近三年上海高考数学创新试题特点分析及启示，本文主要内容关键词为：上海论文,近三年论文,启示论文,试题论文,高考数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近三年来上海数学高考试题在坚持能力立意，全面考查学生的数学知识、方法和数学思想的基础上，积极探索试题的创新设计，着力考查学生的学习能力、应用能力、探究能力、创新能力和综合素质，创新试题的比例约占全卷的20％强，并有加大趋势。
一、数学创新试题的主要特点
1.在试题中给出新的信息，考查学生获取信息、加工信息的能力
这类试题的特点是在试题中给出了中学教学内容中没有遇到过的新知识，它可以是新的概念、新的定义、新的定理或新的规则等，首先要求学生读懂并理解，然后根据这个新的知识作进一步演算或推理，其目的是考查学生独立获取新知识的能力。
例1 2001年春季第10题，若记号“＊”表示求两个实数a和b 的算术平均数的运算，即a＊b＝（a＋b）／2， 则两边均含有运算符号“＊”和“＋”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是__________。
分析 首先要理解记号“＊”，弄清它表示一种什么样的运算，然后尝试对a、b、c实施“＊”和“＋”运算。如（a＋b）＊c按照“＊”运算，等于
（（a＋b）＋c）／2＝（a＋（b＋c））／2
逆用“＊”运算法则，即可知它等于
a＊（b＋c），且满足条件的等式不唯一。
又如2000年春季第21（3）题，定义了向量的混合积运算， 并通过计算，说明其与四棱锥体积的关系，猜想向量混合积的绝对值的几何意义。2000年第22题，通过复数运算，建立两个复数的实部、虚部间的关系，并把这个关系定义为一种变换、然后再解答点、直线经过变换后的各种问题。2001年第21题（见例5），要通过阅读、 理解试题中的“假定：——”和“设用——为函数f（x）”。规定f（0）的值，并解释其实际意义：进一步根据假定探究函数f（x）应该满足的条件和具有的性质。
2.开放试题的条件、结论，拓展考生思维空间，考查学生探究问题的能力
这类试题的特点是试题中的条件或结论没有明确设定，需要考生根据试题的条件提出可能存在的结论，或由结论设定导出使结论成立的条件。这类试题的答案可能是开放的，即正确答案不止一个，也没有要求找出所有可能的答案，其目的是考查学生探究问题的能力。
例2 1999年第12题，若四面体各棱的长是1或2， 且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_______。（只需写出一个可能的值）。
分析 首先要探究在给定条件下，怎样构造四面体。因为四面体不是正四面体，所以棱长不可能都为1或2。因此，至少有两条棱长分别为1或2，这样的四面体有3个。然后进一步探求较简单的四面体体积。
又如2000年春季12题，设I是全集，非空集合P、Q 满足
若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，在众多表达式中只需写出一个。2000年第7题，命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且____的三棱锥是正三棱锥。要求在众多等价的命题中，写出其中一个满足所给的条件。
2001年春季第11题，关于x的函数f（x）＝sin（x ＋φ）有以下命题：
（1）对任意的φ，f（x）都是非奇非偶函数；
（2）不存在φ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；
（3）存在φ，使f（x）是奇函数；
（4）对任意的φ，f（x）都不是偶函数。 写出一个假命题的序号和φ的一个值。要求考生在多种情况中探究φ值与f（x）奇偶性的关系。2001年第22（2）（3）分别为要使数列发生器产生一个无穷的常数数列，探求输入的初始数据x[,0]的值和若输入x[,0]时，产生的无穷数列｛x[,n]｝满足：对任意正整数n，均有x[,n]＜x[,n＋1]，求x[,0]的取值范围。
3.试题从学生已有的知识结构出发，推陈出新，考查学生的创新能力
这类试题的特点是在试题中有一个命题并指出一个方面。要求考生通过类比或推广的方式得出一个正确的新命题，或用尝试、验算、观察、猜想发现新的结论。这个新命题或新结论通常是中学教学内容中没有的。其目的是考查学生的创新思维能力。
例3 2000年第12题，在等差数列｛a[,n]｝中，若a[,10]＝0， 则有等式
a[,1]＋a[,2]＋…＋a[,n]＝a[,1]＋a[,2]＋…＋a[,19－n]（n＜19，n∈N）成立。
类比上述性质，相应地在等比数列｛b[,n]｝中，若b[,9]＝1， 则有等式__________成立。
分析 由等差数列某项为0，类比为等比数列某项为1，由等差数列的和联想到等比数列的积，由等差数列特殊的下标推证一般意义下适合的下标，然后确定相应的等比数列等式中的下标。
例4 2001年第16题，用计算器验算函数y＝（lgx／x）（x＞1）的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（ ）。
（A）y＝lgx／x在（1，＋∞）上是单调减函数
（B）y＝lgx／x，x∈（1，＋∞）的值域为[0，lg3／3）
