高中最值问题的追根溯源-从2019年全国三卷23题谈起论文

高中最值问题的追根溯源
——从2019年全国三卷23题谈起

胡嘉苇

摘 要： 2019年全国三卷23题，此题“外貌平平”的背后，确是数学核心素养的“熠熠生辉”。高中解决多元最值的三大主流方向：函数观点、不等式观点、数形结合观点都能在此题“大展拳脚”。本文从这三个方向，通过六种解法来解题，以此对多元求最值的方法进行对比、串联，探寻此题目的背景以及教材对应的题根，多角度认识题目并体会其背后的核心素养要求。

关键词： 不等式；数形结合；柯西不等式；多元最值

一、 真题分析

2019年全国三卷真题23题[选修4-5：不等式选讲](10分)

设x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1。

(1)求(x -1)²+(y +1)²+(z +1)²的最小值；

(2)若成立，证明：a ≤-3或a ≥1。

(一) 题目初相见

(1)问与(2)问明显关联密切，若攻克第一问，第二问也就迎刃而解，所以本文只分析第一问。

图2(a)为偏向铝合金的焊缝断口放大12倍的形貌图，可以明显看出焊缝底部存在孔洞。断口中部和上部存在呈周期性排列的“片层饼”状结构[8-9]，相邻的间隔大约为1 mm，这可能与搅拌摩擦焊焊缝内部S线的形成机理[10]相关。由于搅拌头旋转挤压带动材料流动，在焊接方向形成周期性的材料堆积填充，形成周期性的结合薄弱区，最终断口出现沿焊接方向周期性排列的“片层饼”结构。

(二) 题目考点溯源

(1)问是一个多元限制条件下的最值问题，马上搜索高中最值问题处理的“武器库”。

戈载在《词林正韵·发凡》中说道：“词之谐不谐，恃乎韵之合不合。韵各有其类，亦各有其音，用之不紊，始能融入本调，收足本音耳”[6]65。他主要强调了用韵对词的音韵和谐的重要性。所以，词调的声情，不仅与该词牌所属宫调相配合，也有用韵相关。

进入磁场的等离子可能形成销层，出现电位差，椎角处大量损失高能电子、离子，体系减弱至到停止反应。这过程以毫秒计。

方向一：函数方向：常见的处理是消元化简，或者是整体换元，研究单调性是最终归宿。

仍然采用换元转换：已知a ，b ，c ∈R ，a +b +c =2，求a ²+b ²+c ²的最小值。

方向三：数形结合方向：以线性规划为典型代表，找寻代数式中隐藏的几何背景，如斜率、距离等，体现数学转化与化归思想。

二、 第一剑：数形结合化距离

观察(x -1)²+(y +1)²+(z +1)²，我们很容易想到其几何意义，也就是动点(x ，y ，z )与定点(1，-1，-1)的距离的平方。由高等几何知识可知x +y +z =1表示一个平面，于是这里可以在空间直角坐标系中作出x +y +z =1所表示的平面，然后由立体几何知识求得距离。

当然也可以由点P (x ₀，y ₀，z ₀)到面Ax +By +Cz +D =0的距离公式：得(x -1)²+(y +1)²+(z +1)²的最小值

三、 第二剑：换元化简寻题根

解：由柯西不等式可知：((x -1)²+(y +1)²+(z +1)²)(1²+1²+1²)≥(x -1+y +1+z +1)²=4，

记f (y )=2[y ²+(z +1)y +z ²+z +1]，知当时取最小，

显然，换元后的式子像是进行了一次“美容”，单从式子结构的简洁就能感觉我们的思路是正确的。

(一) 基本不等式视角解题

Omp的缺失加上ESBL和（或）AmpC产生，在耐碳青霉烯类肺炎克雷伯菌的研究中起重要作用，非产酶类耐碳青霉烯类肠杆菌越来越引起人们的重视，孔蛋白与不同药物耐药性之间的关系是近年来的研究热点，在以后的临床工作中也可根据研究结果进行针对性的用药。

由基本不等式可知：2ab ≤a ²+b ²，2ac ≤a ²+c ²，2bc ≤b ²+c ²

此处，变量y 与z 相互独立，且没有限制范围，故不妨以y 为主元。

(二) 题根探秘

在人教A 版教材选修4-5，《不等式选讲》习题 3.2 的第2题，原题如下：

已知a ，b ，c ，d ∈R ₊，且a +b +c +d =1，求证：

对照换元转换的此题：已知a ，b ，c ∈R ，a +b +c =2，求a ²+b ²+c ²的最小值。我们发现它们几乎是“一模一样”的。这进一步体现出高考题目来源于教材，所以如何整理、挖掘教材中习题的功能，是我们每位数学教师的“本分”，而不是一味地寄希望于“一轮复习参考书”。

由已知得(a +b +c )²=a ²+b ²+c ²+2ab +2bc +2ac =4

将棱镜摆设至A、B两点上，然后在A、B的中间位置的轴向上P点处架设全站仪，分别观测A点与B点后，可以得到仪器到A、B点的直接高差，那么A、B两点之间的间接高差为：

四、 第三剑：消元化简立主元

解：由题可知x -1=-(y +z )，所以(x -1)²+(y +1)²+(z +1)²=(y +z )²+(y +1)²+(z +1)²=2[y ²+(z +1)y +z ²+z +1]

