分形理论的创立、发展及其科学方法论意义，本文主要内容关键词为：方法论论文,意义论文,理论论文,科学论文,分形论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
分形理论是现代研究复杂性的科学理论的重要组成部分，它虽然从诞生到现在才短短二十几年的时间，然而它却对人们的自然观、科学观、科学方法论、科学思维方式等都产生了深刻的影响。
1 分形和分维
1.1 分形理论的创立
分形（Fractal ）理论是由美籍法国数学家曼德尔布罗特（亦被译为“曼德勃罗”）（B.B.Mandelrot）创建的。1967 年他发表在美国《科学》（Science）杂志上的论文《英国的海岸线有多长》中， 首次阐明了他的分形思想。1973年他在法兰西学院讲学时正式提出了分形几何的概念。1975年他的法文专著《分形：形状、机遇和维数》的出版，是分形学理论诞生的标志。八十年代他又推出了《自然界的分形几何》（The Fractal Geometry of Nature,Freeman San Francisco,1982 ）等著作，给分形这一学科的发展以持续的推动力。
1.2 分形
由曼德尔布罗特所创造的分形一词，按照他自己的说法是源于“描述碎石的拉丁文fractus”〔1〕，它与英文fracture（“断裂”、“破碎”）及fraction（“碎片”、“小块”、“分数”）是同源词，因而分形一词本意就是不规则的、破碎的。1982年曼尔布罗特给出分形的定义为豪斯道夫（Hausdorff）——贝西科维奇（Besicovitch）维数严格大于其拓扑维数的集合。1986年他进一步将分形定义为其组成部分和整体以某种方式相似的客体。这类客体极其破碎而复杂，不能用传统的欧几里德几何来描述，但这些客体却都是具有自相似或自仿射性的体系，如弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，遍布全身的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等等。这类客体不具备特征尺度，用不同倍数的放大镜去观察它们，其相貌是相似的，并且这个性质不随观察位置的变化而变化。分形理论就是专门研究分形的几何特征、数量表征及其规律和应用的科学。
1.3 分维
分维（fractal dimension）又叫做分形维数， 是分形理论中最重要的一个概念，它是对非光滑、非规则、破碎的等极其复杂的分形客体进行定量刻划的重要参数，它表征了分形体的复杂程度、粗糙程度，即就是分维越大，客体就越复杂、越粗糙，反之亦然。维数概念历来在数学和物理学中占据着重要的地位。按传统的观点，维数是确定系统状态的独立变量，只能取整数。然而，在分形理论中，对于一个分形客体，它的维数一般都不限于整数，而可取任何实数值。在这里我们不得不指出的是：近几年仍有一些论文中说分维就是分数维数，其实这是错误的。整数维数只代表几何对象占有或填充空间能力连续变化过程中的质变的几个关节点，分维则代表不同关节点之间的中介过渡态。分形几何及其分维概念否定了在传统几何中点、线、面、体等之间性质全然不同的绝对分明的界限，深刻地提示了点线面体之间、整形（即规则图形）与分形之间、维数的离散与连续之间的辩证关系。比如，分形几何已经提出了在点与线之间存在着康托尔（Cantor）集之类非点非线、亦点亦线的中介现象，在线与面之间存在着伊农（Henon）吸引子之类非线非面、 亦线亦面的中介现象，在面与体之间存在着洛仑兹（Lorenz）吸引子、谢尔宾斯基（Sierpinski）海绵之类非面非体、亦面亦体的中介现象，等等。由此可见，分维概念的提出把维数概念从整数范围扩展到了实数范围，这不能不说是人类对维数概念认识的重大突破。
2 分形理论的发展和分形方法论的提出
