高中学生数学概括能力培养的实验与建议，本文主要内容关键词为：高中学生论文,能力论文,数学论文,建议论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 问题的提出
众所周知，思维的最显著的特性是概括性。数学概括能力是学生学习数学的必要条件。心理学认为：概括能力是影响概括活动顺利进行的那些稳定的个性心理特征，它表现为找出一类事物本质特征和把本质特征推广到同类事物中去，形成系统表述的能力。由于数学特有的高度抽象性和概括性，数学学习不仅要求学生掌握数学知识的结论形式，而且还要认识数学知识的产生过程，而这两方面的学习都依靠对数学对象、结构、关系以及各种经验的概括，因此，数学概括能力是学生学习数学所必须的能力。从迁移的角度来看，心理学认为“迁移就是概括”。[1]概括的层次越高，迁移的半径就越大。正如曹才翰教授所说：“在教学中，与其说‘为迁移而教’不如说‘为概括而教’。”[2 ]此话深刻地说出了培养数学概括能力的重要性。
鉴于此，笔者设计了有关高中学生数学概括能力的现状与目前教学现状的问卷调查。结果出现了令人遗憾的情况：70％的学生每天忙于应付教师布置的作业，不重视阅读教材、复习教材、课本题的研究及做题后的反思；只有10％的学生能较好的注重解题规律的概括总结。90％的教师虽知道数学概括能力的重要性，但对如何培养并不清楚或很少有意识去作培训，对如何培养概括能力感到在教学实践中无规可循。
2 实验与研究的主要目标
（1）通过培养和训练，提高学生的数学概括能力， 发展数学的才能和一般文化素养，使他们学会思考、学会选择、学会分析、学会研究、学会抽象、学会概括、学会交流、学会表达、以及有条不紊的学习习惯和终身学习能力。
（2 ）提高教师自身的理论水平和数学概括能力与教育科研的能力。
（3）探索数学概括能力培养的教学模式、教学策略， 深化和促进中学数学课程教学改革。
3. 实验过程
3.1 实验方法
本实验采用准实验设计中的不相等实验组与控制组前测、后测设计，选取高一入学成绩基本相同的两个班。分别按新教学模式与常规教学方案进行对比实验。
3.2 实验途径（具体措施）
对实验班设计了如下教学模式：
操作说明：
3.2.1 设计问题，创设情景 教师根据教材的特点， 找准知识的生长点，精心设计系列问题。根据不同的教学内容，设计的问题要具有启发性、探索性和开放性。要使课堂教学在不断提出问题和解决问题的过程中顺利完成教学目标，培养学生的创新能力。
3.2.2 学生探索，尝试解决
着眼于充分调动与发挥学生的主动性，引导学生运用实验、观察、分析、综合、归纳、概括、类比、猜想等方法去研究、去探索，在讨论、交流和研究中发现新问题、新知识、新方法，逐步解决设计的问题。同时，教师作为参与者，应主动参与到学生的讨论交流之中；作为指导者要对学生的讨论、交流不断起促进和调节作用，使问题不断引向深入。这一过程是学生主动建构、积极参与的过程，是他们真正学会“数学的思维”的过程。
3.2.3 信息交流，揭示规律 引导学生根据探索、尝试所得， 归纳、总结出有关的知识与规律等方面的结论，然后教师通过必要的讲解，明确这些结论，并揭示这些结论在整个知识结构中的地位和作用，使学生在知识系统中理解知识。
3.2.4 运用规律，解决问题 精心选择2～3 道难易适中的典型问题，引导学生尽可能独立地（也可以讨论、交流）思考、分析、探索问题，从中感悟基础知识、基本方法的应用。教师针对学生存在的问题，借题发挥，进行示范性讲解。教师的分析，要重联系、重转化、重本质，概括提炼规律，由例及类，教给学生分析问题、解决问题的方法。
3.2.5 变练演编，深化提高 变练是指教师通过对概念、 图形背景、题目的条件或结论、题目的形式等进行多角度、全方位的引申，编制形式多样（最好是具有探索性、开放性）的问题，让学生讨论、交流、解答，以加深学生对问题的理解；演编是指学生在对知识、问题有较深的理解的基础上，自己模仿或创造性的编拟数学（变式）题，供全班同学研究或解答。实践证明，编题实践是学生概括能力、创新精神和实践能力得以锻炼和表现的有效措施，也是丰富课堂内容的有效方法。
