条件析取”函项[11]；1963年，沈有鼎指导周礼全、张尚水、诸葛殷同、宋文淦等人学习这本书[8]380，而《“纯逻辑演算”中不依赖量词的部分》的完整版本《个体与真值的演算》正是在这一时期完成的。沈有鼎的这(两)篇论文提到，“已经知道，所有的连项都可用T、F、〔A，B，C〕来表示”[8]106，这个结果直接来自于丘齐的《数理逻辑导论(第一部)》；然后，沈有鼎做了进一步推广，以大量的篇幅证明了“不仅所有的连项可用T、F、〔A，B，C〕、x=y和〈x，A，y〉来表示，而且所有可由真值表表示的谓项、杂谓项、函项和杂函项也都可用它们来表示”[8]116。
在上述句法和语义的基础上，沈有鼎不带量词的“纯逻辑演算”以“值表”的方式给出，而不是像通常那样列出公理和推演规则来建立推理系统。他指出，该系统采用的判定方法类似于命题演算中运用真值表判定一个公式是否为定理的方式，在这个系统中，连项的值表就是通常的命题联结词的真值表，而每一个在系统中可以定义的谓项、杂谓项、函项、杂函项都有自己相应的值表。根据其中给出的逻辑解释，“‘纯逻辑演算’中不依赖量词的部分”中的这个系统是完全的，虽然它是带等词的一阶逻辑演算中极其微小的部分。
p ,Γ ⟹Δ,p
公理2(f 公理)：
公式的语义解释在前面已经给出。后承演算系统由以下5条公理和规则组成：
f ,Γ ⟹Δ
公理3(t 公理)：
Γ ⟹Δ,t
规则1(括号引入规则1)：
规则2(括号引入规则2)：
4．术后腹痛评分预测AP的价值：56例(5.95%)患者术后出现腹痛，其中12.5%的患者进展为AP，其腹痛平均分值为(5.90±1.46)分， 未进展为AP的患者腹痛平均分值为(4.31±1.39)分，差异有统计学意义(P=0.008)。根据ROC曲线分析，预测 EUS-FNA术后AP腹痛评分的临界值为5.5分，>5分判断AP的敏感度、特异度和准确性分别为71.4%、81.6%和80.4%(图1)。
这个系统的可靠性和完全性定理证明的具体细节，以及与沈有鼎不带量词的“纯逻辑演算”系统相关的其他工作(如公理系统等)将在另文详述，此处不赘。
四、结语
沈有鼎先生在20世纪60年代所建立的不带量词的“纯逻辑演算”接续了丘齐、波斯特在20世纪四五十年代的工作，这些成果不仅丰富了经典的判定问题，而且丰富了函数代数领域。对于本文提到的各种未解决问题，我们将在另外的工作中做进一步研究。
致谢： 马明辉教授在本文尤其是第三节的写作过程中提供过具体的意见，特此感谢！
参考文献：
[1] 沈有鼎.初基演算[J].数学学报，1957(1):132-143.
[2] 沈有鼎.“纯逻辑演算”中不依赖量词的部分[J].数学学报，1981(5):650-655.
[3] 莫绍揆.模态系统与蕴涵系统[J].数学学报，1959(2):134-136.
[4] 刘壮虎.初基演算的邻域语义学[G]//中国社会科学院哲学研究所逻辑室.摹物求比——沈有鼎及其治学之路.北京：社会科学文献出版社，2000：258-267.
[5] 沈有鼎.A calculus of individuals and truth-values[G]//中国社会科学院哲学研究所逻辑室.摹物求比——沈有鼎及其治学之路.北京：社会科学文献出版社，2000.
[6] 沈有鼎.个体与真值的演算[G]//中国社会科学院哲学所逻辑室.理有固然——纪念金岳霖先生百年诞辰.北京：社会科学文献出版社，1995.
[7] 张尚水.沈有鼎的数理逻辑工作[J].哲学研究，1998(S):88-90.
[8] 沈有鼎.沈有鼎集[M].北京：中国社会科学出版社，2006.
[9] CHURCH A.Introduction to mathematical logic:Volume 1[M].Princeton: Princeton University Press,1956.
[10] CHURCH A.Conditioned disjunction as a primitive connective for the propositional calculus[J].Portugaliae Mathematica,1948(7):87-90.
[11] 胡世华，陆钟万.数理逻辑基础:上[M].北京：科学出版社，1981：161.
[12] 张清宇.不用联结词的经典命题逻辑系统[J].哲学研究，1995(5):40-47.
[13] 张清宇.不用联结词和量词的一阶逻辑系统[J].哲学研究，1996(5):72-79.
[14] 张清宇.经典命题逻辑的一个公理系统[J].哲学研究，1997(8):51-58.
[15] 刘新文.谢弗函数研究[M].广州：暨南大学出版社，2011.
[16] TANG F F.From Wittgenstein’s N-operator to a new notation for some decidable modal logics[J].History and Philosophy of Logic,2019,40(1):63-80.
The origin and development of Shen Yuting ’s “pure logic calculus ”:To commemorate the 30th anniversary of the death of Shen Yuting
LIU Xinwen
(Institute of Philosophy, Chinese Academy of Social Sciences, Beijing 100732, China)
Abstract : After surveying the main contents and ideas of Shen Yuting’s draft A Calculus of Individuals and Truth-Values and paper A Fragment of “Pure Logic Calculus” without Quantifiers, the present paper traces the direct source of Shen Yuting’s “pure logic calculus” without quantifiers. After doing this we establish its influences on Zhang Qingyu’s “Bracket-notation” for classical logic in 1990s and along which we give a sequent calculus for classical propositional logic based on the ternary connective “conditioned disjunction”.
Key words : Shen Yuting; pure logic calculus; Bracket-notation; conditioned disjunction; A Fragment of First-oreder Logic without Quantifiers
收稿日期： 2019-07-08
基金项目： 国家社会科学基金一般项目“逻辑基础问题研究”(16BZX079)
作者简介： 刘新文，研究员，博士，主要从事哲学逻辑和逻辑哲学研究。
doi: 10.3969/j.issn.1674-8425(s).2019.09.002
本文引用格式： 刘新文.沈有鼎的“纯逻辑演算”思想源流——纪念沈有鼎先生逝世30周年[J].重庆理工大学学报(社会科学)，2019(9):8-13.
Citation format ：LIU Xinwen.The origin and development of Shen Yuting’s “pure logic calculus”: To commemorate the 30th anniversary of the death of Shen Yuting[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2019(9):8-13.
中图分类号： B81
文献标识码： A
文章编号： 1674-8425(2019)09-0008-06
(责任编辑 张佑法)
标签：沈有鼎论文; 纯逻辑演算论文; 括号记法论文; 条件析取论文; 带等词一阶逻辑的无量词片段论文; 中国社会科学院哲学研究所论文;