分形理论自从诞生之后，就得到了迅速的发展，并在自然科学、社会科学、思维科学等各个领域都获得了广泛的应用。如今，分形和分维的概念早已从最初所指的形态上具有自相似性质的几何对象这种狭义分形，扩展到了在结构、功能、信息、时间上等具有自相似性质的广义分形。人们在自然、社会、思维等各个领域都发现了分形现象，出现了诸如分形物理学、分形生物学、分形结构地质学、分形地震学、分形经济学、分形人口学等，发现了材料学、化学、天文学中的分形以及思维分形、艺术分形、情报分形等等。
我国研究分形理论的著名学者李后强等人将现有的分形初步分为四大类，这就是：自然分形、时间分形、社会分形、思维分形。〔2 〕其中自然分形包括几何分形、功能分形、信息分形、能量分形等。几何分形就是指在形态和结构上具有自相似性的客体，如高分子链、催化剂表面、凝胶，以及上文中提到的海岸线、云团、山脉等。功能分形和信息分形则分别是指在功能上、信息上具有自相似性的对象或客体，如植物的全息性、城市结构分布等。能量分形是指在能量传播上具有自相似性的系统，如地震波和无线电波的传播等。而时间分形则是指在时间轴上具有自相似性的系统，如生物学中的海克尔重演律、人类社会的发育规律、地震震级的时间分布等。社会分形则是指人类社会活动和社会现象中所表现出来的自相似性现象，如史学分形、文艺分形、语言分形、美学分形、社会结构分形等。思维分形则指人类在意识、认识上所表现出来的自相似特征（对于思维分形本文将在下面给予较详细的论述）。
另外，我们也可以按照是否具备严格的完全自相似性而把分形分为两大类：一类为规则的决定论分形（亦即严格的完全自相似性分形），这类分形体系中的自相似性是完全相同的，它一般都是由数学家按照一定的规则构造出来的，如科赫（Koch）曲线、谢尔宾斯基地毯等；另一类为随机分形，它的自相似性是近似的或是统计意义上的相似，这种自相似性只存在于无标度域内，超出无标度域，自相似性就不复存在，于是也就不能用分形理论进行分析。其实，自然界中的客体或现象、性质等的分形都是这种随机分形。正如自然界中不存在真正的严格意义上的直线、圆、正方形、平面、球等欧氏几何图形一样，自然界中也不存在严格意义上的完全自相似的分形体。同样，正如我们可以把自然界中那些基本上接近于欧氏几何图形的客体用欧氏几何理论来处理和研究一样，我们也可以把自然界中那些在一定范围内所表现出自相似分形性质的一大类客体、现象、特征或规律用分形理论来处理和研究。也就是说，分形理论为人们观察自然和研究自然提供了一种理想状态下的新的数学模型——分形模型。
人们现在已经认识到分形理论所揭示的自相似现象的混沌、破碎现象在客观世界是普遍存在的。分形理论所揭示的破碎、混沌现象中的自相似性质，对人们的科学观和科学方法论等都产生了深刻的影响和变革，为人类的科学思维方法提供了崭新的视角。
分形的概念和思想正在被人们抽象为一种科学方法论，这就是分形方法论。对于分形方法论，人们常常谈论的是以自相似性为工具通过部分来认识整体。我们认为这种概括是很不全面的，分形方法论的内涵要比这种概括丰富和深刻得多。我们认为分形方法论的内容主要包括以下两点：第一，以分形客体的部分和整体之间的自相似性为锐利的武器，通过认识部分来映象（即反映和认识）整体，以及通过认识整体来把握和深化对部分的认识；第二，运用分形理论的思想和方法，从无序中发现有序，揭示杂乱、破碎、混沌等极不规则的复杂现象内部所蕴涵的规律。
分形方法论从本质上看也是一种系统方法，因为分形客体具有自相似性，分形体系内相对独立的部分（被称为分形元）在一定程度上都是整体的再现和缩影，基本上包含或完全包含整体的信息和性质，在分形体大范围内看到的复杂性，在小范围内仍可看到，亦即部分和整体一样复杂。对于分形体系来说，传统的还原论的分析方法完全或基本上失去了作用。研究分形现象需要系统的观点和方法，分形方法论的产生是属于清算还原论、倡导系统方法论这一科学发展总趋势的产物，它是复杂性研究的一个方面军，是近三十多年来提出的处理复杂性的理论方案之一。系统方法有不同的层次、类型和深度的区别，分形方法论是对系统论思想和方法的丰富和发展。分形学理论与自组织理论、混沌理论密切相关，它与混沌理论及孤立子理论被人们誉为现代非线性科学的三大前沿。
