构建“数学模型” 促进和谐发展，本文主要内容关键词为：和谐发展论文,数学模型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
案例：人教版三年级上册“搭配中的学问”
主题情景：小慧星期天的安排。
活动一：探究阶段。（2件上衣，3条裙子可以怎样搭配？）
教师设计了以下三个环节：
(1)用2件上衣，3条裙子可以怎样搭配？一共有多少种？拿出学具试一试。
(2)针对学生尝试过程中出现的问题：遗漏或重复，引导学生探讨交流：怎样思考才能避免这两种现象？
(3)比较优化，引出“有序思考”是解决问题的好办法。通过摆放，一共有6种不同搭配方法。
活动二：模仿阶段。（怎样搭配吃早餐？如表1）
表1
饮料类点心类
牛奶 包子
豆浆 大饼
油条
如果只能从饮料类和点心类中各选一种作为早餐，一共有多少种不同的吃法？有能力的学生尝试脱离学具，利用表象进行思考。
活动三：创造阶段。（一共有多少种路线？）
出示公园平面图（如图1）：
图1
从儿童乐园经过百鸟园到达猴山，一共有多少种路线？
学生思考片刻后集体交流：
生1：有6种。从儿童乐园到百鸟园有3条路，河中可以乘船，从百鸟园到猴山也有3条，就用3+3=6。
生2：不对，有5种。河里没有小船，不然的话我还可以游泳或者乘飞机呢。
众人哄堂大笑。
生3：我觉得应该用2×3＝6种。
教师追问：为什么用乘法？能给大家解释一下吗？
生3：（挠头）我也不知道，妈妈就这样教我的。教室里一阵沉默。
……
一、案例解析
“搭配中的学问”是简单乘法原理的雏形。完成某一件事情有n种步骤，第一个步骤有
种方法，第二个步骤有
种方法……那么完成该项任务就一共有
种不同的方法。显然这部分知识对思维尚处“具体运算阶段”（皮亚杰语）的三年级学生来说有一定的难度，因此教师在设计时也努力贴近学生的生活，创设了“小慧星期天的安排”故事情景展开教学，帮助学生自主完成探究活动；在活动的安排上也遵循了儿童的认知特点：由学具操作过渡到表象思考，最后类比迁移解决生活问题。教师组织孩子们研究了“衣服的搭配”“早餐的搭配”这两个现实问题后，本以为在他们的认知结构中已经积累了解决该类问题的思考方法与策略，或是在头脑中已经建立了某种有效的图式与模型，这些都是学生独立完成活动三所必备的知识，而实际教学情况并非如此。
让我们回到孩子的世界，考察他们在学习过程中的思维轨迹，便不难发现这失败的原因：作为三年级学生，从几个相关的，并且是较复杂的现实情景中抽象出某种共同属性，这本身对思维就是一种挑战；更何况还要从刚刚获得的解决问题的方法中自然感悟其联系，进而加以提升，成为解决该类问题的具有普适性的、模式化的策略性知识，这更是难上加难。教师在此过程中缺少的是对“构建数学模型”的足够重视，对学生在具体情景中产生的思考方法、学习策略没有进行及时有效地放大与提升，抽象出潜隐的共同的本质特性。
用语言描述：固定其中某一项，与其他几项进行搭配，再以此类推；或用图式表达（如图2）：
图2
或用算式3×2=6（表示3个2相加或2个3相加）计算所得，这就是数学模型。这个模型的构建可以支撑学生在解决后续问题过程中的数学思考。
二、关于模型的思考
“数学是关于模式的科学。”“小明有2支铅笔，小红有3支铅笔，两人一共有几支铅笔？”“动物园里有白兔30只，灰兔的只数比白兔多3只，灰兔有几只？”等都是生活中常见现象，像这类“需要把两部分合在一起求一共有多少”，我们就把它们建立一个共同的数学模型：加法运算。“一辆汽车5h行200km”相类似的问题太多了，再创造一个数学模型：路程=速度×时间。还有很多法则、定理……都是一种数学模型。所谓“数学模型”，是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。因此学生学习数学的过程可以这样去理解：先把现实情景削枝去干，并充分抽象化、形式化、符号化，构建相应的数学模型，然后运用数学模型回应生活解决问题，同时也修改完善数学模型。数学模型是人类进行数学思维的凭借物。
三、操作策略
