计算教学：从知识到能力，本文主要内容关键词为：能力论文,知识论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、缘起：一次区域学业质量调研 2013年春学期，我们区域举行小学数学学业质量调研，借区域统一命题.在四年级期末试卷中，有这样两道题： 题1 用竖式计算： 305×60=. 34×216= 420×18= 题2 请看图1中的乘法竖式，框出的部分表示________. ①288个一 ②288个十 ③288个百
前一题是笔算常规题，意在考查学生的计算技能，是看计算结果；后一题是选择题，考查学生的算理理解，是看计算过程.我们从本次参加区域学业质量调研的3833位四年级学生中随机抽取400份样本进行分析，发现：前一题的得分率是93.6%，后一题的得分率却只有69.2%（做错的学生中有百分之七十选择的“288个百”）.同样都是三位数乘两位数的乘法竖式计算，两题的得分率竟相差近24个百分点.显然，不少学生能够完成三位数乘两位数的笔算，却没有理解其中的算理. 这一现象引发了我们的思考：不明“理”也能得“法”吗？靠反复操作能形成笔算的技能及一定的数学运算能力吗？同时，也引发了我们对区域内小学生运算能力现状的进一步调研与分析. 二、调研：在数据中观察，在观察中缕析 （一）明晰调研范围 小学阶段主要学习数的运算，包括整数、小数、分数的四则计算.苏教版小学数学教材将整数、小数、分数的笔算教学知识体系划分为五大块，分别是：一、二年级的整数加减法笔算；三、四年级的整数乘法笔算；三、四年级的整数除法笔算；五年级的小数加、减、乘、除法计算；六年级的分数加、减、乘、除法计算.我们的调研就针对这五大块内容. （二）编制调研试题 为了能检测区域小学生计算技能的达成结果（每种笔算类型的正确率、速度），也能了解区域小学生计算技能的水平（主要指算理理解、计算的合理性和灵活性等），我们统一了调研试题编制的原则：（1）调研内容要涵盖每一块计算教学知识体系细化出的笔算类型；（2）题型设计主要为“列竖式计算”“选择题”“填空题”或“论述题”等，并根据调研对象的年龄特点决定相应的考查题型.针对上述五大块内容，我们共编制了五份笔算调研测试题，试题结构相同，调研目的一致.具体如下： 二年级的整数加减法笔算调研题：第1～12题是列竖式计算，考查整数加减笔算法则，分别是：两位数不进位加法、两位数不退位减法、两位数进位加法、两位数退位减法、100以内连减、100以内加减混合、三位数不连续进位加、三位数连续进位加、三位数不连续退位减、三位数连续退位减、三位数隔位退位减、三位数加减混合；第13～20题是选择题，考查整数加减笔算的算理理解，分别是：两位数进位加法、两位数退位减法、三位数不连续进位加、三位数连续进位加、三位数不连续退位减、三位数连续退位减、三位数隔位退位减. 三年级的整数乘法笔算调研题：第1～8题是列竖式计算，考查整数乘法笔算法则，分别是：两位数乘一位数、三位数乘一位数、两位数乘两位数、三位数乘两位数（末尾有0，中间有0）、三位数乘三位数、四位数乘三位数；第9～13题是选择题，第14、15题是填空题，考查整数乘法笔算的算理理解，分别是：三位数乘两位数、两位数乘两位数、三位数乘三位数. 四年级的整数除法笔算调研题：第1～9题是列竖式计算，考查整数除法笔算法则，分别是：有余数的除法（除数和商都是一位数）、两位数除以一位数（首位不能整除）、三位数除以一位数（商中间有0的除法，首位不够除，商末尾有0的除法）、三位数除以两位数（除数是整十数、四舍调商，五入调商，被除数和除数末尾都有0的除法）；第10～14题是选择题，第15～16是填空题，考查整数除法笔算的算理理解，分别是：除法中余数和除数的关系、有余数的除法、两位数除以一位数、三位数除以一位数、三位数除以两位数. 五年级的小数笔算调研题：第1～4题是列竖式计算，考查小数计算法则，分别是：整数加小数、小数减小数、小数乘小数、除数是小数的除法；第5～7题是论述题，第8、9题是选择题，考查小数计算的算理理解，分别是：小数加减法、小数加法和乘法、有余数的小数除法. 六年级的分数计算调研题：第1～12题是计算题，考查分数计算法则，分别是：分数加法、分数减法、分数加减混合、分数乘整数、分数乘分数、分数连乘、分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数、分数乘除混合、分数四则运算、分数简算；第13、14题是填空题，第15、16题是论述题，考查分数计算的算理理解，分别是：分数加法、分数乘法、分数除法. （三）确定调研对象 我区共32所小学，其中8所城区学校、24所农村学校，每个年级学生人数4000左右.我们的调研，都是在全区随机抽取3所城区小学和5所农村小学，同时，根据调研测试题的内容，分五类学生对象分别展开. （四）分析调研数据 1.得分率对比