（C）y＝lgx／x，x∈（1，＋∞）有最小值
分析 用计算器验算y＝lgx／x（x＞1）的若干个值，如取x为10、100、1000、…、y＝lgx／x（x＞1）值越来越小（x趋向于无穷大，y趋向于0）。
但取x为3、2、3／2、…y＝lgx／x（x＞1）的值越来越小（x 趋向于1，y趋向于0）。
故排除（A），观察上述数值变化，显然取不到0，也没有最小值，而能发现（D）正确。
又如2001年第11题，已知两个圆：
x[2]＋y[2]＝1
①
与x[2]＋（y－3）[2]＝1
②
则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例。
推广的命题为：______。
4.试题创设了新的情景，考查学生在新的情景中综合运用数学的能力和学习潜能、综合素质
这类试题有两种，一种是数学应用问题。它的主要特点是以生产、生活实际为背景，要求考生理解问题背景，找出它们的数量关系，建立数学模型，得出符合实际的结论。另一种是虚拟情景问题。它的主要特点是用新的“假定”、“指令”，“构造数列发生器，规定其工作原理”等，定义新概念。创设新情景。考生首先要读懂新概念、理解新情景，获取有用新信息，综合运用数学知识分析、解决问题。其目的是考查综合能力和素质。
例5 2001年第21题，用水清洗一堆蔬菜上残留的农药。 对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1 个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的1／2，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上。设有x单位量的水清洗一次以后。 蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）。
（1）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；
（2）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；
（3）设
现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次， 也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？ 说明理由。
分析 读懂并理解题设中“假定”
（1）f（0）＝1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样。
（2）由题设中假定演算得
f（0）＝1，f（1）＝1／2，
进一步推理得在[0，＋∞]上f（x）单调递减，且0＜f（x ）≤3。
（3）由题设知，仅清洗一次，残留的农药量为
讨论a值比较大小
又如2000年第20题，根据指令r，θ（r≥0，－180°＜θ≤180 °），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转，θ为负时，按顺时针方向旋转），再朝其面对的方向沿直线行走距离r。
（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向。试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。
（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动。已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍。若忽略机器人原地旋转所需的时间， 问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。理解对机器人情景中的新指令，问题可转化为用向量、复数、解析几何（距离、角）来处理。
2001年第12题，土地沙化面积问题。解决本题首先要理解新情景中相关图表中信息，然后计算平均值并在题中表示。2001年第22题，数列发生器问题，其实质是用“一个数列发生器，及其工作原理”设计了一个新情景来包装一个数列问题。
二、创新试题对数学的启示
启示1 创新试题的设计理念和考查目标， 对中学数学的教学思想、教学目标、教学方式都提出了新的要求。要通过数学教学活动培养学生的创新精神和实践能力，促进学生潜能的发展和素质的提高。要重视教学的过程，让学生感受、理解知识产生和发展的过程。要进行开放性教学活动，让学生自主地去尝试、探究、反思，培养学生收集信息处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力。在自主的、开放性的活动中，学会学习，形成能力。必须摈弃封闭的、僵化的，模式化的，只重结果，没有过程的教学和题海战术。事实上，这种教学和训练方式对创新试题也无法凑效。
启示2 上海高考数学试题的创新， 是数学高考命题的一种成功探索和尝试。它对数学高考命题的改革起到了先导性的示范作用，它对高考数学全国卷有着很好的借鉴作用。因此，认真分析研究上海数学高考创新试题的特点和不断改革、完善的过程，将有利于对数学高考命题趋势的预测和把握。