1.千朵万朵梨花开（注重丰富的表象积累，培育模型建构的肥沃土壤）
数学模型所反映的不是某一具体事物的个性特征，关注的对象是许多具有共同普适性的一类事物。因此教师首先要给学生提供丰富的感性材料，多侧面、多维度、全方面感知这类事物的特征或数量相依关系，为数学模型的准确构建提供可能。
例如三年级下册“认识分数（二）”，这是学生第二次学习分数。这次的学习重点是表示单位“1”的量由原来的一个物体逐渐过渡到由一些物体组成的整体，思维的关注点也由原先考察具体量的多少逐步提升为部分与整体间抽象关系的把握，这对三年级学生来说是一次思维上的极大挑战。
教学预案：
2.吹尽黄沙始见金（重视具体—抽象跃进过程的组织，构建数学模型）
数学情景的开发与创设是学生有效建立数学模型、完成数学学习的重要载体。唤起那些蕴涵在经验中的非正规的数学知识，沿着现实生活到情景问题，由情景中蕴涵的数学问题到抽象的认识转化过程，实现通过生活向抽象数学模型的有效过渡，是我们数学教学的目标之一。但要注意的是，具体生动的情景问题只是为学生数学模型的建构提供了可能，如果忽视具体—抽象跃进过程的有效组织，模型的构建也只能是“海市蜃楼式”的美好幻想。
四年级上册“平行与相交”的教学。“平行”是同一平面内两条直线间的位置关系，延长后不会相交，我们就称之为平行。平行的现象在生活中很常见，这是学生已有的学习背景，也是本课的新知生长点。
师：马路上，一辆小汽车笔直地前行。想象一下，下面哪幅图表示出这辆汽车行驶时车轮留下的痕迹（如图3）？
图3
大部分学生都认为是第(1)幅图。在学生回答的基础上，教师揭示概念：“像这样，不会相交的两条直线我们就称之为平行。”生活中你能找到一些平行的现象吗？学生七嘴八舌：“黑板上下两条边是平行的”，“窗户上下两条边也是平行的”，“课桌面上也有平行”……学生找到了很多的平行现象，似乎对此掌握较好。
教师接着出示几组直线让学生判断每组中的两条直线是否互相平行（如图4）：
图4
生：(1)不是平行，两个车轮不可能有交叉。
生：(2)也不是。两个车轮不可能越来越近。
生：(4)我认为也不是。两个车轮一起向前行，怎么可能一条长一条短呢？
这样的答案，这样的理由描述始料未及。教师原本的设计意图是想借助“汽车前行时留下的车轮印”这一生活中的课程资源，让学生在“运动”的表象支撑下，感知“平行线延长后不会相交”这一特性，初步建立平行的概念；然后在“说一说”“找一找”的活动中，进一步深化理解，扎实建构。但没想到，在判断这一环节中，学生判断的理由如此“稚化”——“两个车轮不可能有交叉”“两个车轮一起向前行，怎么可能一条长一条短呢？”这些表面化的、形式化的、未涉及平行的数学本质的属性在支撑着学生对平行的理解，很明显学生的学习是肤浅的、不到位的，没有真正建立“两条直线互相平行”的数学模型。没有必要的抽象，就不可能建构科学的“学科数学”。
“平行”的数学本质是同一平面内两条直线间距离保持不变，数学模型如图5：
图5
在学生判断出第一幅图表示的是车轮留下的印痕后，教师要结合学生的回答，及时抽象，把学生关注的目标从车轮本身上升为两条直线及直线间的宽度（距离），在此基础上揭示平行的涵义：像这样，两条直线之间距离保持不变，也就是延长后不会相交，这样的两条直线互相平行。经历这样的学习过程，学生原有的对平行的理解必定会从具体的生活情景走向半具体半抽象的数学模型，从而建构起真正的数学认知。
3.桃花深处有人家（重视数学思想方法的提炼，突显数学模型的本质）
思维方法、思维策略是数学模型存在的灵魂。不管是数学概念的建立，数学规律的发现，数学问题的解决，乃至整个数学“大厦”的构建，核心问题都在于数学思维方法的建立。在构建有效的数学模型的过程中要重视数学思维方法的体验与感悟，提升学生的数学思维能力。
例如数学活动课上，我和学生一起探讨“在正方形四周植树”的问题。
师：在一个正方形四周植树，每边植4棵，每个顶点上种一棵，至少要种多少棵？
生：要用16棵，每边4棵，有4条边也就用4×4=16棵。