3 分形理论的科学方法论意义
分形理论及其分形方法论的提出有着极其重要的科学方法论意义，它导致了科学思想、科学思维方式和科学方法论等的深刻变革，为人们认识世界提供了新的视角和新的思路。它打破了整体与部分、混乱与规则、有序与无序、简单与复杂、有限与无限、连续与间断之间的隔膜，找到了它们之间相互过渡的媒介和桥梁（即整体与部分之间的相似性），为人们从混沌与无序中认识规律和有序、从部分中认知整体和从整体中认识部分、从有限中认识无限和通过无限深化和认识有限等提供了可能和根据；它同系统理论、自组织理论、混沌理论等研究复杂性和科学理论一起，共同揭示了整体与部分、混沌与规则、有序与无序、简单与杂复、有限与无限、连续与间断之间多层面、多视角、多维度的联系方式，使人们对它们之间关系的认识的思维方式由线性进展到了非线性阶段。
现在，分形理论及其方法作为一个有力的工具正在被人们用于各个领域的研究中。分形理论及分形方法论的诞生，使人们取得了用别的方法所不曾取得的许多的新的成果，导致了对自然界、社会、思维等各个领域中不可胜数的新现象、新规律的发现和破译，充分显示了它的巨大威力和十分重大的科学方法论意义。
首先，分形理论为人们对自然界中复杂的形状、结构、功能等的定量刻划和描述提供了新的方法，被人们誉为大自然的几何学。
描述事物的形状和结构是认识客观世界的一项基本内容。对自然界中物体的形状和结构进行刻划，传统的做法是用欧氏几何、解析几何以及微积分方法等，然而它们只能研究那些处处可微或者至少是分段可微的、形状规则的物体（曲线、曲面、立体等），在它们研究领域中的物体都具有整数维数和特征长度，而它们对于那些处处不光滑处处不可微的、杂乱的、支离破碎的、形状极不规则的物体（曲线、曲面、立体等）的描述和研究却无能为力，而把其当成“病态形状”、“魔鬼形状”基本上排斥在它们的研究范围之外。而分形几何恰能研究上述传统方法所不能研究的那些处处不肖滑处处不可微、支离破碎的、混乱的一大类极其复杂的物体的形状和结构，这些物体其局部与整体都具有某种相似或完全相似的性质，它们不具备特征尺度，其维数变化是连续的，一般不再具有整数维数。如上面提到的连绵起伏的群山、蜿蜒曲折的河流、奇形怪状的海岸线、高度无规则的材料裂纹等等。因而分形几何学诞生之后，就迅速地在地质、地震、石油、材料断裂等应用科学中获得了广泛的应用，还在生长现象、布朗运动等理论课题中找到用场，并在刻划分子结构特征（如蛋白质、DNA 结构）等小尺度现象和描述宇宙星体分布等大尺度现象中派上用场，充分显示了它是名副其实的大自然的几何学。
其次，分形理论及其方法为混沌理论的研究提供了重要的数学工具。分形几何一经产生，立即就成为混沌学的基本工具之一，以至于它也常常被子称为混沌几何学。
混沌现象是一种极其复杂而又普遍存在的现象，它是一种决定性的内随机性行为，是一种宏观上无序无律而微观上却又高度有序的状态，如湍流现象、烟尘的弥散现象、人的情绪波动等。人们发现自然界普遍存在的混沌运动都有奇怪吸引子（亦被称为奇异吸引子或混沌吸引子），而这种吸引子正是一个分形体，它具有无限嵌套的自相似的结构，这种结构从小到大、从外到内，一层一层类似洋葱头或套箱无穷无尽地相互套叠。如果取其中任意一个小结构单元放大来看，它都具有和整体相似的结构，包含着整个系统的“信息”，成为一种全息现象，如混沌理论中著名的洛伦兹吸引子、伊农吸引子等都是这样。分形理论成为定量描述和刻划奇怪吸引子这样一些复杂现象的强有力的工具。不但如此，人们还进一步从机制上发现“在分形和混沌之间有非常紧密的联系”〔3〕，分形是产生混沌的一个重要的根源。
第三，分形理论及其方法为研究自组织现象提供了一种重要的思路和方法。
