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1 引言
面积、体积说到底是一种测度，满足非负性、可加性、平移性等。面积、体积是数学中的重要问题，面积、体积问题具有基础性，对后续的数学问题具有辐射性。
吴文俊先生曾说：将来的数学应该是走中国古代数学道路，而不是国际道路，这是一条总的趋势。我国古代数学强调算法化，与西方公理化的数学旨趣迥异。祖暅原理是在求球的体积的过程中产生的，是我国古代数学的优秀文化遗产。学习这一原理不仅能激发我们的民族自豪感，也能初步领略我国古代数学对现代数学的影响。本文先用祖暅原理解释为什么圆锥体积是等底等高圆柱体积的
，然后介绍祖暅原理的历史，初步体会这一原理的巧思及对微积分求积问题的启示性。
2 祖暅原理
祖暅原理也就是“等积原理”。祖暅是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子。他提出了一个原理：“缘幂势既同，则积不容异。”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。这个原理是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。这个原理很容易理解。取一摞书或一摞纸张堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状，这时高度没有改变，每页纸张的面积也没有改变，因而这摞书或纸张的体积与变形前相等。祖暅不仅首次明确提出了这一原理，还成功地将其应用于推算球的体积。
还有对平面图形的祖暅原理。夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于这两条平行直线的直线所截，如果截得两条线段的长度总相等，那么这两个平面图形的面积相等。
在西方，直到17世纪，这个原理才由意大利数学家卡瓦列里发现。他于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。他的发现比我国的祖暅晚了1100多年。
这一原理在数学史上是具有里程碑意义的事件，是希腊人的穷竭法向牛顿—莱布尼茨微积分的一种过渡，对17世纪上半叶微积分思想的发展有很大影响，是微积分萌芽的先声。这一原理是计算面积和体积的有用工具，它的直观基础很容易通过微积分而严格化（在微积分中，祖暅原理降格成了一条定理）。如果作为直观上的显然而承认祖暅原理，那么以长方体体积公式和此原理为基础，可以求出柱、锥、台、球等的体积。
设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面都在同一个平面内。因为用任一平行平面截这三个几何体，所得的截面积相等，根据祖暅原理，可知它们的体积相等。由于长方体的体积等于它的底面积乘以高，于是得到柱体的体积公式
。
设有底面积都等于S，高都等于h的一个棱锥和一个圆锥，使它们的底面都在同一平面内，根据祖暅原理，可知它们的体积相等，即等底面积等高的两个锥体的体积相等。
图2
微积分的方法显得更容易些，但不能不学习祖暅原理。正如龚升院土所说，数学的发展是一个推陈出新、吐故纳新的过程，是一个新的有力的工具和更简单的方法的发现与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程，是“高级”取代“低级”的过程。但在人们学习数学的过程中，却不能只学习“高级”的，完全不学习“低级”的。学习数学是一个循序渐进的过程，没有“低级”的数学打好基础，很难理解并学习好“高级”的数学。为了更好地学习“高级”的微积分，我们需要深入地理解祖暅原理，了解其历史是更深入地理解这一原理的一条途径。
3 祖暅原理的历史
伟大的物理学之父牛顿曾说，他之所以站得高，是因为站在巨人的肩膀上。祖暅原理的提出标志着我国古代求体积方法达到了顶峰。祖暅也是站在“巨人肩膀”上了，祖暅原理的历史其实就是我国古代求体积的历史。
我国古代最早的求体积法是出入相补原理。出入相补又称以盈补虚，是几何学中最基本的原理之一。用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。在立体的情况下，它主要用于把梯形立体化成一个长方体再求其体积。
三国时的刘徽利用出入相补原理在求体积方面取得了出色的成就。
《九章算术》以及《刘注》（刘徽注释《九章算术》）解决体积问题的出发点是把一般的多面体分解为一些基本的立体。先把一长方体斜剖为二，如图3-(1)，得两堑堵（堑堵是两底面是直角三角形的正柱体）。再把堑堵斜剖为二，如图3-(2)：一个是阳马（阳马是直角四棱锥体），如图3-(3)；一个是鳖臑（鳖臑是四面都是勾股形的四面体），如图3-(4)。其中鳖臑的特征是AB和平面BFG垂直，FG和平面ABF垂直。由于任一多面体可以分割为四面体，而任一四面体可以分割为6个鳖臑，如图4，所以问题归结为求鳖臑（以及阳马）的体积。