生：不对，应该是12棵。假设每边真的是4棵，那就要16棵，但这样的话每个顶点上的树都重复了一次，所以还要减去4棵（如图6）。
生：我们组讨论的意见：顶点上的树属于其中的一条边（如图7），这样每条边上的树只有3棵，再用3×4=12棵。
图6
图7
生：我们是先算每条边中间植树的棵数（图8），2×4=8棵，再加上顶点位置的4棵，也是12棵。
生：我们把顶点上的四棵树分别属于正方形上下两条边，这样左右两条边只有2棵（图9），列式为4×2+2×2=12棵。
图8
图9
师：方法不同，列式不同，但殊途同归，一共要栽12棵。在解决问题的过程中，你觉得关键要注意什么？
生：就是顶点上的棵数不能多算，只能算一次。
师：如果在下面三个草坪四周植树（如下页图10），每边都要植4棵，每块草坪分别需要多少棵呢？小组选择一个问题进行研究。
生：我们小组选择三角形的草坪。我们有这样三种解法：(1)3×4-3=9棵；(2)(4-1)×3=9棵；(3)(4-2)×3+3=9棵。
生：我们选择五边形草坪，也想出了三种计算方法。
……
师：你发现解决这类问题有什么共同的地方？
生：无论是几边形，都要注意每顶点上的树不能重复。
生：我发现一个规律：可以用每条边上树的棵数×边数－顶点的个数，也就是算出总棵数后要减去重复的树的棵数。
……
图10
“处于图形顶点上的树可以隶属两条边，所以应减去重复算的棵数。”这是解决这类问题的关键。教师先让学生独立思考，提出个性化的解决问题的策略，从多个角度、多种途径进行解释，理解在正方形四周植树的计算方法。然后引导学生比较求同：“在这些方法中，都应关注四个角上重复的棵数”，这是在众多表面上形态各异的思维策略背后蕴藏的共同的具有更高概括意义的数学思想方法。也正是在这种思想方法的指引下，学生成功地探索出多种计算三角形、五边形和六边形上植树的计算方法，并且体会到解决问题的一般数学模型：每条边上树的棵数×边数-顶点的个数。因此重视数学思想方法的提炼与体验，可以催化数学模型的建构，提升建构的理性高度。
4.天光云影共徘徊（关注数学模型向现实生活的回归，焕发生命的活力）
人的认识过程是“感性——理性——感性——理性”循环往复和不断递进、螺旋上升的过程，课堂上教师组织学生从具体的问题中经历抽象提炼初步构建起相应的数学模型，并不是学生认识活动的终结，还要组织学生把抽象的数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实中，使已经构建的数学模型在抽象向具体回归的过程中不断得以扩充、提升、生根。
如，教材中经常出现这样一组习题：
算一算，比一比，你有什么发现？
76-35-23; 89-12-45;
76-(35+23); 89-(12+45)。
当学生能够用自己个性化的文字语言或符号语言描述所发现的规律时，我们要清楚地认识到：认识活动还没有结束。考察学生的学习过程：从抽象的算式计算到算式结果的观察，到数学规律的总结、数学模型的建构，自始至终都是在符号化的数学理性世界中进行的，这样建立起来的数学模型是不完善的，缺乏能动性和生命力。“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画的过程。”数学中的规律、模型都能在现实生活中找到影子，也只有在生活中才能真正体现出数学模型的价值，使模型更加完善和成熟。
因此我们不妨组织学生进一步思考：像这样的数学规律，你能用生活中的例子来解释吗？“我带了76元钱，买了一双35元的鞋子和一条25元的裤子，我可以逐件付款，也可以算出鞋子和裤子的总价钱，用76元一起付。而且这样计算还比较方便，35+25正好等于60。”“看课外书时，第一天看了几页，第二天又看了几页，我可以用总页数先减去第一天看的页数，再减去第二天看的页数求到剩下的页数；也可以先算出两天一共看了几页，再从总页数中减去看的页数就是剩下的页数。”正是在这样的“用生活中的事例说明解释”的过程中，学生已有的理性的数学模型逐渐具体化、清晰化，更为重要的是，这种往返于概括化和具体化过程的学习和思维的意识与能力，将会积淀为人的数学素养。