3.2.6 信息交流，教学相长
力求做到师生从研究过程中相互学习，共同提高。
3.2.7 反思小结，观点提炼
在学生对本节课所学内容已较深理解和掌握的基础上，教师应引导学生进行反思，对知识进行整理，规律进行总结，思想方法进行提炼，形成观点。这一环节要尽量引导学生进行自我总结，自我评价。课堂小结对巩固、强化教学效果，提高数学概括能力至关重要。
4 实验结果
通过两年多的实验与研究，从实验班与对照班在实验前后的数学概括能力测试成绩比较来看（对比表略），实验前，两班平均成绩和标准差均无明显差异。实验后，实验班的平均成绩明显高于对照班
差异检验达到非常显著的水平。另外，实验班学生之间的成绩差异缩少，整体成绩向均分聚拢趋势发展。
实验班在以下几个方面变化显著：
（1）摆脱了题海战术，减轻了学生负担， 大面积提高了数学成绩，增强了学习数学的积极性和兴趣。
（2）优化了学生的思维品质， 较全面地发展了学生的各种数学能力。
（3）有效地提高了学生人文素质和提出问题、分析问题、 解决问题的能力，学生的参与意识、交流意识、合作意识和钻研意识明显加强。
（4）学生的学习习惯明显好转，通过与学生座谈、交流， 多数学生感觉不仅找到了学习数学的方法，而且也找到了学习其它学科的方法，觉得学习是一乐趣。
（5）通过本课题的研究，教师自感转变了教育观念、 提高了理论水平、促进了教学改革，也培养了自己的开拓与创新意识，提高了教学水平。还带动了学校各科教学研究工作。
5 培养学生数学概括能力的教学建议
5.1 教给学生概括的方法
5.1.1 由点到面，分步概括
利用认识规律，适当启发点拨，指导学生从个别情形入手，分步进行概括，力求抽象出一般原则，达到最终求解之目的，以此培养学生的概括意识，逐步掌握概括的一般方法，从而提高概括能力。
例如解以下一类题就是训练分步概括的范例。
题：某渔场养鱼，第一年鱼的重量增长率为p， 以后每年鱼的重量增长率都是上一年增长率的一半，设鱼原来的重量为a[,0]，第n年鱼的重量为a[,n]，
（1）求a[,n]与a[,n－1]的关系；
（2）若由于某种原因，每年损失预计重量5％的鱼，当p＝2时，问哪年鱼的重量最大？（解略）
分析 （1）先考虑前几年的鱼重量：a[,1]＝a[,0]（1＋p），a[,2]＝a[,1]（1＋P/2），a[,3]＝a[,2]（1＋p/4），…由此首先概括出：a[,n]＝a[,n－1]·（1＋增长率），这个一般数学关系，其中的增长率是指第n年的增长率，设为b[,n]。
又依题意，考虑每年的增长率：p，p/2，p/4…，构成以p为首项，公比为1/2的等比数列，由此又概括出增长率公式：b[,n]＝p ·（1/2）[n－1]，故最后概括得：
5.1.2 针对局部，定向概括
摆脱习惯算法的束缚，从最能反映本质的局部着手，定向概括，井然有序的组织运算，从而简捷的解决问题。定向概括对培养思维的辩证意识，培养灵活性和数学概括能力也极有好处。
例如题：函数y＝1－2x/1＋x的反函数是y＝g（x），把g（x ）的图象向右平移一个单位得到C[,1]，由图象C[,1]和图象C[,2] 关于直线x＋1＝0对称，且点P（2，m）在C[,2]上，求m的值。
分析 一般解法是先求g（x），再求C[,1]与C[,2]的解析式，把点P的坐标代入C[,2]的解析式，即可求出m。但求g（x）及C[,1]、C[,2] 并非必要。若抓住局部一点P（2，m）在C[,2]上，这一本质属性，逆向思维：则由点P（2，m）在C[,2]上
可立即得到：1－2m/1＋m＝－5，故m＝－2。定向概括，优化了运算策略，促进了运算的简洁性、合理性。
5.1.3 联系结论，系统概括
善于从不同的外表现象中，抓住主要的、内在的和基本的东西，指导学生联系结论，系统概括，有利于培养思维的多向性和数学概括能力。
例如题：不等式ax[2]－bx＋c＞0的解集区间为（－0.5，2），对于系数a、b、c则有以下结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＞0；⑤a－b＋c＞0