从而4≤3(a ²+b ²+c ²)，即当且仅当即时取等。

于是题目转化为：已知a ，b ，c ∈R ，a +b +c =2，求a ²+b ²+c ²的最小值。

记则

此时，

五、 第四剑：整体换元寻函数

解：仍然采用换元转换：已知a ，b ，c ∈R ，a +b +c =2，求a ²+b ²+c ²的最小值。

社区矫正工作的正常开展依赖于充足的经费支持。有学者主张，应当确立“省级财政经费为主，县级财政经费为辅”的社区矫正经费保障体制。[6]笔者同意这种看法，由省级财政提供主要经费，县级财政提供少量的经费，上下联合，共同确保矫正工作顺利进行。

首先由c =2-(a +b )，得a ²+b ²+c ²=a ²+b ²+(2-(a +b ))²=2(a +b )²-4(a +b )-2ab +4……。(1)

注意到(1)式中出现了两种结构a +b 和ab ，而这两个结构是可以进行放缩转换的。

经由我院伦理委员会批准，将本院2017年1—12月接受的宫颈炎患者78例作为研究对象，并随机分为对照组与观察组，每组均39例。对照组中，年龄26～55岁，平均年龄（40.5±14.5）岁，病程1～5年，平均病程（3.0±1.01）年。观察组中，年龄25～55岁，平均年龄（40.0±15.0）岁，病程1～6年，平均病程（3.5±1.5）年；两组一般资料比较结果P＞0.05，可作对比。

由基本不等式可得所以(1)式当且仅当时取等。

六、 第五剑：向量转化拨千斤

方向二：不等式方向：常见的工具有基本不等式、柯西不等式、不等式性质或是函数不等式放缩。

构造向量m =(a ，b ，c )，n =(1，1，1)，记m ，n 的夹角为θ ，则m ·n =|m ||n |·cosθ =a +b +c =2

融合多方力量，以组织优化引领社区治理新格局。新型农村社区改变了农村的人口布局、村落布局、土地布局，以村居党组织和村民委员会为主体的传统治理体系很难适应更为复杂的新型农村社区格局。为此，宿迁市宿城区充分发挥党组织的领导核心和战斗堡垒作用，以社区党组织为核心，融合物业公司的管理职能、业主委员会的自治职能，形成“三位一体”治理体系，有效解决党组织“单打独斗”的问题，让新型农村社区既充满活力又和谐有序。

于是当cosθ =1即时，a ²+b ²+c ²取最小值。

七、 第六剑：不等式观点回本源

应用1：柯西不等式

解：原式中令x -1=a ，y +1=b ，z +1=c ，则a +b +c =x +y +c +1=2，(x -1)²+(y +1)²+(z +1)²=a ²+b ²+c ²。

得

当且仅当即时取等。

应用2：权方和不等式

影响商业银行盈利的还包括内部银行治理水平和外部环境，如果把这些扰动因素全部放入扰动项进行计量分析，则会使扰动项方差偏大，拟合不精准．为了使拟合效果更加准确，把影响商业银行盈利的其他因素设置为控制变量纳入到模型中．其中商业银行层面选用资本充足率(CAR)、成本收入比(CRR)、存贷比(LDR)等财务指标表示．外部宏观因素变量选用国内生产总值同比增长率(GGDP)来表示[18]．

权方和不等式：(x ，y ，z ，a ，b ，c 都为正实数)，当且仅当时等号成立。

解：当且仅当即

首先，是要满足企业对人才的需求。各企业对特定人才的需求是不定时、小批量、特性化的，现有的以定制班、企业实习等方式展开的人才培养，虽然利用了学校和企业两种不同的教育环境和教育资源，但缺乏批量化和持续性，培养投入的成本高、受益面小，难以实现校、企、学生三方最大利益。只有从行业的角度来抽取需求，面向企业群进行人才培养，才能够最大化满足需求与人才的对接。

基于此，用两节课时间结合本课内容实际案例与练习题，营造自主合作学习的氛围，面对面进行互动学习。课堂中，开展竞答、小组合作、知识比拼等活动，解决课前存在的问题，从而实现学生对知识的内化。教师要及时了解学生知识的内化程度，适时给予激励与表扬，激发学生主动学习。

时取等。

注：此处的权方和不等式也可以换成(平方平均数与算数平均数的不等关系)。权方和不等式由于形式结构的对称性与美感，可以说是一个让人“过目难忘”的不等式，可以由柯西不等式推导，在高中应用也比较广泛。

八、 品题感悟

六脉神剑能够成功使出的关键全在于“内力”，这份内力即为学生的核心素养积淀。

本题的漂亮之处就在于以上三种思路方向都可以成功得解，在知识点的交汇处命题，问题解决体现了通性通法的特点。方法不同，难易程度也不同，展现出不同学生的思维能力和品质，具有很强的区别功能。

从宏观上看，河南省缺乏专门的促进战略性新兴产业专利发展的总体战略，部分构想也只是蕴含于河南省知识产权整体发展的战略之中，从而在主政策与子政策之间就出现了断层；战略性新兴产业专利布局和其他产业知识产权类型布局之间，也缺少应有的融合与衔接。这种单一而非综合的专利布局，无法形成合力，收到“1+1>2”的效果。从微观上看，在战略性新兴产业专利布局中，知识产权管理部门、公司管理层、市场部门、研发部门对于构建专利组合，形成层级分明、功效齐备、要素完整的企业专利格局的整合度不足，专利布局设计的科学性也有待检验，因而导致对于战略性新兴产业所涉企业的自主创新能力提升应有的推动力无法得到充分的释放。

参考文献：

[1]刘起鹏.追根溯源挖掘本质——由2016年江苏卷第14题所想到的[J].数教学研究，2017(1)：65-67.

[2]王淼生.透过现象追根溯源看清本质[J].中学数学，2015(23)：88-91.

作者简介：

胡嘉苇，四川省成都市，四川省成都市成都石室中学。

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