其次是怎样求得阳马和鳖臑的体积。如果长方体成为立方体，那么分解所得的阳马的体积是鳖臑的两倍。刘徽说“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”。我们把它称作刘徽原理，斜解一长方体所得阳马和鳖臑的体积的比恒是二比一。从这一原理容易得到鳖臑和阳马的体积公式。由此又通过组合，分割，组合，分割，……这样一个过程得到多面体的体积公式，因而整个多面体的体积理论可奠基于刘徽原理以及出入相补原理之上。《九章算术》到《刘注》，我国对多面体的体积已经建立了相当完整的理论体系。但是对于曲面围成的立体，特别是球的体积问题，却遇到了困难。球体积问题，直到南北朝时期的祖眶才完全解决，并提出了祖暅原理。
早在公元前1世纪，我国对球体积的计算是通过实测来完成的，其结果引出球体积计算公式
，D是球的直径。公元263年，刘徽在注释《九章算术》时，对这个公式提出了异议。他说，如果把球与外切圆柱的体积之比当做
，故π取3时即得此式。然而实际上前一比并非，刘徽发现了球体积公式存在着过大的误差后，便决心推算出精确的公式来。首先，他用两个半径都等于只的圆柱面，让其轴线互相垂直并相交，于是，这两个圆柱面的公共部分正好把半径为R的球体包含在内，这个公共部分的外形就像一个既圆又方的盒子，刘徽称之为“牟合方盖”，即两把对合的方伞。两个对接的烟筒在拐弯处的形状就像“牟合方盖”的一个角。然后，刘徽想，若用一个与底面平行的平面去截它们，那么球的截面肯定是圆，而“牟合方盖”的截面刚好是一个正方形，无论截面高低如何，其形状只不过是大小有所不同罢了。
假定圆半径是1，则圆面积就等于π，而正方形面积就等于4，即任意正方形与其内切圆的面积之比都是4∶π。既然“牟合方盖”与其内切球体的任意截面积之比都是4∶π，那么二者的体积之比也是4∶π。刘徽在这里用到了一个重要的截面原理：如果两个等高的立体，用平行于底面的平面截得的截面积之比为一定值，则这两个立体的体积之比也等于该定值。因此，他把计算球体积的问题转化为计算“牟合方盖”体积的问题了。换句话说，只要求出“牟合方盖”的体积，就可得到球体积公式了。为了证明这一点，他在球外切立方体内作两个直交的内切圆柱，得到公共部分立体，称其为“牟合方盖”，合盖外切于球，且两者平行于立方体上下底的截面之比处处为
，因而刘徽得到
。因此
。当π取3时，右边仍大于球体积真实值。刘徽试图求出“牟合方盖”体积以得出球体积，可是立方体之内、合盖之外的复杂立体把他给难住了，他因此功亏一篑。他最后只好把上述结果详述在注解里，并希望后人看到这个问题，接着来完成他未竟的事业。
祖暅沿用了刘徽的思想，利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算。他的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为8份，取它的
——不妨称为“小牟合方盖”（如图5），OP=h，过P点作平面PQRS平行于OABC。又设内切球体的半径为r，则OS=OQ=r，由勾股定理有
，故此正方形PQRS的面积是
。
如果将图5立体放在一个边长为r的正立方体之内（如图6），不难证明图6中与图5等高处阴影部分的面积等于
。在图7中，设正立方锥体顶点到其截面的高度为h，不难发现对于任何的h，正立方锥体截面面积也必为。由此可知，在等高处，图6中阴影部分的面积与图7中的正立方锥体的横切面的面积总相等。所以，有理由相信，虽然正立方锥体和正立方体去掉“小牟合方盖”后的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总是相等的，所以它们的体积也就是相等的了。于是他提出了著名的祖暅原理。
“牟合方盖”是刘徽所引入的。事实上，在《刘注》中，他已经多次应用了祖暅原理来求曲面围成立体的体积。例如从方堡壔（长方体）求圆堡壔（圆柱），从方锥求圆锥，从方亭（正方台）求圆亭（圆台），都已经使用了这一方法。祖
的功绩，不仅在于具体求出了“牟合方盖”进而求出球的体积，更在于把实际上已知并且已经广泛应用的实践经验总结提高到一般原理的形式。
从祖暅原理可以立即得出前面讲到的刘徽原理，因而多面体的体积理论也可以建立在出入相补原理和祖暅原理这两个浅显易懂的基本原理之上。在欧洲，直到希尔伯特的《几何基础》问世以后，20世纪初，才有人（例如绪思）考虑依卡瓦列里原理以建立体积理论的问题。
4 史识
祖暅原理简单易明、应用广泛，体现了我国古代数学的独特风格，着重于问题解决以及解决问题的一般方法和一般原理、原则，同样的风格也可见之于几何的代数化、位值制记数法，等等。这和西方数学之偏重于概念和概念之间的相互逻辑关系，是异其旨趣的。但中国数学比较注重工程应用，而对结构性的、理论性的科学兴趣不大，发展也比较漫长。因此，我们在学习老祖宗的宝贵遗产时，既不要妄自菲薄，也不要妄自尊大，应采用兼收并蓄的态度，博采众长。作为古代求积方法的顶峰，求球的体积过程中有阿基米得的精密、祖暅的巧思、开普勒的前瞻，这些至今仍让人惊叹。于其中，总可以汲取有益的成分，提高我们的学养和学识。