其中正确结论的序号是：__________。
分析 由题设条件可得出许多结论，若紧密联系所给结论进行选择判断，对问题作系统概括，往往快捷有效。设y＝ax[2]－bx＋c：
（Ⅰ）显见a≠0，又解集为（－0.5，2），故a＜0；（Ⅱ）0 ∈（－0.5，2），故f（0）＞0，即c＞0；（Ⅲ）1∈（－0.5，2），故f （1）＞0，即a－b＋c＞0；（Ⅳ）－1
[－0.5，2]，故f（－1）＜0，即a＋b＋c＜0；（Ⅴ）由a－b＋c ＞0与a＋b＋c＜0，可得b＜0。
至此即可得出正确结论序号。
5.2 针对学生存在的缺陷，优化概括的品质
学生答卷中以偏概全等现象比比皆是，为克服这些弱点，除加大基本功训练力度外，教学中应特别重视培养概括的准确性、完整性、条理性和深刻性等品质。
5.3 在基础知识的教学中培养学生的数学概括能力
5.3.1 概念教学中培养学生的数学概括能力
精心设计数学概念形成过程的教学，让学生亲自经历由具体到抽象，概括事物本质属性的过程，以培养学生形成数学概念的概括能力。数学概念形成的整个过程，可用图框表示为：
如棱柱概念的形成，一般有如下几个步骤：
（1）教师举出常见的一些物体，如三棱镜、方砖、螺杆的头部， 让学生辨别，分析以上物体的属性。（研究线面关系）
（2）让学生找出这些物体的共同属性（线面关系方面）
（3）通过抽象，提出本质属性的各种假设：
①由面围成的几何体叫棱柱；②至少有两个面互相平行的几何体叫棱柱；③至少有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体叫棱柱；④每相邻两个四边形的公共边互相平行的几何体叫棱柱；⑤有两个面互相平行，且每相邻的两个四边形的公共边互相平行的几何体叫棱柱。
运用变式、反例对假设进行检验，否定某些共同属性不是本质属性，以确认其本质属性。（这里的五种假设，用反例都可以否定。在此基础上，教师引导学生抽象概括出棱柱的本质属性：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行）
（4）让学生举例， 将上述本质属性推广到同类事物概括形成棱柱的概念，并用定义表示。
5.3.2 重视引导学生进行知识、技能的归纳总结
对知识、技能的归纳总结过程，是将书本由“厚”变“薄”的过程，即将零乱无章、各显纷呈的知识条理化，概括为体现本质的、带有规律性结论，以促进学生数学概括能力的形成和提高。例如学习三角函数的诱导公式，如何记忆这几组公式，通过分析概括，可简化为：“函数同名、象限定号，”多简洁！又如二项式有关问题，解决的关键是抓住展开式的通项公式，这个通项公式就是规律所在。
5.4 让解题规律的概括成为学生学习的一项重要内容
（1）突出数学观念在指导数学思维过程中的作用。
（2）突出学生主体地位，一般地， 应在学生先尝试概括的基础上，教师再进行概括，教师的点拔应当成为学生概括中的催化剂。
（3）组织好问题，教师要把握住教学目标的阶段性和层次性， 围绕不同阶段的教学目标，根据学生情况组织好问题和习题。习题要利于向纵、横方向发展，有代表性。例如，用同一种（或同类）方法解多个不同题的题型，对于培养学生发现、应用规律的能力，提高数学概括能力就很有好处。例如以下几个看似不同的问题：①求函数y＝2sinx ＋3cosx的周期；②求函数y＝cos2x＋sin2x的最大、最小值； ③解三角方程sinx－2cosx＝1。通过分析概括，它们都可使用同一种方法——化积解决。
（4）抓落实
概括解题规律的作用重大，不落实作用等于零，关键还在“落实”二字，概括的方式还可以有写小论文、写总结、编拟数学试卷、出数学板报等多种形式。
5.5 数学概括能力的培养要与其它能力的培养同时进行， 使其协调发展。
数学概括能力是一种综合能力，其培养途径需要一个长期的过程，其培养途径也远非以上几条。
本实验虽然已进行了两年多的实践，但针对不同教学内容如何培养数学概括能力的高效的教学模式仍需进一步探索。另外，如何命制考察数学概括能力的试题也需要进一步探索积累。