许多事实都表明分形与自组织现象确有内在联系，可以说分形代表一种自组织机制。像人体这种复杂巨系统，数量多得惊人的细胞能够组成一种有机整体并协同地自组织地工作，这与人体内许多器官和组织等都具有分形结构是分不开的。比如，人体内物质运输系统中的血管、呼吸系统中的肺、信息系统中的神经网络、思维系统中的大脑皮层和神经末梢都有分形结构〔4〕。以人体内的血管为例， 从主动脉血管到微血管，大血管分叉成小血管，小血管又分叉成更小的血管，直到分叉成毛细血管，这种分叉具有分形结构。这种分形结构使得血管与人体内每个细胞都有联系，然而却占有很小的空间，研究表明血管和血液所占的体积不超过人体本身体积的5%〔5〕，分形结构使得血管把巨大的表面积挤进了有限的体积中，而它的理想数学模型正是三维空间中具有无穷大表面积但体积为零的分形体，如谢尔宾斯基海绵等。
第四，分形理论及其方法为人们对思维科学的研究尤其是对大脑奥秘的探索提供了新视角、新思路和新方法。
虽然人类对大脑的思维已经进行了长期艰苦的探索，但是传统的方法具有很大的局限性，很难适应对人脑这一世界上最复杂最奇妙的系统的研究，它急需引进新方法、寻找新思路、建立新模式。如今分形理论及其方法就适应了这一发展的需要，为人们对思维科学的研究尤其是对脑科学的研究提供了新的思路、新的方法和新的视角，并在实践中取得了许多成果。研究表明，人的大脑、脑电波、神经元都具有分形结构。人的大脑皮层有各种不同大小的皱纹，它们是维数介于2.73至2.79之间的表面。〔6〕通常有“大脑皱纹越多，人越聪明”的说法， 从分形角度来看，这可能是因为大脑皮层皱纹越多，脑的分维就越高，同时其表面就越大，这样就越有利于高维数的思考，思路就越容易展开并富有成效的缘故。人们还利用非线性动力学的方法研究表明：脑电图不是一种噪声或噪声背景上的振动现象，而是一种混沌现象，可用分形描写。正常人的脑电图显示出了高度不规则的特性，具有分形性质；而只有当癫痫病人发病时，脑电图才具有明显的周期性特点。近年来在对脑电图分形维数的测定实验中发现：不同的思维状态其脑电图具有不同的分形维数或复杂度（如Kolmogonov复杂度），思维越活跃，脑电图的分形维就越高〔7〕； 不同的被测试对象的脑电图从低维数变到高维数的“速率”不同，或者从相对有周期性的脑电图变到混沌的脑电图的速度不同，这反映了思维越灵敏的人维数变化越快〔8〕。对上述实验结果， 有人提出了这样的解释（猜测）：脑电图混沌程度的变化率体现了思维的灵敏程度，脑电图分形维数的大小体现了思维的复杂程度。〔9 〕或者简单地说就是：混沌是思维灵敏性的基础，分形是思维复杂性的表征。另外，人们还发现神经元也有分形结构，它的细胞体分支成树突，树突又分支成更细的纤维，这种结构可能与神经系统的混沌有关。这样，我们就可以从大脑、神经元的生理角度来说明思维的分形性质。因为思维活动是与大脑的生理结构密不可分的，大脑是思维的物质基础，思维意识是大脑的产物，这样以具有分形结构的大脑来进行的思维其必然表现出分形的性质。此外，我们已经知道客观世界具有分形性质（如上文中谈到的山脉、河流、云团等所具有的性质），分形在客观世界中是普遍存在的，而人是自然的缩影，是自然界的一部分，自然界的分形性质也体现在人的各个方面，自然界的许多现象在人体内都有雏形。比如，人的体液的化学成分与海水相似等。这样，可在许多方面都具有分形特征的人来反映具有分形性质的客观世界，那么这种反映就必然打上分形的烙印，这也从另一个角度说明了思维具有分形性质。我们可以预料，分形理论及其方法在思维科学中的应用，将有助于揭开被恩格斯誉为“地球上最美的花朵”——思维的神秘面纱，为人类智力大解放时代的到来进一步开辟道路。
我们上面初步探讨了分形理论的科学方法论意义，当然也应该看到分形理论和分形方法论也有其不完善之处，它还有待于今后进一步的发展、丰富和完善。不过，应当肯定的是分形理论和分形方法论的提出对人们的自然观、科学观、科学方法论、科学思维方式等都产生了深刻的影响和变革，有着极其重要的意义。
标签：分形理论论文; 混沌现象论文; 科学方法论论文; 系统思维论文; 自相似性论文; 部分与整体论文; 脑电图论文; 数学论文;