从图2至下页图6可以看出，虽然研究体系不同，每份调研卷的具体试题也不同，但得分率数据却表现出两点“相同”：其一，每一块的计算正确率都不是整齐划一的，基本都表现出其中有某一个或某几个类型的计算正确率是明显低于其他类型的；其二，每份调研卷的后半部分试题（都是考查经历探索笔算算法的学习过程及算理的理解水平的）的正确率明显低于第一部分（考查的是算法法则）. 2.得分率偏低的归因探讨 以二年级的整数加减法笔算的调研数据为例.整数加减法12种笔算的计算得分率如下页表1所示. （1）三位数加法的笔算（不连续进位加）正确率为86.78%.这一数据出乎意料地低于“连续进位加”，甚至低于“连续退位减”.原题为“57+416”.学生的主要错误（如图7、图8所示），很显然是“数位没有正确对齐”的原因.据统计，这种错误居然占此题错误的66.7%.一年级的第一节笔算起始课《两位数加两位数》中就已经强调“相同数位上的数才能直接相加减”，但事实上，一部分学生对这一算理还未真正掌握，数位和位值的概念依然很模糊.
（2）三位数“连续退位减”“隔位退位减”“加减混合运算”的正确率比较低，分别为87.22%、84.14%、71.81%.学生的主要错误如图9所示.“退位减”这部分内容因计算过程比较复杂，虽已反复巩固，但仍是学生学习中的难点，各种退位错误层出不穷，特别是一些“学困生”对这一部分算理的理解“云里雾里”，甚至多人出现“不够减，倒过来减”的错误.
（3）单纯因口算、数字抄错、加法算成了减法等所谓的“低级错误”而导致错误的约占三分之一.学生的主要错误如图10、图11所示.细细分析，不难发现，其中着重反映出学生“口算技能不过关”“缺乏良好的运算心理与习惯”等问题.儿童心理发展的规律表明，小学生的知觉常常表现出笼统、局部、不精准的特点，感知粗糙笼统.特别是在计算过程中缺乏耐心或急于求成，更易受到题目中某些数据特点、运算符号、练习要求等的持续作用影响而“功亏一篑”.
3.计算技能的总体状况 运算能力含结果和过程两方面.整合此次调研数据（见下页表2），可以发现：从计算速度看，我们区域小学生的笔算速度基本符合《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的学生的计算技能要求（两位数和三位数加减法笔算，2～3道/分钟；两位数乘两位数笔算，1～2道/分钟；一位数乘除两位数和三位数笔算，1～2道/分钟）；从计算正确率看，整数计算中除法笔算正确率明显低一些，小数计算的正确率又低于整数和分数计算；从各类算理理解达成数据看，我们区域小学生中还明显存在运算方法与知识结构水平上的算理脱节的现象，“知其然而不知其所以然”. 这次调研，再次告诉我们，“算法娴熟，算理不明”的问题在我们区域小学生中普遍存在.这对我们的计算教学发出了挑战. 三、策略：多管齐下，从关注知识习得到关注能力培养 不明“理”却懂“法”的状况，很大程度上是计算教学重算法、轻算理造成的.靠大量训练、机械记忆获得的“法”，只是一种短暂的认知，并不能从根本上提高学生的运算能力，时间一长或计算内容稍复杂，学生便会错误百出.针对区域内小学生运算能力的现状，我们以“区域小学生基本计算技能的内容序列架构与培养策略”的主题教研活动为抓手，在全区范围内探讨培养学生运算能力的教学策略. （一）关注口算教学，构筑运算能力的“底座” 在小学阶段，学生对于算理和算法的学习，主要体现在整数、小数和分数的口算和笔算中.关于运算能力的构成，曹培英老师立足小学教学的实际，提出了“四面体结构模型”.该模型揭示：基本口算（主要指20以内的加减和表内乘除）是其他口算和任何笔算、估算须臾不可离开的运算反应；对于小学生而言，基本口算反应与进一步的算法、算理共同构成运算能力的“底座”.培养学生的运算能力，口算教学是基础. 首先，出台区域小学生口算达标标准.我们梳理了苏教版小学数学一至六年级教材中学生应该掌握的口算类型，每学期不定年级、不定时间开展全区小学生常态口算调研，从而基本掌握我区小学生一至六年级各口算类型的平均达成水平.根据调研得出的平均数据，我们于2014年秋学期（也即苏教版修订教材全面启用期）出台了“常州市金坛区小学数学一至六年级口算达标标准（修订稿）”，以引领全区各校能依据标准，自主训练，自主达标. 其次，坚持口算课型序列化研讨.长期的区域研讨，使我们对口算教学的基本课型达成了共识：口算算理课、口算复习课、口算整理课、口算拓展课.同时，我们对每类口算课型统一了目标定位.比如，口算算理课一般有两个要求：第一，要在理解算理的基础上形成口算能力；第二，要循序渐进地长期训练，逐渐提高学生的口算能力.口算复习课要具有三个“意识”：一是要有建立口算达标、过关检测的意识；二是要有单元目标高于课时目标的意识；三是要有留给学生独立“执笔训练”时间的意识.口算整理课是基于教材、由教师自主开发的一种课型.如三年级学生通过之前的学习掌握了百以内口算加减法所有类型，一节口算加减法的整理与复习课，有助于学生在百以内口算体系中明晰算理、沟通算法、提升能力.口算拓展课也是基于教材、由教师自主开发的另一种课型.它基于学生对某一个学段的口算水平，围绕一个主题展开.
（二）夯实基本算理教学，追求算理理解与算法掌握的融合 算法和算理是运算能力的一体两翼，两者相辅相成、不可偏废.什么是算理？学生想法中呈现的算理是什么？教学中如何帮助学生理解算理？ 首先，重新界定计算教学的“目标定位”.据统计，我们区域的计算教学存在两点不足：（1）目标缺乏层次性.主要体现为教学设计时往往只关注本节课的内容，忽视其在本单元甚至本册教材中的作用，缺乏整体设计的意识.（2）目标缺乏多元性.教学中只注重单一的内容，人为地把口算、笔算、估算教学分成“独立”的三大块，而忽视了“三算”融合.事实上，计算教学的多元目标，不仅体现在运算能力的提高，还有思维能力以及数感、判断、选择等多方面能力的渗透和培养.比如，对于《小数加减笔算》这样蕴藏着“知识基点”的种子课，目标应定位为：（1）在具体的情境中经历探索小数加减计算方法的过程，在理解算理的基础上掌握小数加减的笔算方法，培养初步的运算能力.（2）在观察、比较、归纳、反思等活动中体会新旧知识的联系，理解小数点对齐就是相同数位对齐.（3）在自主探究、合作交流的学习活动中，积累计算经验，体验获得成功的喜悦. 其次，组织有效的探索活动，在算理理解的基础上构建算法.算理是四则运算的理论依据，它由数学概念、运算定律、运算性质等构成；运算法则则是四则运算的基本程序和方法.运算是基于法则进行的，而法则又要满足运算定律等.也就是说，算理为法则提供理论依据，法则又使算理可操作化.组织有效的探索活动，是实现在算理理解的基础上构建算法的重要保证.在实践中，我们归纳出有效的探索活动板块基本包括五个层次：问题启思（酝酿算法）→自主探究（探究算法）→收集资源（预设算法）→序列交流（交流算法）→归纳完善（优化算法）.具体流程是：面对新算法，首先让学生进行自主尝试，引领一部分学生能依据原有的知识经验算出正确结果；然后，在后续结构化的学生作业资源呈现和对比中，通过层层递进的序列交流，让更多的学生领悟新算法.经历这样的探索活动，学生不仅知道怎样计算，而且明白为什么这样算. （三）创新区域命题元素，引领计算教学更多地关注能力培养 曹培英老师在解读课程标准核心词——运算能力时谈道：迄今为止，体现课程标准要求“寻求合理简洁的运算途径解决问题”的练习题、测试题，依然是“凤毛麟角”；运算的应用在小学阶段几乎还是等价于“简便运算”.现实中，我们的一些教师在处理计算教学达成结果时，评价方式比较单一，往往是通过了解学生计算的达成度，来简单分析运算能力在学生个体上的表现.这也直接导致学生在计算中过多关注正确率，却不注重整体分析计算问题.为此，我们在借鉴江苏省第一学段学业质量调研卷、常州市学生运算能力单项测试卷等命题意图的基础上，尝试在区域层面的学生试题中注入“灵活计算”“算理判断和说理”“寻找计算的合理途径”等一些命题新元素（图12～图15所示是我们命制的4道试题），期望我们的教师在解读命题意图中进一步把握培养学生运算能力的教学策略，引领区域计算教学真正实现从知识到能力的跨越.
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